人教版数学必修① 3.2函数模型及其应用 【课时安排】第4课时 【教学对象】高一学生 【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容,但《标准》中没有对数学建模的课 时和内容作具体安排,只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而”3.2函数模型及 其应用”一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在 解决实际问题中的作用,为以后的数学建摸实践打基础,还未能使学生真正理解数学建模 的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例,以弥补教材的这一不足 【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前,需要熟悉前面已学过的二次函数与三角 函数的相关性质 【教学目标】 知识与技能 (1)初步理解数学模型、数学建模两个概念; (2)掌握框图2——数学建模的过程 过程与方法 (1)经历解决实际问题的全过程,初步掌握函数模型的思想与方法 情感态度价值观 (1)体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程 (2)感受数学的实用价值,增强应用意识 (3)体会数学以不变应万变的魅力 【教学重点】框图2——数学建模的过程 【教学难点、关键】方案二中答案的探究:关键是运用合情推理 【教学方法】引导探究、讨论交流 【教学手段】计算机、PPT、几何画板
人教版数学必修① 3.2 函数模型及其应用 【课时安排】第 4 课时 【教学对象】高一学生 【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课 时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而"3.2 函数模型及 其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在 解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模 的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。 【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角 函数的相关性质。 【教学目标】 知识与技能 （1）初步理解数学模型、数学建模两个概念； （2）掌握框图 2——数学建模的过程。 过程与方法 （1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法； 情感态度价值观 （1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程； （2）感受数学的实用价值，增强应用意识； （3）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】框图 2——数学建模的过程。 【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。 【教学方法】引导探究、讨论交流。 【教学手段】计算机、PPT、几何画板
【教学过程设计】 、教学流程设计 实际问题化为 设计意图:与大学数学建模相比,过去的中学数学建模缺少理想化(模 理想化问题 型假设)这一重要的环节。本环节意在恢复数学建模的真实面目。 理想化问题化 设计意图:展示将理想化问题转化为数学问题的数学化过程 为数学问题 求解数字模型 设计意图:展示“解模”过程 解释数孚结果 数学建模过程 设计意图:结合这一实际问题的解决过程,礙括出数学建模的基本过程 的概括 ,以实现由具体到抽象的升华。 最优解的探究 设计意图:1、让学生经历数学建模中的优化过程;2、培养学生的探究 意识。 什么是数学建模 设计意图:1、使学生获得科学的数学建模理论:数孚建模与数学模型的」 概念、数学建模的具体过程;2、体会数字以不变应万变的魅力。 牛刀小试 设计意图:1、根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设计该练习,以 强化刚刚获得的数学建模理论;2、培养学生的冋题解决能力 设计意图:1、小结意在强化数学建模理论,形成知识组块;2、设计四 小结与思考 个问题,目的是培养学生的数学探究能力、动手实践能力和数学创新意
【教学过程设计】 一、教学流程设计
