1数学术语 指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的 写为e,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于2718281828,还称为欧 拉数 当a>1时,指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在x等于 0的时候y等于1。当01 指数函数 函数,这里的a叫做“底数”,是不等于1的任何正实数。本文最初集中于带有底数为 欧拉数e的指数函数 指数函数的一般形式为 y (a>0且≠1)(X∈R),从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得ⅹ能够取整 个实数集合为定义域,则只有使得a>0且a≠1 如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数中可以看到
1 数学术语 指数函数是数学中重要的函数。应用到值 e 上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的 写为 e，这里的 e 是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧 拉数。 当 a>1 时，指数函数对于 x 的负数值非常平坦，对于 x 的正数值迅速攀升，在 x 等于 0 的时候 y 等于 1。当 00 且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x 能够取整 个实数集合为定义域，则只有使得 a>0 且 a≠1 如图所示为 a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数中可以看到
y (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1。对 于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑, 同时a等于0函数无意义一般也不考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凸的 (4)a>1时,则指数函数单调递增:若0<a<1,则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过 F=1 指数函数 程中(不等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的 位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与Ⅹ轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直 线y=1是从递减到递增的一个过渡位置 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。 (7)函数总是通过(0,1)这点、(若 =a+b ,则函数定过点(0,1+b) (8)指数函数无界 (9)指数函数是非奇非偶函数 (10)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。 2公式推导 e的定义:
： （1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a大于 0 且不等于 1。对 于 a不大于 0 的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑， 同时 a等于 0 函数无意义一般也不考虑。 （2） 指数函数的值域为大于 0 的实数集合。 （3） 函数图形都是下凸的。 （4） a>1 时，则指数函数单调递增；若 0<a<1，则为单调递减的。 （5） 可以看到一个显然的规律，就是当 a从 0 趋向于无穷大的过 指数函数 程中（不等于 0），函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的 位置，趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直 线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。 （6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,并且永不相交。 （7） 函数总是通过（0，1）这点,(若 ,则函数定过点(0,1+b)) （8） 指数函数无界。 （9）指数函数是非奇非偶函数 （10）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。 2 公式推导 e 的定义：
=1m(+718838 设a>0,a1 方法 lo 指数函数 lim loga(x+△x)-1ogx △x→0 △x x+△x lim=×log △x→0x△x 8 +△x Ax lim×loga”x △x→0x △xG loga lim 1+ xIna 特殊地,当a=e时,(
设 a>0,a≠1 方法一： ( )' 指数函数 = = = = = = 特殊地，当 a=e 时，(
lo )=(n×)=1/x。 方法 设 y=4 ,两边取对数ny=xna 两边对x求导:yly=na,y=ynaa^xna 特殊地,当a=e时,y=(a^x)=(e^x)=e^xhne=e^x。 3函数图像 四、指数函数 L.定义:y=a2(a>0且1) 2.图象: 指数函数 (1)由指数函数y=ax与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到 上相应的底数由小变大 (2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像 从下到上相应的底数由大变小 (3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高;在y 轴左边底大图低”。(如右图)。 y=a
)'=(ln x)'=1/x。 方法二： 设 ，两边取对数 ln y=xln a 两边对 x 求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a 特殊地，当 a=e 时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。 eº=1 3 函数图像 指数函数 （1）由指数函数 y=a^x 与直线 x=1 相交于点（1，a)可知：在 y轴右侧，图像从下到 上相应的底数由小变大。 （2）由指数函数 y=a^x 与直线 x=-1 相交于点（-1，1/a）可知：在 y轴左侧，图像 从下到上相应的底数由大变小。 （3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在 y 轴右边“底大图高”；在 y 轴左边“底大图低”。（如右图）。 (4) 与
的图像关于y轴对称。 4幂的比较 比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法:(3)中间值法:要 比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递 性得到A与B之间的大小。 比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意: (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来 判断。 例如: yI 22 因为3大于1所以函数单调递增(即ⅹ的值越大,对应的y值越大),因为5大于4 所以 22 大于 (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可 v=log 指数函数 以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如: yI
