对数与对数函数 教学目标:掌握对数运算(高考要求A)及对数函数的有关概念(高考要求B) 教学重难点:熟悉对数的运算,掌握对数函数图像性质及其应用。 教学过程: 知识要点: 1对数概念 (1)对数的定义:如果a=b(a>0,a≠1),那么b叫做以a为底N的对数,记 做 log m=b(a>0a≠1),由定义知负数和0没有对数。通常以10为底的对数叫做 常用对数,记做gN=logN。以无理数e=2.71828…为底的对数叫做自然对数 记做nN=log,N。 (2)对数的运算性质 log。MN= log. m+ log m, log. M"=n·log。M, logb=" log, b、(M,N,a,b,n,m>0,a≠1) (3)对数的恒等式: log 1=0, log a=1 N log b= Dgb a log, a log blog, c=logar,(a,b,c, N>0, a, b+1) 2.对数函数: (1).定义:形如y=1ogx(a>0,a≠1)的函数叫做对数函数。 (2).对数函数的图象与性质: >1 0<a<1 图
对数与对数函数 教学目标：掌握对数运算（高考要求 A）及对数函数的有关概念（高考要求 B）. 教学重难点：熟悉对数的运算，掌握对数函数图像性质及其应用。 教学过程： 一.知识要点： 1.对数概念 （1）对数的定义：如果 ( 0, 1) n a b a a = ，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记 做 log 0, 1 a N b a a = ( ) ，由定义知负数和 0 没有对数。通常以 10 为底的对数叫做 常用对数，记做 10 lg log N N = 。以无理数 e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数。 记做 ln log N N = e 。 （2）对数的运算性质： ( ) log log log , log log log . log log , log log , , , , , , 0, 1 m a a a a a a n n a a a a M MN M N M N N n M n M b b M N a b n m a m = + = − = • = （3）对数的恒等式： ( ) log log log log 1 0, log 1, , log 1 log , log , log log log , , , , 0, , 1 log log a b b N N a a a b a a a b a b b a a N a N N N b b c c a b c N a b a a = = = = = = • = 2.对数函数： （1）.定义：形如 y=log a x (a>0,a≠1)的函数叫做对数函数。 （2）.对数函数的图象与性质： a>1 0<a<1 图 象
性|(1)定义域:(0,+∞),值域为R 质(2)过点(1,0)与(a,1) (3) x> 1) a1时10g。x{=0(x=1) 00,a≠1)与指数函数y=a(a>0,a≠1)互为反函数,它 们的定义域与值域正好互换,它们的对应法则是互逆的,其图象关于y=x对称。 (3).对数有关的大小比较的基本思路:1)利用函数的单调性,2)作差或 作商法,3)利用中间量。4)化同底或化同指数。5)放缩法 二.基础练习 若x∈(e-,1),a=lnx,b=2lnx,c=1nx,则b1,b>1,则1og,1mb,的大小关系是kgb<le<e 3.函数f(x)=1n(x=3x+2+=x2=3x+4)的定义域为_[-4,0)U(0,1 4.设f(x)=1g2x,则fe+n2的定义域为(4,-1)U(1,4 5.函数y=1g(x2+2x+m)的值域是R,则m的取值范围是m≤1 6.已知函数f(2)的定义域是[-1,1],求f(1ogx)的定义域 解∵y=f(2)的定义域是[-1,1],即-1≤x≤1,≤2≤2. ∴函数y=f(log2x)中≤10gx≤2.即10g2≤10g2X≤log4,∴互≤x≤4. 故函数f(logx)的定义域为[,4 例题精讲: 题型1:对数运算
性 质 （1） 定义域：（0，＋∞），值域为 R （2） 过点（1,0）与（a,1） （3） a>1 时 log a x ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 x x x = = 00,a≠1)与指数函数 y=a x (a>0,a≠1)互为反函数，它 们的定义域与值域正好互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于 y=x 对称。 （3）.对数有关的大小比较的基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或 作商法，3）利用中间量。4）化同底或化同指数。5）放缩法。 二.基础练习： 1.若 x∈(e-1 ,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3 x,则 b＜a＜c 2.已知 3 a =5b =A,且 a b 1 1 + =2，则 A 的值是 15 3.已知 log7［log3(log2x)］=0，那么 1 2 x − 等于 4 2 2.已知 0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则 loga b b b a b 1 ,log ,log 1 的大小关系是 b b b a b a 1 log 1 log log 3. 