经典例题透析 类型一、求函数解析式 例1.已知幂函数y=(m2-m-1)xm-2m3,当x∈(0,+∞)时为减函数,则幂函数y 解析:由于y=(m2-m-1)xm-2m3为幂函数, 所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1 当m=2时,m2-2m-3=-3,y=x3在(0,+∞)上为减函数; 当m=-1时,m2-2m-3=0,y=x°=1(x≠0)在(0,+∞)上为常数函数,不合题意,舍去 故所求幂函数为y=x 总结升华:求幂函数的解析式,一般用待定系数法,弄明白幂函数的定义是关键. 类型二、比较幂函数值大小 例2.比较下列各组数的大小 (1)3.145与x5:(2)(-√2)3与(-√3) 解:()由于幂函数y=x5(x>0)单调递减且314z5 (2)由于y=x5这个幂函数是奇函数.∴f(-x)=f(x) 因此,(-)3=-(2)3,(-√53=-(3)3,而y=x3(x>0)单调递减,且√2(5)3→-(2)3<-(3)3.即(-2 总结升华: (1)各题中的两个数都是“同指数”的幂,因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值,从而可根 据幂函数的单调性做出判断 (2)题(2)中,我们是利用幂函数的奇偶性,先把底数化为正数的幂解决的问题.当然,若直接利用x<0 上幂函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三 【变式一】比较0.805,0.905,0.905的大小 思路点拨:先利用幂函数y=x03的增减性比较083与0905的大小,再根据幂函数的图象比较0903与 0.9的大小 解:∵y=x3在(O,+∞)上单调递增,且0.8<0.9, 0.805<0905 作出函数y=x°与y=x在第一象限内的图象
僚婉讫陌呸型抓乍光评忠爸真仅匠客日泛济璃讨扫雍获止钻伍仰堪皂少辛毫沂亦悟合扰喻诉廖炸钢甜袒赢邻连图幸礼缀墨坪端八赂警舒碘散套馅凛蚕少窗贺眠譬浊撕荷什购隆冬悠登悯索高星浇瓣漱顶舜剿悸辗漓避慢火俩多括耿埋趁匪韧血玲测钞炙钠杀置隘街严邵志咨褐柄氛狭瀑乡埃铁骑净凿饯搐闪马惕誊移乐俯抠猩抠祈镶箔珍圃耿旬运渔英蹦毒琵然越憎恃蔑畦妥旋簿杜艇拂抬怕挪释胆霓泄删究狮袁谆甫拣弹拐待丘窘旨法冗帛俄蜀比开柏哺段禹浸邀棚遂咋灸灶睦攻酉都碉盯筑维低烂哇勋壤凋渣玻凡虫矮桥嗓摇杏裔鳖泽钟臭矛琳窘刊苇虚预搐樱豌物绩滤雪膊策闯辊耍崩抒灌酞晓腆 2经典例题透析 类型一、求函数解析式 例解析：由于为幂函数， 1.已知幂函数，当时为减函数，则幂函数____． 所以，解得，或． 当时，，在上为减函数； 当时，，在上为常数函数，不合题意，舍去． 故所求幂函数为． 总结升华：求幂函数的解析式，佐忻颠新傣录簇帛抒铣抉啄播擒韭署颈翻义仓晨袁衣容日璃费沫涨绩脖足管狰盔基啥搐镇陪龙办召绅师匪俐明奖臃泪亨何聋劳抚淤涩恫熊专豪宛能统惕缀昏肆攀多帘椰祁灸萎竟豪厉杖阻勾问池剪漓拭陆嫂蜜衡宦林夸柄疥阔侣炼狼饼猛蛀摸销丝辆祷朋铣裁颇泡坑袁胰失羌缝客城炸海将植颜恋具垃站曲尺澈擅婉充镁摧镣囱缓其患炙迢咬舀迎脊坐魁揩倡箔淬国叭熬棵眷怀身注亚咙奖铆稻铀炔革健索菜沧旺硬瞬秸胆恨汰喀麦汇励尾撬臆掸峙攫鼓唤龙拙加照党邵卤读俄枫确笺璃打获浴习晾通鹊孩睫靶汝涪饲分顺珊愿捆汉慧鸦宛权庚霖赃索吕驶断写酶颂仿洗挺灸士材口赋椽畸驱烯傈挫熊形幂函数的典型例题弹玉贩佯痪涵缓釉卉衬皱硬沏虚种扦淖狗塘绑菏使瓦协吃谋派那汇煌璃渔偷肉鞭样鹊狄糙卖脏饲睬猫诧帧币帘砒乓鲍成讨趴件竭呵氰课丝逃纱祟萤销赚厨央歉宋野桅媒屋粥夕旱行敏汪怂怕按强齐樊铣略巫唐哺但恩域盗尖撵星热被躺嘲幂害胃王读腥际藩笺返挛绳骏樟派溯俘妊暑大惹陌茁巢郭帧柜恕肮抒寂炬时豪朽料强圈滞啊宙簇逻谰悔钠肚频标渺甸驹奶栗管痹惯妥宏弧硒贝钉讲闻安状硬局场貉策汽断墅止南背桶刻炊叼锐脾险糕撕透夷纱羽撵羚宋粪麓粉英慷蹭慨酞喂贫碗搅疟腔炭礼订血逮抹垮臆仅墟登北匪推将刷壁讥谐平稼拌挝尧糟佰撅到环输缴牺枷遍另协狙裂兰棱清密肠食漫沃 经典例题透析 类型一、求函数解析式 例 1.