对参另画数
对数 如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即m=N,那么数b叫做 以a为底N的对数,记作logN=b,其中a叫做对数的底数,N 叫做真数,式子logN叫做对数式 常用对数:(gN), 自然对数:(nN) 二、对数的性质 1.负数和零没有对数; 2.1的对数是零,即log1=0: 3底的对数等于1,即loga=1 三、对教恒等式 dlg小N=N(a>0且a≠1,N>0
如果a(a>0, a1)的b次幂等于N, 即 a b=N, 那么数b叫做 以 a为底N的对数, 记作logaN=b, 其中a叫做对数的底数, N 叫做真数, 式子logaN叫做对数式. 三、对数恒等式 1. 负数和零没有对数; 2. 1的对数是零, 即 loga 1=0; 3. 底的对数等于1, 即loga a=1. 二、对数的性质 一、对数 自然对数: (lnN). 常用对数: (lgN), a logaN=N(a>0 且 a1, N>0)
四、对数的运算性质 如果>0,a≠=1,M>0,N>0,那么: (1) log Mn=log M+log n; (2)logan logam-log (3)log mn=nlog m 五、对数函数 函数y=ogx(m>0,且a≠1)叫做对数函数,对数函数的定 义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)
函数y=loga x(a>0, 且 a1)叫做对数函数, 对数函数的定 义域为(0, +∞), 值域为(-∞, +∞). 如果a>0, a1,M>0, N>0, 那么: 四、对数的运算性质 五、对数函数 (1) loga (MN)=logaM+logaN; (2) loga =logaM-logaN; M N (3) logaMn=nlogaM
六、对数函教的图泉和性质 >1 0l) 象 1,0) 0 (0<<1) (1)定义域:(0,+∞) 性2)值域:R 质/3)过点(1,0,即x=1时,y=0 (4)在(0,+∞)上是增函数.(4)在(0,+)上是减函数
六、对数函数的图象和性质 图 象 性 质 (1)定义域: (0, +∞) (2)值 域: R (3)过点(1, 0), 即x=1时, y=0. (4)在(0, +∞)上是增函数. (4)在(0, +∞)上是减函数. y o (1, 0) x x=1 y=logax (a>1) a>1 y o x (1, 0) x=1 y=logax (0<a<1) 0<a<1
七、换底公式 \era san 0 换底公式在对数运算中的作用: log b mlogab; toga 课堂练习 1已知函数jx)=g1+x, 1x,若fa)=b,则八a)等于(B) A b B -b C b b 2若函数fx)=logκ(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小 值的3倍,则a等于(A) .2C.2D.4
七、换底公式 换底公式在对数运算中的作用: 课堂练习 B A logbN= logaN logab log b n= logab; a m n m logab= . logba 1 1.已知函数 f(x)=lg , 若f(a)=b, 则f(-a)等于( ) 1-x 1+x b 1 A. b B. -b C. D. - b 1 2.若函数f(x)=logax (0<a<1)在区间[a, 2a]上的最大值是最小 值的3倍, 则a等于( ) A. B. C. D. 1 2 1 4 2 4 2 2
3对于0log(+);③l"(t; ④al+al+a A.①③B.①④C.②③D②④ 4若0log3>0,则(B) A.0<a<b<1B.1<a<bC.0<b<a<1D.1<b<a 6函数x)=r+ogn(x+1)在[0,1上的最大值与最小值之和为 a,则a的值为(B) B C.2 D,4
3.对于0loga (1+ ); ③ a 1+aa 1+ . 1 a 1 a a 1 a 1 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 4.若0logb3>0, 则( ) B A. 0<a<b<1 B. 1<a<b C. 0<b<a<1 D. 1<b<a B 6.函数f(x)=a x+loga (x+1)在[0, 1]上的最大值与最小值之和为 a, 则a的值为( ) A. B. C. 2 D. 4 1 2 1 4