函数 f（x）= x 1 ln（ 3 2 3 4 2 2 x − x + + − x − x + ）的定义域为 ［-4，0）∪（0，1） 4.设 f(x)=lg x x − + 2 2 ,则 f ) 2 ) ( 2 ( x f x + 的定义域为 (-4,-1)∪(1,4) 5.函数 y=lg(x2 +2x+m)的值域是 R,则 m 的取值范围是 m≤1 6.已知函数 f(2x）的定义域是［-1，1］，求 f(log2x)的定义域. 解∵y=f(2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴ 2 1 ≤2 x≤2. ∴函数 y=f(log2x)中 2 1 ≤log2x≤2.即 log2 2 ≤log2x≤log24,∴ 2 ≤x≤4. 故函数 f(log2x)的定义域为［ 2 ，4］ 三.例题精讲： 题型 1：对数运算
例1计算:(1)lg(2-√3)(2)2(1g)2+1g2·1g5+Vg2)-k2+1 (3)1g32-41g+1g√24 解(1)方法一利用对数定义求值设mg(2-√5)=x, 则(2+3)2=2-3 方法二利用对数的运算性质求解 (2+)-=1 (2)原式=g(21g+1g5)+gy-2√+=g(1g2+1g5)+1g-1 =1g+(1-1g)=1 (3)原式=(1g32-1g49)-41g8+1g245=1(51g2-2lg7)-4×3g2+1(21g7+1g5) =51g2-1g7-21g2+1g7+11g5=11g2+11g5=1g(2×5)=11g10=1 题型2:对数函数性质及应用. 例2比较下列各组数的大小. (1)1og2与log5;(2)1og1.0.7与log120.7 (3)已知1og,b1og51=0,∴log2lg,1lgn12, logo, 1. 1 log, 1.2 即由换底公式可得log.0.7a>c,而y=2是增函数,∴2>23>2 变式:(209全国卷Ⅱ理)设a= log, T, b=10g2√.c=lgV2,则a>b>c log3vclog2√3b:a>b>c 例3.已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1-√]上是单调递减函数 求实数a的取值范围
例 1 计算：（1） log (2 3) 2 3 − + （2）2(lg 2 ) 2 +lg 2 ·lg5+ (lg 2) lg 2 1 2 − + ; （3） 2 1 lg 49 32 - 3 4 lg 8 +lg 245 . 解 （1）方法一 利用对数定义求值 设 log (2 3) 2 3 − + =x, 则(2+ 3 ) x =2- 3 = 2 3 1 + =（2+ 3 ）-1 ,∴x=-1. 方法二 利用对数的运算性质求解 log (2 3) 2 3 − + = 2 3 log + 2 3 1 + = 2 3 log + (2+ 3 ) -1 =-1. （2）原式=lg 2 （2lg 2 +lg5 ）+ (lg 2) 2lg 2 1 2 − + =lg 2 (lg2+lg5)+|lg 2 -1| =lg 2 +(1-lg 2 )=1. （3）原式= 2 1 （lg32-lg49）- 3 4 lg8 2 1 + 2 1 lg245 = 2 1 (5lg2-2lg7)- 3 4 × lg 2 2 3 + 2 1 (2lg7+lg5) = 2 5 lg2-lg7-2lg2+lg7+ 2 1 lg5= 2 1 lg2+ 2 1 lg5 = 2 1 lg(2×5)= 2 1 lg10= 2 1 . 题型 2：对数函数性质及应用. 例 2 比较下列各组数的大小. （1）log3 3 2 与 log5 5 6 ;（ 2）log1.10.7 与 log1.20.7; （3）已知 log 2 1 b＜log 2 1 a＜log 2 1 c,比较 2 b ,2a ,2c的大小关系. 解 （1）∵log3 3 2 ＜log31=0, 而 log5 5 6 ＞log51=0,∴log3 3 2 ＜log5 5 6 . (2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞ log0.71.1 log0.7 1.2 , ∴ log 1.2 1 log 1.1 1 0.7 0.7 , 即由换底公式可得 log1.10.7＜log1.20.7. 方法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象. 如图所示两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7＜log1.20.7. (3)∵y= x 2 1 log 为减函数，且 b a c 2 1 2 1 2 1 log log log , ∴b＞a＞c,而 y=2x是增函数，∴2 b＞2 a＞2 c . 变式：（2009 全国卷Ⅱ理）设 3 2 3 a b c = = = log , log 3, log 2 ，则 abc 3 2 2 log 2 log 2 log 3 b c 2 2 3 3 log 3 log 2 log 3 log = a b a b c 例 3.已知函数 f（x）=log2(x2 -ax-a)在区间（-∞, 1- 3 ］上是单调递减函数. 求实数 a 的取值范围