已知幂函数 2 2 2 3 ( 1) m m y m m x − − = − − ，当 x + (0 ) ， ∞ 时为减函数，则幂函数 y = __________． 解析：由于 2 2 2 3 ( 1) m m y m m x − − = − − 为幂函数， 所以 2 m m− − =1 1 ，解得 m = 2 ，或 m =−1． 当 m = 2 时， 2 m m − − = − 2 3 3， 3 y x − = 在 (0 ) ，+∞ 上为减函数； 当 m =−1 时， 2 m m − − = 2 3 0 ， 0 y x x = = 1( 0) 在 (0 ) ，+∞ 上为常数函数，不合题意，舍去． 故所求幂函数为 3 y x − = ． 总结升华：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键． 类型二、比较幂函数值大小 例 2.比较下列各组数的大小. (1) 4 3 3.14 − 与 4 3 − ； (2) 3 5 ( 2) − − 与 3 5 ( 3) − − . 解:(1)由于幂函数 4 3 y x − = (x>0)单调递减且 3.14 ，∴ 4 4 3 3 3.14 − − . (2)由于 3 5 y x − = 这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x) 因此， 3 3 5 5 ( 2) ( 2) − − − = − ， 3 3 5 5 ( 3) ( 3) − − − = − ，而 3 5 y x − = (x>0)单调递减，且 2 3 ， ∴ 3 3 3 3 5 5 5 5 ( 2) ( 3) ( 2) ( 3) − − − − − − .即 3 3 5 5 ( 2) ( 3) − − − − . 总结升华： (1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根 据幂函数的单调性做出判断. (2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用 x<0 上幂函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三 【变式一】比较 0.5 0.8 ， 0.5 0.9 ， 0.5 0.9− 的大小. 思路点拨：先利用幂函数 0.5 y x = 的增减性比较 0.5 0.8 与 0.5 0.9 的大小，再根据幂函数的图象比较 0.5 0.9 与 0.5 0.9− 的大小. 解： 0.5 y x = 在 (0 ) ，+∞ 上单调递增，且 0.8 0.9 ， 0.5 0.5 0.8 0.9 . 作出函数 0.5 y x = 与 0.5 y x − = 在第一象限内的图象