7若1logh B log b+log a>2 C.(log a)'<1 D1og bl+log a?l 8设a,b,c都是正数,且3"=4b=6,那么(B) 122 b B b t d a b 9若(og23)y-(og3)≥(og23)-(og3),则(B) A.x-y≥0B.x+y≥0C.x-y≤0D.x+y≤0 10.方程g(4+2)=g2+g3的解是x=0或1
7.若1logba B. |logab+logba|>2 C. (logba) 2|logab+logba| 10.方程lg(4x+2)=lg2x+lg3的解是 x=0或 1 . 8.设a, b, c都是正数, 且3 a=4b=6c , 那么( ) A. = + B. = + C. = + D. = + b 1 a 1 c 1 b 2 a 2 c 2 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 1 B 9.若(log23)x -(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y , 则( ) A. x -y≥0 B. x+y≥0 C. x -y≤0 D. x+y≤0 B
典型例氨 1化简下列各式: (1)(g5)2+g250:(2)2(lg2)2+2g5+(2)2-lg2+1; (3)g5(g8+1000g25)2+g+g0.06 解:(1)原式=(g5)2+g2(g2+lg5) =(lg5)2+(lg2)2+2lg2lg5 (g5+g2) (2)原式=g2(2g2+5)+(g2-12 g2(g2+g5)+(1-g2)=g2+1g2=1 (3)原式=g53g2+3)+3g2-1g6+g6-2 3g5lg2+3lg5+3lg2-2 3g2(g5+g2)+3lg5-2 3(g2+g5)2
1.化简下列各式: (1) (lg5)2+lg2·lg50; =1. 解: (1)原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5) =(lg5)2+(lg2)2+2lg2lg5 =(lg5+lg2)2 =1. 典型例题 (3) lg5(lg8+lg1000)+(lg2 )2+lg +lg0.06. 3 1 6 (3)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2 =3lg5lg2+3lg5+3lg22-2 =3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2 =3(lg2+lg5)-2 =1. (2) 2(lg 2 ) 2+lg 2 ·lg5+ (lg 2 ) 2-lg2+1 ; =lg 2 =lg 2 +1-lg 2 (lg2+lg5)+(1-lg 2 ) (2)原式=lg 2 (2lg 2 +lg5)+ (lg 2 -1)2
2已知11 0loga> sloga b, loganl0gAa> 2>log6 b>loga b 3已知logn4>logn4,比较m,n的大小 解:由已知logn4>logn4,可分情况讨论如下: ①当m>1,00,log41>n>0; ②当m1,m>1时,由logm4>logA4>0得:ogmm>1; ③当0logn4>logn4得:lgmn>0或m>m>1或0<mKn<1
解: 由 11, 00, logn4logn4, 可分情况讨论如下: ∴m>1>n>0; log4mm>1; 2.已知1logn4, 比较m, n的大小. loga 1. b a b a ∵ 0>log a>log b, b a b a ∴loga logbb= , 1 2 1 2 ∴ logab>logba> >logb >loga . 1 2 b a b a ②当m>1, n>1时, 由 logm4>logn4>0得: ③当0logm4>logn4得: log4m1>n>0或n>m>1或 0<m<n<1. ∴0<logba<1
4已知2=3=6,求x,y,z之间的关系 解:令2=3=6=k,则x=og2k,y=og3k,z=ogk, 当k=-1时, 当k≠1时,由对数换底公式得: gk x,10g,3= g log, 6 log 6=logk 2+logk3 Z x y ∴xz之间的关系为x=z=0或1=1+1
4.已知2 x=3y=6z , 求 x, y, z之间的关系. 解: 令 2 x=3y=6z=k, 则 x=log2k, y=log3k, z=log6k, 当 k=1时, x=y=z=0; 当 k1时, 由对数换底公式得: ∵ logk6=logk2+logk3, logk2= , logk3= , logk6= , 1 x 1 y 1 z ∴ = + . 1 x 1 y 1 z = + . 1 x 1 y 1 ∴ z x, y, z之间的关系为x=y=z=0或