基础知识自主学习 要点梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫 做函数y=f(x)(x∈D)的零点
要点梳理 1.函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______成立的实数x叫 做函数y=f(x)(x∈D)的零点. f(x)=0 基础知识 自主学习
(2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有 交点函数y=f(x)有零点 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函 数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b) 使得f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根
（2）几个等价关系 方程f(x)=0 函数y=f(x)的图象与_____有 交点 y=f(x)有_______. (3)函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有_________________,那么函 数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c∈(a,b), 使得_________，这个____也就是f(x)=0的根. f（a）·f（b）<0 (a，b) f(c)=0 c x轴 零点
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 △>0 △=0 △0)的图象 O=n2 x 与x轴的交点{( (x,0)无交点 零点个数两个 个 无
2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ0)的图象 与x轴的交点 _________ _________ ________ 无交点 零点个数 ______ _____ ___ (x1,0), (x2,0) (x1,0) 两个 一个 无
3二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的 函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法 (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0, 给定精确度E; 第二步,求区间(a,b)的中点x1;
3.二分法 （1）二分法的定义 对于在区间［a，b］上连续不断且_____________的 函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间__________,使区间的两个端点逐步逼近_____,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间［a，b］，验证______________, 给定精确度 ； 第二步，求区间（a，b）的中点x1； f(a)·f(b)<0 一分为二 零点 f(a)·f(b)<0
第三步,计算f(x2): ①若f(x1)=0,则x就是函数的零点; ②若f(a)·f(x)<0,则令b=x1 (此时零点x∈(a,x)); ③若f(x)·f(b)<0,则令a=x (此时零点x∈(x,b)); 第四步,判断是否达到精确度E:即若|a-b<E,则 得到零点近似值a(或b); 否则重复第二、三、四步
第三步，计算_______： ①若_______，则x1就是函数的零点； ②若_____________，则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)); ③若______________，则令a=x1 (此时零点x0∈(x1,b)); 第四步，判断是否达到精确度 ：即若|a-b|< ,则 得到零点近似值a（或b）; 否则重复第二、三、四步. f(x1) f(a)·f(x1)<0 f(x1)·f(b)<0 f(x1)=0
基础言测 1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的 零点是 (c) A.0,2 B.0, C.0, 解析由f(2)=2a+b=0,得b=2a, ∴g(x)=-2ax2-ax==ax(2x+1). 令g(x)=0,得x=0,x= ·(x)的零点为0,1
基础自测 1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的 零点是 （ ） A.0，2 B.0， C.0， D.2, 解析 由f(2)=2a+b=0,得b=-2a, ∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 令g(x)=0，得x=0,x= ∴g（x）的零点为0， 2 1 2 1 − 2 1 − , 2 1 − . 2 1 − C
2.函数f(x)=3aX-2a+1在[-1,1]上存在一个零点, 则a的取值范围是 D A. a> B.a≤1 C.-1≤a≤ D.a≥或a≤-1 解析f(x)=3ax-2a+1在[-1,1上存在一个零点, 则f(-1)·f(1)≤0,即a≥或a≤-1
2.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点， 则a的取值范围是 （ ） A. B.a≤1 C. D. 解析 f(x)=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点， 则f(-1)·f(1)≤0,即 5 1 a 5 1 −1 a 1 5 1 a 或a − 1. 5 1 a 或a − D
3函数图象与x轴均有公共点,但不能用二分法求公 共点横坐标的是 B A B o/x C D 解析图B不存在包含公共点的闭区间[a,b]使函 数f(a)·f(b)<0
3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公 共点横坐标的是 （ ） 解析 图B不存在包含公共点的闭区间［a，b］使函 数f（a）·f（b）<0. B
4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是(D) A.f(x)=3x2-4x+5 Bf(x)=x3-5X-5 C.f(x)=mx2-3x+6 D f(x=ex+3x=6 解析对选项D,∵f(1)=e-30, f(1)f(2)<0
4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是（ ） A.f(x)=3x 2-4x+5 B.f(x)=x 3-5x-5 C.f(x)=mx2-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6 解析 对选项D，∵f（1）=e-30， ∴f（1）f（2）<0. D
2x-2x∈[12+∞) 5.设函数/(x) 则函数f(x) x2-2xx∈(-∞,1) 92-√5 的零点是82 解析当x>1时,(x)-1=0:即2x-2-1=0 ∴X 当x1时,f(x)-=0,即x2-2x-=0, x=2-y(舍去大于1的根) f(x)-的零点为92-√5 82
5.设函数 则函数f(x)- 的零点是__________. 解析 当x≥1时， 当x<1时， (舍去大于1的根). ∴ 的零点为 , 2 ( ,1) 2 2 [1, ) ( ) 2 − − − + = x x x x x f x 4 1 0, 4 1 0, 2 2 4 1 f (x) − = 即 x − − = 0, 4 1 0, 2 4 1 ( ) 2 f x − = 即x − x − = . 8 9 x = 2 2 − 5 x = 4 1 f (x) − . 2 2 5 , 8 9 − 2 2 5 , 8 9 −