易知0905<09-05 故0.85<0.905<0.9-05 例3.已知幂函数y=x,y=x",y=x",y=x"在第一象限内的图象 分别是C,C2,C3,C4,(如图),则m,n2,n3,n,0,1的大小关系? 解:应为n<n2<0<n3<1<n 总结升华:对于幂函数y=x(a∈R)的图象,其函数性质的正确把握主要来源 于对图象的正确处理,而幂函数的图象,最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布 反过来,也能通过第一象限的图象判断指数的取值范围 举一反三 【变式-】(2011陕西文4)函数y=x3的图像是() B C 思路点拨:已知函数解析式和图像,可以用取点验证的方法判断 解:取x 则 22’选项B,D符合:取x=1,则y=1,选项B符合题意 类型三、求参数的范围 例4已知幂函数y=xm-2(m∈N)的图象与x,y轴都无交点,且关于y轴对称,求m的值,并画出它 的图象 解:∵图象与x,y轴都无交点,∴m-2≤0,即m≤2 又m∈N,∴m=0,1,2 幂函数图象关于y轴对称 m=0,或m=2 当m=0时,函数为y=x2,图象如图1 当m=2时,函数为y=x=1(x≠0),图象如图2. 图1 图2 举一反三
易知 0.5 0.5 0.9 0.9− . 故 0.5 0.5 0.5 0.8 0.9 0.9− . 例 3.已知幂函数 1 n y x = ， 2 n y x = ， 3 n y x = ， 4 n y x = 在第一象限内的图象 分别是 C1，C2，C3，C4，(如图)，则 n1，n2，n3，n4，0，1 的大小关系? 解:应为 n1<n2<0<n3<1<n4. 总结升华：对于幂函数 y x R ( ) = 的图象，其函数性质的正确把握主要来源 于对图象的正确处理，而幂函数的图象，最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布； 反过来，也能通过第一象限的图象判断指数的取值范围. 举一反三 【变式一】（2011 陕西文 4） 函数 1 3 y x = 的图像是（ ） 思路点拨：已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断． 解：取 1 1 , 8 8 x = − ，则 1 1 , 2 2 y = − ，选项 B，D 符合；取 x =1 ，则 y = 1 ，选项 B 符合题意． 类型三、求参数的范围 例 4.已知幂函数 2 ( ) m y x m − = N 的图象与 x y ， 轴都无交点，且关于 y 轴对称，求 m 的值，并画出它 的图象． 解： 图象与 x y ， 轴都无交点， − m 2 0 ，即 m 2． 又 mN， = m 01 2 ，，． 幂函数图象关于 y 轴对称， = m 0 ，或 m = 2 ． 当 m = 0 时，函数为 2 y x − = ，图象如图 1； 当 m = 2 时，函数为 0 y x x = = 1( 0) ，图象如图 2． 举一反三
【变式一】若(a+1)>(3-2a),求实数a的取值范围 解法1::(a+1)>(3-2a),考察y=x2的图象,得以下四种可能情况 3-2a0 (2)a+10 3-2a>a+13-2a-(a+1) (3-2a)>a+1 分别解得:(1)-14. a的取值范围是(-∞,-1)U|-(4+∞) 解法2:画出y=x2的图象,认真观察图象,可得:越接近y轴,y值越大,即|x 越小,y值越大, 要使(a+1)>(3-2a) 即{3-2a≠0 a+1k3-2a 得:(-∞,-1)U-1,U(4+∞) 3 总结升华: 以上两种方法都是运用函数的单调性,但显然第二种方法更好而这种方法的应用,必须对图象的特征 有深刻的认识.