对数与对数函数测试题 选择题。 的值是 D 2.若 logz log1(og2x)= log 3 log1(log3y)= log s log1(ogsz)]=0,则x、yz的大小 关系 已知x=√2+1,则10(x-x-6)等于 4.已知lg2=a,1g3=b,则 Ig 12 等于 +b a+2b D 1+a+b 1+a+b b b 5.已知21g(x-2y)=1gx+1gy,则x的值为 A.1 C.1或 D.4或16 6函数og1(2x-1)的定义域为 C.(,1 D.(-∞,1) 7.已知函数y=log1(ax2+2x+1)的值域为R,则实数a的取值范围是 B.0≤a0且a≠1),且(2)<1,则(x)的图像是
1 对数与对数函数测试题 一、选择题。 1． log 3 log 9 2 8 的值是 （ ） A． 3 2 B．1 C． 2 3 D．2 2．若 log2 [log (log )] log [log (log )] log [log (log )] 5 5 3 5 1 3 2 3 1 2 1 x = y = z =0，则 x、y、z 的大小 关系是 （ ） A．z＜x＜y B．x＜y＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x 3．已知 x= 2 +1,则 log4(x 3－x－6)等于 （ ） A. 2 3 B. 4 5 C.0 D. 2 1 4．已知 lg2=a，lg3=b，则 lg 15 lg 12 等于 （ ） A． a b a b + + + 1 2 B． a b a b + + + 1 2 C． a b a b − + + 1 2 D． a b a b − + + 1 2 5．已知 2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则 y x 的值为 （ ） A．1 B．4 C．1 或 4 D．4 或 16 6.函数 y = log (2 1) 2 1 x − 的定义域为 （ ） A．( 2 1 ，＋∞) B．［1，＋∞ ) C．( 2 1 ，1 ] D．(－∞，1) 7．已知函数 y=log 2 1 (ax 2＋2x＋1)的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 （ ） A．a＞1 B．0≤a＜1 C．0＜a＜1 D．0≤a≤1 8.已知 f(e x )=x，则 f(5)等于 （ ） A．e 5 B．5 e C．ln5 D．log5e 9．若 1 ( ) log ( 0 1), (2) 1, ( ) a f x x a a f f x − = 且 且 则 的图像是 （ ） A B C D O x y O x y O x y O x y
10.若y=-log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1-√3)上是增函数,则a的取值范围是() A.2-221B.[222)c.(2-252]D.(2-252) 11.设集合A={xx2-1>0),B={x|lg2x>0B},则A⌒B等于 A. xx>l B.{x|x>0 C.{x|x1} 12.函数y=b+1 ,x∈(1,+∞)的反函数为 A.y=x1,x∈(0,+∞) B.y= ,x∈(0,+∞) y ,x∈(-∞,0) ,x∈(-∞,0) 二、填空题 13.计算:10g2.56.25+lg Lg+In ve+21+1og, 3- 14.函数y=log4(x-1)2(x1,试比较(1gm)0与(lgm).的大小 16.函数y=(log1x)2-log1x2+5在2≤x≤4时的值域为 三、解答题. 17.已知y=1og(2-ax)在区间{0,1}上是x的减函数,求a的取值范围 2
2 10．若 2 2 y x ax a = − − − log ( ) 在区间 ( ,1 3) − − 上是增函数，则 a 的取值范围是（ ） A．[2 2 3,2] − B． 2 2 3,2) − C．(2 2 3,2 − D．(2 2 3,2 − ) 11．设集合 A = {x | x −1 0},B = {x | log 2 x 0 |},则A B 2 等于 （ ） A．{x | x 1} B．{x | x 0} C．{x | x −1} D．{x | x −1或x 1} 12．函数 , (1, ) 1 1 ln + − + = x x x y 的反函数为 （ ） A． , (0, ) 1 1 + + − = x e e y x x B． , (0, ) 1 1 + − + = x e e y x x C． , ( ,0) 1 1 − + − = x e e y x x D． , ( ,0) 1 1 − − + = x e e y x x 二、填空题. 13．计算：log2.56.25＋lg 100 1 ＋ln e ＋ 1 log2 3 2 + =． 14．函数 y=log4(x－1)2 (x＜1＝的反函数为__________． 15．已知 m＞1，试比较(lgm) 0.9 与(lgm) 0.8 的大小． 16．函数 y=(log 4 1 x) 2－log 4 1 x 2＋5 在 2≤x≤4 时的值域为______． 三、解答题. 17．已知 y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是 x 的减函数，求 a 的取值范围．
18.已知函数f(x)=lg[(a-1)x2+(a+1)x+1],若f(x)的定义域为R 求实数a的取值范围. 19.已知f(x)=x2+(1ga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当x∈R时f(x)≥2x恒成立,求实数a 的值,并求此时f(x)的最小值? 20.设00且a≠1,试比较|log(1-x)与|log2(1+x)的大小
