23幂函数 、教学目标: 知识与能力 1、通过实例,了解幂函数的概念 2、会画简单幂函数的图象,并能根据图象得出这些函数的性质 3、能应用幂函数的图像和性质解决有关简单问题 过程与方法 培养学生数形结合能力,合作交流能力,以及应用数学的能力 情感态度与价值观 让学生感受到数学来源于生活,应用于生活,并认识到现代信息技术在人们认识世界过程中的 作用,激发学生的学习动力。 二、重点难点 重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质 难点:画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难. 三、教学方法 通过让学生作图,观察、思考、交流、讨论、发现幂函数的性质。 四、教学过程 (一)实例观察,引入新课 (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克那么她需要支付P=W元P是W的函数 (2)如果正方形的边长为a那么正方形的面积S=a2S是a的函数(y=x2 (3)如果立方体的边长为a那么立方体的体积V=a3S是a的函数(y=x3) (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=S2a是S的函数 (5)如果某人ts内骑车行进1km那么他骑车的平均速度v=tV是t的函数 产X 问题一:以上问题中的函数具有什么共同特征? 学生反应:底数都是自变量,指数都是常数 【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结,从而自然引出幂函数的一般特征 (二)类比联想,探究新知 1幂函数的定义;一般地,函数y=x“叫做幂函数( power function),其中x为自变量,a为常数 注意幂函数的解析式必须是y=x的形式,其特征可归纳为“系数为1,只有1项
2.3 幂函数 一、教学目标： 知识与能力 1、通过实例，了解幂函数的概念； 2、会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质； 3、能应用幂函数的图像和性质解决有关简单问题。 过程与方法 培养学生数形结合能力，合作交流能力，以及应用数学的能力。 情感态度与价值观 让学生感受到数学来源于生活，应用于生活，并认识到现代信息技术在人们认识世界过程中的 作用,激发学生的学习动力。 二、重点难点 重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质 难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难． 三、教学方法 通过让学生作图，观察、思考、交流、讨论、发现幂函数的性质.。 四、教学过程 （一）实例观察，引入新课 (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克,那么她需要支付 P = W 元 P 是 W 的函数 （y=x） (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 S=a2 S 是 a 的函数（y=x2） (3)如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 V =a3 S 是 a 的函数（y=x3） (4) 如果一个正方形场地的面积为 S, 那么正方形的边长 a= 1 2 S a 是 S 的函数 （y= 1 2 x ） (5)如果某人 t s 内骑车行进 1 km,那么他骑车的平均速度 v=t-1 V 是 t 的函数 （y=x-1） 问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征? 学生反应：底数都是自变量，指数都是常数. 【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征. （二）类比联想，探究新知 1.幂函数的定义；一般地，函数 y=xɑ叫做幂函数(power function) ，其中 x 为自变量，ɑ 为常数。 注意:幂函数的解析式必须是 y=xɑ的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．
【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解 2幂函数的图像与筒单性质 同前面的指数函数和对数函数一样,先画出函数的图像,再由图像来研究幂函数的相关性 质(定义域,值域,单调性,奇偶性,定点)不妨也找出典型的函数作为代表: 让学生自主动手,用计算器在同一坐标系中画出这5个函数的图像 问题三:所有图像都过第几象限,所有图像都不过第几象限,为什么? 学生反应:都过第一象限,而都不过第四象限,因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都 为正 问题四第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系为什么? 学生反应:当指数为正时是增函数指数为负时是减函数为什么却讲不清楚 教师讲解:指数为正分为正分数和正整数,正无理数我们高中不做研究,当是正整数时很显然递 增,当是正分数时,可以化成根式,很显然当被开方数为正时,被开方数越大,整个 根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数,分母递增,整个函数递减 问题五:所有图像都过哪些点,为什么? 学生反应:都过点(1,1),因为1的任何指数幂都为 问题六对于原点,什么样的幂函数过,什么样的幂函数不过,为什么? 学生反应:指数为正过,为负则不过,因为负指数幂可以化成分数形式,分母不能为零, 所以在原点没有意义