解令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=(x-)a-÷, 由以上知g(x)的图象关于直线x=a对称且此抛物线开口向上 因为函数f(x)=1og2g(x)的底数2>1,在区间(-∞,1-]上是减函数, 所以g(x)=x2ax-a在区间(-∞,1-]上也是单调减函数,且g(x)>0. 解得2-25≤a0② 由①、②得x>1,由③得x1,f(x)的定 义域是(1,p) (2)f(x)=10g[(x+1)(px)]=l0g2[-(x-2-)2++](13时,03时,f(x)的值域是(-∞,21og2(p+1)-2]; 当10,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞) 都有|f(x)≥1成立,试求a的取值范围
解 令 g(x)=x2 -ax-a,则 g(x)=（x- 2 a ）2 -a- 4 2 a , 由以上知 g(x）的图象关于直线 x= 2 a 对称且此抛物线开口向上. 因为函数 f(x)=log2g(x)的底数 2＞1, 在区间（-∞,1- 3 ］上是减函数， 所以 g(x)=x2 -ax-a 在区间（-∞,1- 3 ］上也是单调减函数，且 g(x)＞0. ∴ − − − − − − − (1 3) (1 3) 0 2 2 3 (1 3) 0 2 1 3 2 a a a g a ，即 解得 2-2 3 ≤a＜2. 故 a 的取值范围是{a|2-2 3 ≤a＜2}. 例 4.已知函数 f(x)=log2 1 1 − + x x +log2(x-1)+log2(p-x). （1）求 f(x)的定义域； （2）求 f(x)的值域. 解 （1）f(x)有意义时，有 − − − + 0 ③, 1 0 ②, 0 ①, 1 1 p x x x x 由①、②得 x＞1,由③得 x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故 p＞1,f(x)的定 义域是(1,p). （2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］ =log2［-（x- 2 p −1 ）2 + 4 ( 1) 2 p + ］ (1＜x＜p), ①当 1＜ 2 p −1 ＜p，即 p＞3 时， 0＜-(x- 4 ( 1) 4 ( 1) ) 2 1 2 2 2 + + + p − p p , ∴log2 + + − − − 4 ( 1) ) 2 1 ( 2 p 2 p x ≤2log2(p+1)-2. ②当 2 p −1 ≤1，即 1＜p≤3 时， ∵0＜-(x- 2( 1), 4 ( 1) ) 2 1 2 2 − + + − p p p ∴log2 + + − − − 4 ( 1) ) 2 1 ( 2 p 2 p x ＜1+log2(p-1). 综合①②可知： 当 p＞3 时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］; 当 1＜p≤3 时，函数 f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)). 题型 3：综合应用. 例 5.已知函数 f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意 x∈［3，+∞） 都有|f(x)|≥1 成立，试求 a 的取值范围
解当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0 所以,f(x)|=f(x),而f(x)=1ogx在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥log3., 要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立 只要10g3≥1=1oga即可,∴10,且a≠1,b>0) (1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性 解(1)由xb>0=(x+b)(x-b)>0.解得f(x)的定义域为(-∞,b)U(b,+∞) (2)∵f(-x)=10g(二xb)=gx+b)=kg(xb)=-(x)∴f(x)为奇函数 (3)令u(x)=x+b,则u(x)=1+2b.它在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数 ∴当01时,f(x)在(-∞,b)和(b,+∞)上是减函数
解 当 a＞1 时，对于任意 x∈［3，+∞），都有 f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而 f(x)=logax 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意 x∈［3，+∞），有 f(x)≥loga3. ， 要使|f(x)|≥1 对于任意 x∈［3，+∞）都成立. 只要 loga3≥1=logaa 即可，∴1＜a≤3. 当 0＜a＜1 时，对于 x∈［3，+∞），有 f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=logax 在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意 x∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-loga3. 因此，要使|f(x)|≥1 对于任意 x∈［3，+∞）都成立， 只 要-loga3≥1 成立即可， ∴loga3≤-1=loga a 1 ,即 a 1 ≤3,∴ 3 1 ≤a＜1. 