3 18．已知函数 f(x)=lg[(a 2－1) x 2＋(a＋1)x＋1]，若 f(x)的定义域为 R 求实数 a 的取值范围． 19．已知 f(x)=x 2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立，求实数 a 的值，并求此时 f(x)的最小值？ 20．设 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
21.已知函数f(x)=1ogn(a-a)且a>1 (1)求函数的定义域和值域 (2)讨论f(x)在其定义域上的单调性 (3)证明函数图象关于y=x对称 22.在对数函数y=1og2x的图象上(如图),有A、B、C三点,它们的横坐标依次为a、a+1、 a+2,其中a≥1,求△ABC面积的最大值
4 21．已知函数 f(x)=loga(a－a x )且 a＞1， （1）求函数的定义域和值域； （2）讨论 f(x)在其定义域上的单调性； （3）证明函数图象关于 y=x 对称． 22．在对数函数 y=log2x 的图象上(如图)，有 A、B、C 三点，它们的横坐标依次为 a、a＋1、 a＋2，其中 a≥1，求△ABC 面积的最大值．
对数与对数函数测试题 参考答案 、选择题: ADBCB CDCBA AB 、填空题:13 14.y=1-2(x∈R),15.(1gm)≤(1gm),16.-≤y≤8 三、解答题 17.解析:先求函数定义域:由2-ax>0,得ax0且a≠1,∴x1,∴a ∴10对一切x∈R恒成立 当a2-1≠0时,其充要条件是: a2-1>0 解得a 1△=(a+12-4(a2-1)<0 又a-1,f(x)=0满足题意,a1,不合题意 所以a的取值范围是:(-∞,-1]U(,+∞) 19、解析:由f(-1)=-2,得:f(-1)=1-(1ga+2)+1gb-2,解之1ga-1g=1, l 一=10,a10b b 又由x∈R,f(x)≥2x恒成立.知:x2+(lga+2)x+1gb≥2x,即x2+xlga+1gb≥0, 对x∈R恒成立, 由△=1g2a-4lgk≤0,整理得(1+1gb)2-41gb≤0 即(1gb-1)2≤0,只有1gb=1,不等式成立 即b=10,∴a=100 ∴f(x)=x+4x+1=(2+x)2-3 当x=-2时,f(x)n=-3
5 对数与对数函数测试题 参考答案 一、选择题：ADBCB CDCBA AB 二、填空题：13. 2 13 ，14.y=1－2 x (x∈R)，15.(lgm) 0.9≤(lgm) 0.8，16. 8 4 25 y 三、解答题： 17.解析：先求函数定义域：由 2－ax＞0，得 ax＜2 又 a 是对数的底数， ∴a＞0 且 a≠1，∴x＜ a 2 由递减区间[0，1]应在定义域内可得 a 2 ＞1，∴a＜2 又 2－ax 在 x∈[0，1]是减函数 ∴y=loga(2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a＞1 ∴1＜a＜2 18、解：依题意(a 2－1)x 2＋(a＋1)x＋1＞0 对一切 x∈R 恒成立． 当 a 2－1≠0 时，其充要条件是： = + − − − ( 1) 4( 1) 0 1 0 2 2 2 a a a 解得 a＜－1 或 a＞ 3 5 又 a=－1，f(x)=0 满足题意，a=1，不合题意． 所以 a 的取值范围是：(－∞，－1]∪( 3 5 ，＋∞) 19、解析：由 f(－1)=－2，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之 lga－lgb=1， ∴ b a =10，a=10b． 又由 x∈R，f(x)≥2x 恒成立．知：x 2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即 x 2＋xlga＋lgb≥0， 对 x∈R 恒成立， 由 Δ=lg2 a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb) 2－4lgb≤0 即(lgb－1)2≤0，只有 lgb=1，不等式成立． 即 b=10，∴a=100． ∴f(x)=x 2＋4x＋1=(2＋x) 2－3 当 x=－2 时，f(x)min=－3．
20.解法一:作差法 log(1-)|-1g(+)1=11-)-/1+x (|lg(1-x)|-|1g(1 a Ig a 1g +x)|) 00, ..log(1-x)>llog(1+x) 解法二:作商法 I log, (1+x) Iloga-a(1+x) I log (1-x) 01,01-x>0 ∴0llog (1+x)I 解法三:平方后比较大小 ''log(1-x)-loga(1+x)=log. (1-x)+log(1+x)][log (1-x)-log(1+x) 1-×7 1g(1-x2)·1 ∵0log2(1+x),即1log,(1-x)|>|log(1+x) 解法四:分类讨论去掉绝对值 当a>1时,|og(1-x)|-|10g(1+x)|=-1og(1-x)-1og2(1+x)=-1og(1-x2) 0<1-x<1<1+x,∵0<1-x2<