、教学过程设计 教学环节 教学内容 教师活动学生活动设计意图 现有宽为的长方形板材,请 将它设计制成一直的开口的 长条形水槽,使水槽能通过 的流水量最大。 a 1、初步理想化 与大学数 在单位时间内,该水槽 学建模相 能通过的流水量取决于水流 比,过去 (-)实 速度和它的横截面积。我们教师引导 的中学数 际问题化将问题理想化,假定水流速学生阅读 学建模缺 为理想化 度是一定的。那么,要在单理解问 学生听讲少理想化 间题:预位时间内获得最大的流水|题,并将 思考 这一重要 计时间2量,就应该将水槽设计成横其理想化 的环节。 分钟 截面积最大。于是,问题化 本环节意 归为 在恢复数 现有宽为的长方形板 学建模的 材,请将它设计制成一开口 真实面目 的长条形水槽,使水槽的横 截面积最大。 2、进一步理想化 如果将水槽的横截面设 计成矩形,那么这一实际问 题可以转化为理想化问题: 如下图所示,要建造一 个横截面为矩形ABCD的水 槽,并且AB,BC,CD的长度 之和等于.问应当怎样设计水
二、教学过程设计 教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 （一）实 际问题化 为理想化 问题：预 计时间 2 分钟 现有宽为的长方形板材，请 将它设计制成一直的开口的 长条形水槽，使水槽能通过 的流水量最大。 1、初步理想化 在单位时间内，该水槽 能通过的流水量取决于水流 速度和它的横截面积。我们 将问题理想化，假定水流速 度是一定的。那么，要在单 位时间内获得最大的流水 量，就应该将水槽设计成横 截面积最大。于是，问题化 归为： 现有宽为的长方形板 材，请将它设计制成一开口 的长条形水槽，使水槽的横 截面积最大。 2、进一步理想化 如果将水槽的横截面设 计成矩形，那么这一实际问 题可以转化为理想化问题： 如下图所示，要建造一 个横截面为矩形 ABCD 的水 槽,并且 AB ,BC ,CD 的长度 之和等于.问应当怎样设计水 教师引导 学生阅读 理解问 题，并将 其理想化 学生听讲 思考 与大学数 学建模相 比，过去 的中学数 学建模缺 少理想化 这一重要 的环节。 本环节意 在恢复数 学建模的 真实面目
槽的深度和宽度,使水槽的横 截面积最大? B C 、教学过程设计 教学环 教学内容 教师学生设计 节 活动活动意图 1、寻找变量以及变量之间的关系 在此问题中,水槽的深度是一个 变量,宽度是另一个变量,横截面积也是 个变量。设AB=x,BC=y.矩形ABCD的面 展 将理 (二)积为S.那么,这三个变量之间的关系是 将理想S=xy 想化 变量S由两个变量x和y确定.如果我 问题 化问题 转化为们能使面积表达式只由一个变量确定,那教师学生‖转化 数学间么我们研究的问题就可以简化,这就需要引导听讲‖为数 题:预寻找两个变量x和y之间的关系。显 讲解思考‖学问 计时间然,2x+y=2 题的 3分钟2、建立数学模型 数学 化过 S=x(a-2x 将实际问题转化为一个纯数学问题 程 当X取何值时,函数S=x(a-2x)(0<x< a/2)有最大值? 因为S=x(a-2x)=a7/8-2(x-a/4)2≤a2/8,所 求解数以,当x=a/4时,S有最大值0.125a2.此 教师/学生 解释数当水槽的横截面设计成矩形时,只要将深导|听讲展示 学模时,y=a-2x=a/2 学结度、宽度分别设计为a/4和a/2时,可得分析思李‖解释 求解∥模过 果:预 到最大的横截面积,从而可获得最大的流 讲解|模型程 水量
槽的深度和宽度,使水槽的横 截面积最大? 二、教学过程设计 教学环 节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 （二） 将理想 化问题 转化为 数学问 题：预 计时间 3 分钟 1、寻找变量以及变量之间的关系 在此问题中，水槽的深度是一个 变量，宽度是另一个变量，横截面积也是 一个变量。设 AB=x，BC=y.矩形 ABCD 的面 积为 S. 那么，这三个变量之间的关系是 S=xy. 变量 S 由两个变量 x 和 y 确定.如果我 们能使面积表达式只由一个变量确定，那 么我们研究的问题就可以简化，这就需要 寻找两个变量 x 和 y 之间的关系。显 然,2x+y=2a 2、建立数学模型 S=x(a-2x) 将实际问题转化为一个纯数学问题 当 X 取何值时，函数 S=x（a-2x）(0 < x < a/2)有最大值？ 教师 引导 讲解 学生 听讲 思考 展示 将理 想化 问题 转化 为数 学问 题的 数学 化过 程。 （三） 求解数 学模型 解释数 学结 果：预 因为 S=x(a-2x)=a2 /8-2(x-a/4)2≤a 2 /8，所 以，当 x=a/4 时，S 有最大值 0.125a2 .此 时，y=a-2x=a/2 . 当水槽的横截面设计成矩形时，只要将深 度、宽度分别设计为 a/4 和 a/2 时，可得 到最大的横截面积，从而可获得最大的流 水量。 教师 引导 分析 讲解 学生 听讲 思考 求解 模型 展示 解释 模过 程
计时间 2分钟 结合 实际 问题 可将上述数学建模的过程概括为下面的框 的解 图1: 四)/C 实际问题 概括 数学建理想化问题 寻找变量关系 教师 出数 模过 引导学生‖学建 程:预 分析听讲‖模的 计时间纯数学问题 建立数学模型 讲解思考‖基本 2分钟 求解数学模型 解释数学结果 现由 具体 到抽 象的 、教学过程设计 教学环 教学内容 教师学生设计 活动活动意图 教 1、让 师将 学生 学生学生经历 (五) 最优解|我们前面的设计是将横截面设计成矩形,分成动手|数学 的探将深度,宽度分别设计为/4和a2时,可五个探究建核 究:预 如果将水槽的横截面分别按照下图中的组,的设优化 计时间 7分钟五种方案进行设计,结果又如何呢 并巡计方过 视指案程 导学 2、培 生解 养学