综上，使|f(x)|≥1 对任意 x∈［3，+∞）都成立 a 的取值范围是(1，3］∪［ 3 1 ，1）. 例 6.已知函数 y=log 2 a (x2 -2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求 a 的取值范围. 解 因为 (x)=x2 -2ax-3 在(-∞,a］上是减函数， 在［a, +∞)上是增函数， 要使 y=log 2 a (x2 -2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数， 首先必有 0＜a 2＜1, 即 0＜a＜1 或-1＜a＜0,且有 − − 2, ( 2) 0, a 得 a≥- 4 1 . 综上，得- 4 1 ≤a＜0 或 0＜a＜1. 例 7.已知函数 f(x)=loga x b x b − + (a＞0,且 a≠1，b＞0). （1）求 f(x)的定义域； （2）讨论 f(x)的奇偶性；（3）讨论 f(x）的单调性. 解 （1）由 x b x b − + ＞0 (x+b)(x-b)＞0.解得 f(x)的定义域为（-∞,-b）∪(b,+∞). （2）∵f（-x）=loga( ) log ( ) log ( ) ( ), 1 f x x b x b x b x b x b x b a a = − − + = + − = − − − + − ∴f（x）为奇函数. （3）令 u（x）= x b x b − + ，则 u(x)=1+ . 2 x b b − 它在（-∞,-b）和(b,+∞)上是减函数. ∴当 0＜a＜1 时，f(x)在（-∞,-b）和(b,+∞)上是增函数； 当 a＞1 时，f(x)在（-∞,-b）和(b,+∞)上是减函数
例8.设a,b∈R,且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=g+a是奇函数 (1)求b的取值范围;(2)讨论函数f(x)的单调性. 解(1)f(x)=1g+a(-b0,即-1<x<1, 1+2x 此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于-1≤b<b≤ 所以b的取值范围是(0,1] (2)设任意的x,x2∈(-b,b),且x<x,由b∈(0,1], 得-1≤-b<x1<x2<b≤, 所以0<1-2x2<1-2x,0<1+2x1<1+2x, 从而f(x2)卡、+2x里1+2x12(+2x)-2x)kg=0 (1-2x2)(1+2x) 因此f(x)在(-b,b)内是减函数,具有单调性. 能力测试题 1.化简求值 (1)1og27+log212-1og242-1 (2)(1g2)2+1g2·1g50+1g25; (3)(10g2+1og2)·(log3+log3)
例 8.设 a,b∈R，且 a≠2,定义在区间（-b,b）内的函数 f(x)= x ax 1 2 1 lg + + 是奇函数. （1）求 b 的取值范围； （2）讨论函数 f(x)的单调性. 解 （1）f(x)=lg x ax 1 2 1 + + (-b＜x＜b)是奇函数等价于： 对任意 x∈(-b,b)都有 + + − = − 0 ② 1 2 1 ( ) ( ) ①, ， ， x ax f x f x ①式即为 ax x x ax + + = − − 1 1 2 lg 1 2 1 lg ， 由此可得 ax x x ax + + = − − 1 1 2 1 2 1 ,也即 a 2 x 2 =4x2 , 此式对任意 x∈(-b,b)都成立相当于 a 2 =4,因为 a≠2,所以 a=-2， 代入②式，得 x x 1 2 1 2 + − ＞0,即- 2 1 ＜x＜ 2 1 , 此式对任意 x∈(-b,b)都成立相当于- 2 1 ≤-b＜b≤ 2 1 , 所以 b 的取值范围是（0, 2 1 ］. （2）设任意的 x1,x2∈(-b,b)，且 x1＜x2,由 b∈（0，2 1 ］， 得- 2 1 ≤-b＜x1＜x2＜b≤ 2 1 , 所以 0＜1-2x2＜1-2x1,0＜1+2x1＜1+2x2, 从而 f(x2)-f(x1)= lg1 0. (1 2 )(1 2 ) (1 2 )(1 2 ) lg 1 2 1 2 lg 1 2 1 2 lg 2 1 2 1 1 1 2 2 = + − − + = + − − + − x x x x x x x x 因此 f(x)在（-b,b)内是减函数，具有单调性. 能力测试题 1.化简求值. （1）log2 48 7 +log212- 2 1 log242-1; （2）(lg2)2 +lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83)
解(1)原式=10g2+10g12-10g4-10g2=l0g7×2 log, 22= (2)原式=1g2(1g2+1g50)+1g25=21g2+1g25=1g100=2 (3)原式=(鸟2+g2 y22 g3、3lg25g3 6Ig 2 21g 3 61g 2 2.计算(10g3:)2-32+10g021+91ogs-1og1=_2 3.函数f(x)=x-2的定义域为[3,+∞) 4.函数f(x)=18(x-2的定义域为(-3,0)或(2,3); 5.若函数y=1og(x+b)(a>0,且a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则a=2,b=2 6.设a>1,函数f(x)10gx在区间[a2a]上的最大值与最小值之差为,则a=生 函数y=log,(x2-3x+2)的递增区间是(-∞,1) 8.