的图像关于 y 轴对称。 4 幂的比较 比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要 比较 A 与 B 的大小，先找一个中间值 C，再比较 A 与 C、B 与 C 的大小，由不等式的传递 性得到 A 与 B 之间的大小。 比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来 判断。 例如： ， 因为 3 大于 1 所以函数单调递增（即 x 的值越大，对应的 y 值越大），因为 5 大于 4， 所以 大于 。 （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可 指数函数 以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如：
22= ,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减:3大于1,所以函数图像在定义 域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而 2上升,在x等于4时,y2大于y1 (3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如: 对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0 1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小) 就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1大小呢?由指数函数的图像和性质可知 “同大异小"。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如:a〉1且x〉0,或 0〈a(1且x〈0)时, 大于1,异向时 小于1 3)例:下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由 4 因为4>1,所以 在R上是增函数; 因为0<14<1所以 在R上是减函数 5定义域
, ,因为 1/2 小于 1 所以函数图像在定义域上单调递减；3 大于 1，所以函数图像在定义 域上单调递增，在 x=0 是两个函数图像都过（0，1）然后随着 x 的增大，y1 图像下降，而 y2 上升，在 x 等于 4 时，y2 大于 y1. （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如： 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与 0、 1 的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小）， 就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知 “同大异小”。即当底数 a和 1 与指数 x 与 0 之间的不等号同向（例如： a 〉1 且 x 〉0，或 0〈 a〈 1 且 x〈 0）时， 大于 1，异向时 小于 1. 〈3〉例：下列函数在 R 上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴ 因为 4>1，所以 在 R 上是增函数； ⑵ 因为 0<1/4<1,所以 在 R 上是减函数 5 定义域
x∈R 指代一切实数 0, ,就是R 6值域 对于一切指数函数 y=a 来讲。他的a满足a>0且a1,即说明y>0。所以值域为(0, )。a=1时也可以,此时值域恒为1。 7化简技巧 (1)把分子、分母分解因式,可约分的先约分 (2)利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母 (3)把其中适当的几个分式先化简,重点突破 指数函数 (4)可考虑整体思想,用换元法使分式简化 8对应关系 (1)曲线沿x轴方向向左无限延展(=)函数的定义域为
x∈R 指代一切实数 ，就是 R。 6 值域 对于一切指数函数 来讲。他的 a满足 a>0 且 a≠1，即说明 y>0。所以值域为（0, )。a=1 时也可以，此时值域恒为 1。 7 化简技巧 （1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分 （2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母 （3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破. 指数函数 （4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化 8 对应关系 （1）曲线沿 x 轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为
(2)曲线在ⅹ轴上方,而且向左或向右随着ⅹ值的减小或增大无限靠 指数函数 近X轴(x轴是曲线的渐近线)(=)函数的值域为(0,+∞) (3)曲线过定点(0,1)(=)x=0时,函数 y= (零次方)=1(a>0且a+1) (4)当a>1时,曲线由左向右逐渐上升,即a>1时,函数在 上是单调递增函数 当0<a<1时,曲线逐渐下降即0<a<1时,函数在 0,0 上是单调递减减函数。 9概念 (1)指数函数的定义域为实数的集R,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的 情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑 (2)指数函数的值域为(0,+∞)。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等 于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与Ⅹ轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别 接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减 到递增的一个过渡位置
。 （2）曲线在 x 轴上方，而且向左或向右随着 x 值的减小或增大无限靠 指数函数 近 X 轴（x 轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞） （3）曲线过定点（0，1）〈=〉x=0 时，函数 （零次方）=1（a>0 且 a≠1） （4）当 a>1 时，曲线由左向右逐渐上升，即 a>1 时，函数在 上是单调递增函数； 当 0<a<1 时，曲线逐渐下降即 0<a<1 时，函数在 上是单调递减减函数。 9 概念 （1）指数函数的定义域为实数的集 R，这里的前提是 a大于 0，对于 a不大于 0 的 情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 （2）指数函数的值域为（0，+∞）。 （3）函数图形都是下凹的。[1] （4）a大于 1，则指数函数单调递增；a小于 1 大于 0，则为单调递减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当 a从 0 趋向于无穷大的过程中（当然不能等 于 0），函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别 接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1 是从递减 到递增的一个过渡位置
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 (7)函数总是通过(0,1)这点 (8)显然指数函数无界
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴，永不相交。 （7）函数总是通过（0，1）这点。 （8）显然指数函数无界