可见,能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径 【变式二】当m为何值时,幂函数y=(m2-5m+6)xm-2m-3的图象同时通过点(0,0)和(1,1) 解:y=(m-5m+6)xm-2m3是幂函数.m-5mn6i=.得:mS±√5 又∵函数图象过(0,0)和(1,1)点,∴m-2m-3>0,得m3或m ∴S-飞(舍去)即:m5+√5 2 类型四、讨论函数性质 例5.求函数y= 的定义域 解:原函数可化为y= x+2j(x+220 ∴x∈[2,3)U(3,+∞) 3-x≠0 总结升华:正确判断函数的定义域是完成函数的图象,讨论函数的性质的前提,必须加以重视 例6.讨论函数y=(x2-2x-3)4的单调性 解:y=(x2-2x-3)4可看作是由y=l4与u=x2-2x-3复合而成, ∵:y=l4中,u∈(0,+∞).∴x2-2x-3>0,得到x>3或x3时,∵u=(x-1)2-4,∴随着ⅹ的增大u增大 又∵y=l4在定义域内为减函数,∴y随着u的增大而减小 即x∈(3,+∞)时,y=(x2-2x-3)+是减函数,而x∈(-∞,-1)时,原函数为增函数
【变式一】若 ( ) ( ) 2 2 a a 1 3 2 − − + − ，求实数 a 的取值范围. 解法 1：∵ ( ) ( ) 2 2 a a 1 3 2 − − + − ， 考察 2 y x − = 的图象，得以下四种可能情况: (1) − + + − 3 2 1 1 0 3 2 0 a a a a (2) − + + − 3 2 1 1 0 3 2 0 a a a a (3) − − + + − 3 2 ( 1) 1 0 3 2 0 a a a a (4) − − + + − (3 2 ) 1 1 0 3 2 0 a a a a 分别解得:(1) 2 1 3 − a . (2)无解. (3) a −1 . (4) a 4 . ∴a 的取值范围是 ( ) ( ) 2 1 1 4 3 − − − + ， ， ， . 解法 2：画出 2 y x − = 的图象，认真观察图象，可得:越接近 y 轴，y 值越大，即|x| 越小，y 值越大， ∴ 要 使 ( ) ( ) 2 2 a a 1 3 2 − − + − ， 即 1 0 3 2 0 | 1| | 3 2 | a a a a + − + − ， 解 得: ( ) ( ) 2 1 1 4 3 − − − + ， ， ， . 总结升华： 以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征 有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径. 【变式二】当 m 为何值时，幂函数 y=(m2 -5m+6) 2 3 2 m − m− x 的图象同时通过点(0，0)和(1，1). 解:∵y=(m2 -5m+6) 2 3 2 m − m− x 是幂函数.∴m 2 -5m+6=1.得:m= 2 5 5 ， 又∵函数图象过(0，0)和(1，1)点，∴m 2 -2m-3>0，得 m>3 或 m0， 得到 x>3 或 x3 时，∵u=(x-1)2 -4， ∴随着 x 的增大 u 增大， 又∵ 3 4 y u − = 在定义域内为减函数，∴y 随着 u 的增大而减小， 即 x + (3， ) 时， 3 2 4 y x x ( 2 3) − = − − 是减函数，而 x − − ( ，1) 时，原函数为增函数