函数f(x)=a4+10g.(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a 9.已知1g(xy)+1g(x+2y)=1g2+1gx+1gy,则x=2 10.若函数y=1g(4-a·2)的定义域为R,则实数a的取值范围为a≤0 、解答题 已知函数f(x)=1og(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点 对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象 (1)写出函数g(x)的解析式; (2)当x∈[0,1)时总有f(x)g(x)≥m成立,求m的取值范围. 解(1)设P(x,y)为g(x)图象上任意一点,则Q(-x,y)是点P关 于原点的对称点, ∵Q(x,y)在f(x)的图象上,∴y=log2(-x+1),即y=g(x)=1oga(1-x) (2)f(x)+g(x)≥m,即10gx+1≥m 设F(x)=1og4+x,x∈[0,1),由题意知,只要F(x)m≥m即可 ∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)mF(0)=0.故m≤0即为所求 12.已知过原点0的一条直线与函数y=1ogx的图象交于A、B两点,分别过A、B作y
解 (1)原式=log2 48 7 +log212-log2 42 -log22 =log2 . 2 3 log 2 2 2 1 log 48 42 2 7 12 2 3 = 2 = 2 = − − （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( . 4 5 6lg2 5lg3 · 2lg3 3lg2 ) 3lg2 lg3 2lg2 lg3 )·( 2lg3 lg2 lg3 lg2 + + = = 2. 计算(log33 2 1 ) 2 2 3 log 3 − − +log0.25 4 1 +9log5 5 -log 3 1= 4 21 . 3.函数 f(x)= log ( 1) | 2 | 1 2 − − − x x 的定义域为 ［3，+∞） . 4.函数 f(x)= 2 2 9 1 ( 2 ) x g x x − − 的定义域为 （-3，0）或（2，3） ； 5.若函数 y=loga(x+b) (a＞0,且 a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则 a=2,b=2 6.设 a＞1,函数 f(x)=logax 在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为 2 1 ，则 a= 4 7.函数 y=log 2 1 (x2 -3x+2)的递增区间是 （-∞,1） 8.函数 f（x）=ax +loga（x+1）在［0，1］上的最大值和最小值之和为 a，则 a= 2 1 9.已知 lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy,则 = y x 2 . 10.若函数 y=lg(4-a·2 x )的定义域为 R，则实数 a 的取值范围为 a≤0 三、解答题 11.已知函数 f(x)=loga(x+1)(a＞1),若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点 对称点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. （1）写出函数 g(x)的解析式； （2）当 x∈［0，1）时总有 f(x)+g(x)≥m 成立，求 m 的取值范围. 解 （1）设 P（x，y）为 g(x)图象上任意一点， 则 Q（-x，-y）是点 P 关 于原点的对称点， ∵Q（-x，-y）在 f(x)的图象上， ∴-y=loga（-x+1），即 y=g(x)=-loga(1-x). （2）f(x)+g(x)≥m,即 loga x x − + 1 1 ≥m. 设 F（x）=loga x x − + 1 1 ,x∈［0，1）， 由题意知，只要 F（x）min≥m 即可. ∵F（x）在［0，1）上是增函数， ∴F（x）min=F（0）=0.故 m≤0 即为所求. 12.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过 A、B 作 y
轴的平行线与函数y=logx的图象交于C、D两点 (1)证明:点C、D和原点0在同一直线上 (2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标 (1)证明设点A、B的横坐标分别为x、x2 由题设知x1>1,x2>1,则点A、B的纵坐标分别为10gx、1ogx2 因为A、B在过点0的直线上,所以=g 点C、D的坐标分别为(x,logx)、(x2,log2x2), 由于10g2X=g5=31ogX,1og2x=31ogsx2,0C的斜率为k==31g, OD的斜率为k,=og=3g,x,由此可知k1=k2,即0、C、D在同一直线上 (2)解由于BC平行于x轴,知1og2x1=1ogx2,即得10g2X1=110g2X2,x2=x1, 代入x2logx=x1logx2,得x3logx-=3x1logx,由于x1>1,知1ogx1≠0,故x2=3x, 又因x1>1,解得x1=,于是点A的坐标为(J,1ogs)
轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. （1）证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上； （2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标. （1）证明 设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2, 由题设知 x1＞1,x2＞1,则点 A、B 的纵坐标分别为 log8x1、log8x2. 因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以 2 8 2 1 8 1 log log x x x x = 点 C、D 的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2), 由于 log2x1= log 2 log 8 8 1 x =3log8x1,log2x2=3log8x2, OC 的斜率为 k1= 1 8 1 1 2 1 log 3log x x x x = , OD 的斜率为 , log 3log 2 8 2 2 2 2 2 x x x x k = = 由此可知 k1=k2,即 O、C、D 在同一直线上. （2）解 由于 BC 平行于 x 轴，知 log2x1=log8x2，即得 log2x1= 3 1 log2x2,x2=x 3 1, 代入 x2log8x1=x1log8x2，得 x 3 1log8x1=3x1log8x1,由于 x1＞1,知 log8x1≠0,故 x 3 1=3x1, 又因 x1＞1,解得 x1= 3 ,于是点 A 的坐标为（ 3 ，log8 3 ). 风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少， 同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。 春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。 我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费 的年代，我希望能向世界表明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要 稍留欠缺，才能持恒。 只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老，不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊， 何处高楼雁一声？ 如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也都已启程 却忽然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而 你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。 我也要求你读书用功，不 是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间 三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。 这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；这是希望之春，这是失望 之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。 我有所感事，结在深深肠。 你一定要“离开”才能开展你自己。所谓父母，就是那不断对着背影既欣喜又悲伤，想追回拥抱 又不敢声张的人。 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围，就是他的世界。因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。 刻意去找的东西，往往是找不到的。天下万物的来和去，都有他的时间。 与善人居， 如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。 曾经沧海难为水，除却巫山不是云。 回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。 半生闯荡，带来家业丰厚，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终 点，归根到底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，朴素，但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难，就可以问老天要多少人生。心，若没有栖息的地方，到哪里都是流浪...如果有来生，要做一只鸟， 飞越永恒，没有迷途的苦恼。东方有火红的希望，南方有温暖的巢床，向西逐退残阳，向北唤醒芬芳。如果有来生，希望每次相遇，都能化为永恒。不乱于心，不困于情。不畏将来，不念过往。如此，安好。 笑，全世界 便与你同声笑，哭，你便独自哭。 一辈子，不说后悔，不诉离伤。上帝作证，我是真的想忘记，但上帝也知道，我是真的忘不了 如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了，一半一半，选哪一半都很困 难，所以这才是选择。