计时间 2 分钟 （四） 数学建 模过 程：预 计时间 2 分钟 可将上述数学建模的过程概括为下面的框 图 1： 教师 引导 分析 讲解 学生 听讲 思考 结合 这一 实际 问题 的解 决过 程， 概括 出数 学建 模的 基本 过 程， 以实 现由 具体 到抽 象的 升 华。 二、教学过程设计 教学环 节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 （五） 最优解 的探 究：预 计时间 7 分钟 我们前面的设计是将横截面设计成矩形， 将深度、宽度分别设计为 a/4 和 a/2 时，可 得到最大的横截面积。 如果将水槽的横截面分别按照下图中的 五种方案进行设计，结果又如何呢？ 教 师将 学生 分成 五个 小 组， 并巡 视指 导学 生解 学生 动手 探究 各自 的设 计方 案 1、让 学生 经历 数学 建模 中的 优化 过 程； 2、培 养学
方案 方案二 决问 生的 探意识 究 由于 少 三角形 等腰梯形 缺导工具教 数 师 方案三 方案四 应引 导学 生运 用观 察 四个底角都为 五个底角都为72试 675°等腰三角形等腰三角形 算 方案五 估算 来探 方 究案的案 答 下面,我们将全班分成5个小组,分别 探究五个方案的设计。最后派代表报告本小 组的探究结果 方案一:S=1/2x(a-x)sin0≤1/2x(a- x)=a2/8-1/2(x-1/2a)2≤a2/8=0.125a2 当θ=90°且x=1/2a时,Smax=0.125a 、教学过程设计 教学环 师生计 教学内容 活活意 动动图 (五)方案二:S=1/2(2/3a+2xa/3×sin0)a/3cos 教‖学1 最优0)=a2/9(1+sin0)cos0 师将‖生让学 的探￥0=30时,mx=01 学生动生经 究:预 方案三:(四个底角为67.5°的等腰三角形) 分成手历数 S=4×1/2×a/4×a/8tan67.5°≈0.151a2 五个‖探学建
下面，我们将全班分成 5 个小组，分别 探究五个方案的设计。最后派代表报告本小 组的探究结果。 方案一：S=1/2x(a-x)sinθ≤1/2x(ax)=a2 /8-1/2(x-1/2a)2≤a 2 /8=0.125a2。 当θ=90°且 x=1/2a 时，Smax=0.125a2 决问 题。 由于 缺少 导数 工 具， 教师 应引 导学 生运 用观 察、 试 算、 估算 来探 究方 案二 的答 案。 生的 探究 意 识。 二、教学过程设计 教学环 节 教学内容 教 师 活 动 学 生 活 动 设 计 意 图 （五） 最优解 的探 究：预 方案二：S=1/2(2/3a+2×a/3×sinθ)a/3cos θ)=a2 /9(1+sinθ)cosθ 当θ=30°时，Smax≈0.144a2 方案三：(四个底角为 67.5°的等腰三角形) S=4×1/2×a/4×a/8tan67.5°≈0.151a2 教 师将 学生 分成 五个 学 生 动 手 探 1、 让学 生经 历数 学建
计时间方案四:(五个底角为72°的等腰三角形) 小‖究模中 7分钟S=5×1/2×a/5×a/10tan72°≈0.15a 组,‖各|的优 方案五:πr=a,∴S=1/2r2=a2/2m≈0.159a2 并巡‖自化过 通过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时视指‖的程 的情况可以得出,方案五是这个实际问题的最优导学‖设|2、 解,即: 生解‖计培养 将水槽的横截面设计为半径为的半圆形时,从决问‖方学生 而可获得最大的流水量 题。‖案的探 于少数 究意 师引学运观 生用察试算 估算 来探 究方 案的案 答 使 生 学获 (六)以上我们进行了六种设计方案的探究后,才找到了 得科 什么是该问题的最优解。这就表明,数学建模需要对所得 生 学的 数学建|到的结果进行检验评价,以确认结果是否合理,是 教师‖数学 模:预否是较好的结果。如果结果不满意,就需要重新回 讲解∥听 建模 概括 计时间到"理想化问题这一环节。于是,我们就可以概括 6分钟出一个较为完善的数学建模过程的框图。框图2 论 数学 建模 与数 学模