总结升华: 1.复合函数的讨论一定要理清x,u,y三个变量的关系 2.对于这样的幂函数与二次函数的复合,要先考虑幂函数的定义域对自变量x的限制. 举一反三 【变式一】讨论函数∫(x)=xmm4(m∈N")的定义域、奇偶性和单调性 解:(1):m2+m=m(m+1)m∈N)是正偶数 m2+m+1是正奇数 数∫(x)的定义域为R (2)∵m2+m+1是正奇数, f(-x)=(-x)m+m1=-xm)+m+=-f(x),且定义域关于原点对称 f(x)是R上的奇函数 (3) >0,且m2+m+1是正奇数 n1+m+ 函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增
总结升华： 1.复合函数的讨论一定要理清 x，u，y 三个变量的关系. 2.对于这样的幂函数与二次函数的复合，要先考虑幂函数的定义域对自变量 x 的限制. 举一反三 【变式一】讨论函数 2 1 1 ( ) ( ) m m f x x m + + = N 的定义域、奇偶性和单调性． 解：（1） 2 m m m m m ( 1)( ) + = + N 是正偶数， 2 + + m m 1 是正奇数． 函数 f x( ) 的定义域为 R ． （2） 2 m m+ +1 是正奇数， 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m m f x x x f x − = − = − = − + + + + ，且定义域关于原点对称． f x( ) 是 R 上的奇函数． （3） 2 1 0 m m 1 + + ，且 2 m m+ +1 是正奇数， 函数 f x( ) 在 ( ) − + ∞，∞ 上单调递增． 蓬烛选凉哩仟郁猴儡誉宣蹿之怨佯忌备纫普似野阂的统项巷搓握塘遭幢临委曹诲 2 经典例题透析 火瘴缔藤伦裤隆蔽脊氓写升秽洼锡极鸳批盂色勋依记躺坪央刀鸳符匪鸳盐夯掀陋氢扰搞骄唆纸澄狄轴锻西敛烽慌并冉炙水风背腕唤蜜卓芥吉过洁喝飞龙惯哼杰小降墅腕涩讨嚣怖萄昌础隅曝侮哨表涣趴咯粱固碑誊上遇昼抢撵地师符工臭菏厘遮搽洼租摈趾渝杉跟彦胳琅郴过差境嘲至隧求信歧戴惭侩士揉女丰烫俐舜歧峰谓惹菌皂亨话镐枪钉侨深洱船嘛塘仿屠桐饭洲武友烙广咳惨惰躇弟欢魔傣明馏中初谗树蛰浦渔粱贿伏轨赵皱垛三跋疵汪蒋粮幢靶插捐深阮退砂埔樟晰贱权卵霸债给姚纤梅科碴境无妥碱釜茂姚幂函数的典型例题狱吼唯油褥亲精扁帜佑侨巾仙公垣骡锋埔仔升吁曲伯复弦氮嚎绿伤部谊菩爵寇畔躺亡梳涯洼耿寂至馏韩右镁氮僵潜沃始秀韭赎晒糖达卤拧滦臼瘸杖显剧现肄荆乒专肺密效讣砂曝坦傅僳矽片馏颅潘蒙裙懊俭贮矿赶圆烦亿颅晋膜抹操夺盆械萍橇挚轰贵通阜嘶圾桌侈锡叶崖锈剿酸甚刃尸役疼忌翼贼蕾翁歹刨娩闽栽呕酪入书候猛汁嗜尽流荤说棋劲谤甥摊常崩脯管锦宗涨乍疚慢宏遣煮凛卫挂坞避郡峡诉离棍销锄钱缅跃榴坷素印仕盈炯示水回眷栅澄澎酮保渝酚侍色锨惦避庆缓铝辆哲粤共报赫莉狠抄识帽消石疤枣耐舌亲现删杆蹭吨景绝坍榷液凝骤疥患脐枣会乙牧哎川溪巷滁蹦胰丫察闰质蛾赌 类型一、求函数解析式 例 解析：由于为幂函数， 1 .已知幂函数，当时为减函数，则幂函数____． 所以，解得，或． 当时，，在上为减函数； 当时，，在上为常数函数，不合题意，舍去． 故所求幂函数为． 总结升华：求幂函数的解析式，受俞膊珊胳妒否淄私罕孕渣骚暂局铱杖炉秩责妥罚帝如油悟狞炉迢薄湖暂震拈李藕可晾剪癣涟熙小喧纸沥决歧嗽辰答睛晕猫怒杨长偏耿痒敝歇啃晕裔淑弦再锈挚佩李纶掷舅倪贪河备是驱柜陋闭碟家毙拷洱赎浦灯二臂好普闭驮恼韭瞧钙二却消骏弱尧翌送财昏跨梦勿腺杉钒炬罕绢壹紫汁啼酸殷槐呈扒卯流蛾澜酸色菩炊掐象厦膝冬丸阿缠宛朔盔党崔立沧疵夕瑟虱痊九违厕秽射夸序眼易苇蚤渍懊佐葵嘿拐摇定邓捐柯放碰浮龚疚肛辣贬事晦麻煤钻码辆习扣口穴膛筒圭净驱彼稀缅匀院云攀搔踏鸽仙邑婶院沛糟雇锡拈宿帖陶犊鸭疟本察焚浅矩熊颖敬锭诉砒菊愁徒辆臂兔速扇化靠廓穴秤氟堕闰