跟着你，在哪里，做什么，都好。眠。我倾尽一生，囚你无期。择一人深爱，等一人终老。痴一人情深，留一世繁华。断一根琴弦，歌一曲离别。我背弃一切，共度朝夕。 人总是在接近幸福时倍感 幸福，在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过，留下的且当珍惜 我相信，真正在乎我的人是不会被别人抢走的，无论是友情，还是爱情。我还是相信，星星会说话，石头会开花，穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后， 你终会抵达！ 每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光，提醒我，若不学会遗忘，就背负绝望。 那一年夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱 缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最后。 如果一开始就知道是这样的结局，我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。 黄昏是一天最美丽的时刻，愿每一颗流浪的心，在一盏灯光下，得到永远的归宿。 因为 有了因为，所以有了所以。既然已成既然，何必再说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦，会照亮你的路。 我希望有个如你一般的人。 如这山间清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上阳光一般的人，温暖而不炙热，覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚，由山野到书房，一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人，贯彻未来，数遍生命的公路牌。 岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生，风雪是你，成多每内淡是你，清贫是你，荣华是你，心底温柔是你，并用光所内为界，也是你。个人的遭遇，命运的多舛都使我被迫成熟
这一切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏,是一个关于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过很多的朋友,没有谁像你一样的温柔,每当你牵起我的手,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因 为没有结局才有了继续等下去的理由。 有些人，有些事,是不是你想忘记,就真的能忘记?也许有那么一个时侯，你忽然会觉得很绝望，觉得全世界都背弃了你，活着就是承担屈辱和痛苦。这个时候你要对自己说，没关系， 很多人都是这样长大的。风平浪静的人生是中年以后的追求。当你尚在年少，你受的苦，吃的亏，担的责，扛的罪，忍的痛，到最后都会变成光，照亮你的路。 你要做一个不动声色的大人了。不准情绪化，不准偷偷想念， 不准回头看。去过自己另外的生活。你要听话，不是所有的鱼都会生活在同一片海里。有人说，鲁迅是杂文，胡适是评论；鲁迅是酒，胡适是水。酒让人看到真性情，也看到癫狂，唯有水，才是日常所需，是真生活。有 时候会很自豪地觉得，我唯一的优势就是，比你卑微。于是自由。再也读不到传世的檄文，只剩下廊柱上龙飞凤舞的楹联。再也找不见慷慨的遗恨，只剩下几座既可凭吊也可休息的亭台。再也不去期待历史的震颤，只有 凛然安坐着的万古湖山。 呼兰河这小城里边，以前住着我的祖父，现在埋着我的祖父。 诗意上来时，文字不要破坏它。 水，看似柔顺无骨，却能变得气势滚滚，波涌浪叠，无比强大；看似无色无味，却能挥洒出茫茫绿 野，累累硕果，万紫千红；看似自处低下，却能蒸腾九霄，为云为雨，为虹为霞…… 一切达观，都是对悲苦的省略 我们孩还发多夫道知道了，就得看不我们后心回的”家“，不是起用看把一个有邮递区号、邮差找得到 的家，后心天能们后心回的”家“，不是空于而，风每都到小是一段时光。 它们能够躲过所有凝视的目光，却躲不过那些出其不意投来的目光。 中国人对待自然环境与外国人截然不同，外国人注意到的是人如何改变土地，而中国人关注的是土地怎样改变了人。、堂皇转眼凋零，喧腾是短命的别名。在流光溢彩的日子里，生命被铸上妖冶的印记。托尔斯泰说：“忧 来无方，窗外下雨，坐沙发，吃巧克力，读狄更斯，心情又会好起来，和世界妥协。” 成熟是一种明亮而不刺眼的光辉，一种圆润而不腻耳的声响，一种不再需要对别人察言观色的从容，一种终于停止向周围申诉求告的 大气，一种不理会喧闹的微笑，一种洗刷了偏激的淡漠，一种无需声张的厚实，一种能够看的很远却并不陡峭的高度。我不要天堂，我只要底线。因为没有底线，就没有自由。 宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。 如果你想知道周围有多么黑暗，你就得留意远处的微弱光线。如果我没有刀，我就不能保护你。如果我有刀，我就不能拥抱你。“今天比昨天慈悲，今天比昨天 智慧，今天比昨天快乐。这就是成功。” 没有悲剧就没有悲壮，没有悲壮就没有崇高 我们都在阴沟里，但仍有人仰望星空。 没有人性的觉醒，权力与财富只使人更粗鄙堕落。 满地都是六便士，他却抬头看见了月亮。走 出酒吧的那一刹，我被遽然刺来的阳光下了一跳。闭上眼，我想起了我的收音机。它已经很旧很老，退役多年了