6 20.解法一：作差法 |loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=| a x lg lg(1− ) |－| a x lg lg(1+ ) |= | lg | 1 a (|lg(1－x)|－|lg(1 ＋x)|) ∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x ∴上式=－ | lg | 1 a [(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－ | lg | 1 a ·lg(1－x 2 )[来源:Zxxk.Com] 由 0＜x＜1，得，lg(1－x 2 )＜0，∴－ | lg | 1 a ·lg(1－x 2 )＞0， ∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法二：作商法 | log (1 ) | | log (1 ) | x x a a − + =|log(1－x)(1＋x)| ∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x) 1+ x 1 由 0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x 2＜1 ∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴ 1+ x 1 ＞1－x＞0 ∴0＜log(1－x) 1+ x 1 ＜log(1－x)(1－x)=1 ∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x )| 解法三：平方后比较大小 ∵loga 2 (1－x)－loga 2 (1＋x)=[loga (1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)] =loga(1－x 2 )·loga x x + − 1 1 = | lg | 1 2 a ·lg(1－x 2 )·lg x x + − 1 1 ∵0＜x＜1，∴0＜1－x 2＜1，0＜ x x + − 1 1 ＜1 ∴lg(1－x 2 )＜0，lg x x + − 1 1 ＜0 ∴loga 2 (1－x)＞loga 2 (1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法四：分类讨论去掉绝对值 当 a＞1 时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x 2 ) ∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x 2＜1
当00,logn(1+x)0 ∴当a>0且a≠1时,总有|log(1-x)|>|1og2(1+x) 21.解析:(1)定义域为(一∞,1),值域为(一∞,1) (2)设1>x> 于是 则log,(a-aa2)<logn( 即f(x)<f(x) ∴f(x)在定义域(-∞,1)上是减函数 3)证明:令=logn(a-a)(x<1),则a-a=a,xlog(a-a) .f(x=log,(a-a)(<1) 故f(x)的反函数是其自身,得函数f(x)=1ogn(a-a)(x<1=图象关于=x对称 解析:根据已知条件,A、B、C三点坐标分别为(a,10g2a),(a+1,log2(a+1),(a g2(a+2),则△ABC的面积 2(a+1),[log2(a+1)+kog2(a+2) log 2 a+ log,(a+2)] 1na(a+2a+1)2_l(a+1) log [a(a+2) +2a 因为a≥1,所以Sm-2
7 ∴loga(1－x 2 )＜0，∴－loga(1－x 2 )＞0 当 0＜a＜1 时，由 0＜x＜1，则有 loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0 ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x 2 )＞0 ∴当 a＞0 且 a≠1 时，总有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1) (2)设 1＞x2＞x1 ∵a＞1，∴ 2 1 x x a a ，于是 a－ 2 x a ＜a－ 1 x a 则 loga(a－a 2 x a )＜loga(a－ 1 x a ) 即 f(x2)＜f(x1) ∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数 (3)证明：令 y=loga(a－a x )(x＜1)，则 a－a x =a y ，x=loga(a－a y ) ∴f －1 (x)=loga(a－a x )(x＜1) 故 f(x)的反函数是其自身，得函数 f(x)=loga(a－a x )(x＜1＝图象关于 y=x 对称． 22. 解析：根据已知条件，A、B、C 三点坐标分别为(a，log2a)，(a＋1，log2(a＋1))，(a ＋2，log2(a＋2))，则△ABC 的面积 S= [log log ( 2)] 2 [log ( 1) log ( 2)] 2 [log log ( 1)] 2 2 2 2 2 2 − + + + + + + + + a a a a a a 2 2 2 [ ( 2)] ( 2)( 1) log 2 1 + + + = a a a a a ( 2) ( 1) log 2 1 2 2 + + = a a a a a a a 2 2 1 log 2 1 2 2 2 + + + = ) 2 1 log (1 2 1 2 2 a + a = + 因为 a 1,所以 3 4 log 2 1 ) 3 1 log (1 2 1 Smax = 2 + = 2