计时间 7 分钟 方案四：(五个底角为 72°的等腰三角形) S=5×1/2×a/5×a/10tan72°≈0.154a2 方案五：πr=a,∴S=1/2rπ2 =a 2 /2π≈0.159a2 通过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时 的情况可以得出，方案五是这个实际问题的最优 解，即： 将水槽的横截面设计为半径为的半圆形时，从 而可获得最大的流水量。 小 组， 并巡 视指 导学 生解 决问 题。 由于 缺少 导数 工 具， 教师 应引 导学 生运 用观 察、 试 算、 估算 来探 究方 案二 的答 案。 究 各 自 的 设 计 方 案 模中 的优 化过 程； 2、 培养 学生 的探 究意 识。 （六） 什么是 数学建 模：预 计时间 6 分钟 以上我们进行了六种设计方案的探究后，才找到了 该问题的最优解。这就表明，数学建模需要对所得 到的结果进行检验评价，以确认结果是否合理，是 否是较好的结果。如果结果不满意，就需要重新回 到"理想化问题"这一环节。于是，我们就可以概括 出一个较为完善的数学建模过程的框图。框图 2： 教师 讲解 概括 学 生 听 讲 思 考 1、 使学 生获 得科 学的 数学 建模 理 论： 数学 建模 与数 学模
的 型概念数 学 建模 的具 体过 体会 数学 以不 万 应变 的魅 弥补 《标 准》 中数 学的 建模 理论 的不 、教学过程设计 教学 教学内容 教师学生设计 环节 活动活动意图
型的概 念、 数学 建模 的具 体过 程；2、 体会 数学 以不 变应 万变 的魅 力；3、 弥补 《标 准》 中数 学的 建模 理论 的不 足。 二、教学过程设计 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
问题 重新理想化 理想化问题 寻找变量关系 建立数学模型 纯数学问题 求解数学模型 结果不理想 结果是否合理 是 问题获得解决 是数学建模?数学建模 Mathematical 根据这个框图,我们就可以来回答什 Modelling):就是运用数学化的手段从实际 问题中提炼、抽象出一个数学模型,求出模 型的解,检验模型的合理性,从而使这一实 际问题得以解决的过程。数学模型就是用数 学语言符号来描述客观事物的特征及其内在 联系的数学结构表达式。例如,各种函数、 方程、不等式、不等式组等等都是比较常见 的数学模型。 、教学过程设计 教学环 节 教学内容 教师学生设计 活动活动意图
根据这个框图，我们就可以来回答什么 是数学建模？数学建模(Mathematical Modelling)：就是运用数学化的手段从实际 问题中提炼、抽象出一个数学模型，求出模 型的解，检验模型的合理性，从而使这一实 际问题得以解决的过程。数学模型就是用数 学语言符号来描述客观事物的特征及其内在 联系的数学结构表达式。例如，各种函数、 方程、不等式、不等式组等等都是比较常见 的数学模型。 二、教学过程设计 教学环 节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
1、作为结果,她表示的是一个确定 的数值,可以参与运算;2、作为过程, 她表示的是一个变量:可大可小;可正可 负:可以是有理数也可以使无理数 由于数学模型具有高度的抽象性、概括性 和结构的确定性,所以数学模型能以不变 应万变。不管是中文还是英文,一个字所 表达的意义十分有限,但我们的数学模 型""却可以表示无穷无尽的对象一一流动 的世界。 又比如说勾股定理,这一模型可以用 来处理数以亿计的实际问题。从小到斜边 长为一微米的直角三角形到大至斜边长为 十万八千里的直角三角形,只要是直角三 角形,它们居然都满足同样的结构模型 斜边的平方等于两条直角边的平方之 我不知道,这个世界上还有什么学科 象数学这样如此简洁,如此概括,如此统 以稳定的模式驾驭流动的世界!·《费 我只知道:数学的魅力在于, 1、根 据练 如下图,某房地产公司拥有一块"缺 习律 角矩形”荒地 ABCDE,边长和方向如图所 和强 示,欲在这块地上建一座地基为长方形东‖教师 化原 西走向的公寓,请划出这块地基,并求地解释 理 七)|基的最大面积。 说明 强化 牛刀小 人北‖问学生刚刚 试预计 题,动手获得 100m 最后解决‖的数 14分 演示问题‖学建 东‖数学 模理 80m实 论 2、培 日 养学 70m 生的 问题 解决
1、作为结果，她表示的是一个确定 的数值，可以参与运算；2、作为过程， 她表示的是一个变量：可大可小；可正可 负；可以是有理数也可以使无理数。 由于数学模型具有高度的抽象性、概括性 和结构的确定性，所以数学模型能以不变 应万变。不管是中文还是英文，一个字所 能表达的意义十分有限，但我们的数学模 型""却可以表示无穷无尽的对象——流动 的世界。 又比如说勾股定理，这一模型可以用 来处理数以亿计的实际问题。从小到斜边 长为一微米的直角三角形到大至斜边长为 十万八千里的直角三角形，只要是直角三 角形，它们居然都满足同样的结构模型： 斜边的平方等于两条直角边的平方之 和。 我不知道，这个世界上还有什么学科 象数学这样如此简洁，如此概括，如此统 一。 我只知道："数学的魅力在于，她能 以稳定的模式驾驭流动的世界！" （七） 牛刀小 试预计 时间 14 分 钟 如下图，某房地产公司拥有一块"缺 角矩形"荒地 ABCDE，边长和方向如图所 示，欲在这块地上建一座地基为长方形东 西走向的公寓，请划出这块地基，并求地 基的最大面积。 教师 解释 说明 问 题， 最后 演示 数学 实 验。 学生 动手 解决 问题 1、根 据练 习律 和强 化原 理， 强化 刚刚 获得 的数 学建 模理 论； 2、培 养学 生的 问题 解决