【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 2.幂函数的图像与简单性质 同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性 质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点） 不妨也找出典型的函数作为代表： y=x y=x2 y=x3 y= 1 2 x y=x-1 让学生自主动手，用计算器在同一坐标系中画出这 5 个函数的图像 问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？ 学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当 x>0 时所有幂函数都有意义,且函数值都 为正. 问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？ 学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚. 教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递 增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个 根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减. 问题五：所有图像都过哪些点，为什么？ 学生反应：都过点（1,1），因为 1 的任何指数幂都为 1. 问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？ 学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零， 所以在原点没有意义
问题七:图像在第一象限的位置关系是什么样子的,为什么? 学生反应:当01时,指数大的图像在上方,对于原因大 部分学生不能很快反应过来 教师活动:在01时,指数大的函数值就大 【总结】幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域,所以幂函数的性质不可能全部 总结清楚,但我们在探索性质的过程中知道了研究方法:指数是分数则化为根式,指数为负数 则化为分式,这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来,不过要严格判断 单调性和奇偶性还要用定义进行证明接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质 函 数 定义域 R R R +0 值域 R R [0,+∞) yly≠0} 单调性 (-∞,0)增 (-∞,0)减 (0+∞)减 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 公共点 (11) 【设计意图】通过创设问题情境,激发学生的思维,并在新知探究的过程中自然形成一般方法 的呈现,使学生易于领悟和接受 (三)新知应用 例1证明幂函数y=√x在0,+)上是增函数 证明:任取x1,x2∈[O,+∞),且x10.所以(x1)<f(x2) 即幂函数(x)=√x在0,+∞)上的增函数 教师活动:强调教材中此例题的地位和作用:(1)复习定义证明单调性的过程.(2)幂函数的单调 性很容易观察,强调严格判断的时候要用单调性进行证明。(3)幂函数的单调性很容
问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？ 学生反应：当 01 时，指数大的图像在上方，对于原因大 部分学生不能很快反应过来. 教师活动：在 01 时，指数大的函数值就大. 【总结】 幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部 总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数 则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断 单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出 5 个幂函数的相关性质： y=x y=x2 y=x3 y= 1 2 x y=x-1 定义域 R R R [0，+∞) {x︱x≠0} 值域 R [0，+∞) R [0，+∞) {y︱y≠0} 单调性 增 (-∞,0)增 [0，+∞)减 增 增 (-∞,0)减 （0+∞)减 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 公共点 （1,1） 【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法 的呈现，使学生易于领悟和接受. （三）新知应用 例 1.证明幂函数 y= x 在[0，+∞)上是增函数 证明： 1 2 1 2 任取x x x x , [0, ), , + 且 则 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( ) x x x x f x f x x x x x − + − = − = + 1 2 1 2 x x x x − = + 1 2 1 2 1 2 因为0 , 0, 0, − + x x x x x x 所以 1 2 所以f x f x ( ) ( ) 即幂函数f x x ( ) [0, ) . = + 在 上的增函数 教师活动：强调教材中此例题的地位和作用：（1）复习定义证明单调性的过程.(2) 幂函数的单调 性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明。（3）幂函数的单调性很容 函 性 数 质
易观察,以至于在证明中直接用到了单调性,如直接判断√x1-√x2<0 例2.比较下列各组数种两个值的大小 (1)1.3214 (2)0.26-10.27-1 )(-5.2)2(-5.3) (4)0.720.72 【设计意图】增强学生对新知的应用能力,从而达到能力的转型和对知识理解的深化 五、课堂小结 (1)知识总结:回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质 (2)思想方法:主要涉及到了归纳总结的思想,回顾研究一般具体幂函数的可行方法 六、课后作业 课时练与测 七、教学反思
易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断 x x 0 1 2 − 例 2.比较下列各组数种两个值的大小 【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力的转型和对知识理解的深化. 五、课堂小结 （1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质. （2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法. 六、课后作业 课时练与测 七、教学反思