《幂函数》教学设计 教学目标 1通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图象和性质的归纳与概括,让学生体验 数学概念的形成过程,培养学生的抽象概括能力 2使学生理解并掌握幂函数的图象与性质,并能初步运用所学知识解决有关问 题,培养学生的灵活思维能力 3培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。 教学重点、难点 重点:幂函数的性质及运用 难点:幂函数图象和性质的发现过程 教学方法:问题探究法教具:多媒体 教学过程 一、创设情景,引入新课 问题1:如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p(元)和购买的 水果量w(千克)之间有何关系? (总结:根据函数的定义可知,这里p是w的函数) 问题2:如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数。 问题3:如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数 问题4:如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S2,这里a是S的函数 问题5:如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的速度v=tkm/s,这里v是t的函 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同 点吗?(右边指数式,且底数都是变量) 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表,如果让你给他们起一个名字的 话,你将会给他们起个什么名字呢?(变量在底数位置,解析式右边都是幂的形式)(适当 引导:从自变量所处的位置这个角度)(引入新课,书写课题 二、新课讲解 由学生讨论,(教师可提示p=w可看成p=w1)总结,即可得出:p=w,s=a2,a=s2, =都是自变量的若干次幂的形式 教师指出:我们把这样的都是自变量的若干次幂的形式的函数称为幂函数 幂函数的定义:一般地,我们把形如y=x的函数称为幂函数( power function),其中x是 自变量,是常数 1幂函数与指数函数有什么区别?(组织学生回顾指数函数的概念) 结论:幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数,从 它们的解析式看有如下区别: 对幂函数来说,底数是自变量,指数是常数 对指数函数来说,指数是自变量,底数是常数 例1判别下列函数中有几个幂函数?
《 幂 函 数 》 教 学 设 计 教学目标 1 通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图象和性质的归纳与概括，让学生体验 数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力。 2 使学生理解并掌握幂函数的图象与性质，并能初步运用所学知识解决有关问 题，培养学生的灵活思维能力。 3 培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。 教学重点、难点 重点：幂函数的性质及运用 难点：幂函数图象和性质的发现过程 教学方法：问题探究法 教具：多媒体 教学过程 一、创设情景，引入新课 问题 1：如果张红购买了每千克 1 元的水果 w 千克，那么她需要付的钱数 p（元）和购买的 水果量 w（千克）之间有何关系？ （总结：根据函数的定义可知，这里 p 是 w 的函数） 问题 2：如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积 2 S = a ，这里 S 是 a 的函数。 问题 3：如果正方体的边长为 a，那么正方体的体积 3 V = a ,这里 V 是 a 的函数。 问题 4：如果正方形场地面积为 S，那么正方形的边长 2 1 a = S ,这里 a 是 S 的函数 问题 5：如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么他骑车的速度 V t km/s −1 = ，这里 v 是 t 的函 数。 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同 点吗？(右边指数式，且底数都是变量) 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的 话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当 引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题） 二、新课讲解 由学生讨论，（教师可提示 p=w 可看成 p=w1）总结，即可得出：p=w, s=a2 , a=s 2 1 , v=t-1 都是自变量的若干次幂的形式。 教师指出：我们把这样的都是自变量的若干次幂的形式的函数称为幂函数。 幂函数的定义：一般地，我们把形如 y = x 的函数称为幂函数（power function），其中 x 是 自变量， 是常数。 1 幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念） 结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从 它们的解析式看有如下区别： 对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数 例 1 判别下列函数中有几个幂函数？
2 ①y=②y=2x2③yx3④y=x2+x⑤y=x3y=0.2⑦y=x5③y=x23 y=x2(由学生独立思考、回答) 2幂函数具有哪些性质?研究函数应该是哪些方面的内容。前面指数函数、对数 函数研究了哪些内容? (学生讨论,教师引导。学生回答。) 3幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样,具有相同的定义域? (学生小组讨论,得到结论。引导学生举例研究。结论:幂指数a不同,定义域 并不完全相同,应区别对待。)教师指出:幂函数y=x中,当n=0时,其表达式y=x"=1;定 义域为(-∞,0)U(0,+∞),特别强调,当x为任何非零实数时,函数的值均为1,图象 是从点(0,1)出发,平行于x轴的两条射线,但点(0,1)要除外。) 例2写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性:①y=x3②y=2③y=x-2④y=x3 (学生解答,并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。引导学生 具体问题具体分析,并作简单归纳:分数指数应化成根式,负指数写成正数指数再写出定义 域。幂函数的奇偶性也应具体分析。) 4上述函数①=x3②y=2③y=x2④y=x3的单调性如何?如何判断 (学生思考,引导作图可得。并加上y=x和y=x图象)接下来,在同一坐标系中学生 作图,教师巡视。将学生作图用实物投影仪演示,指出优点和错误之处。教师利用几何画板 演示。见后附图1 让学生观察图象,看单调性、以及还有哪些共同点?(学生思考,回答。教师注 意学生叙述的严密性。) 教师总评:幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1) (2)如果a>0,则幂函数的图象通过原点,并在区间[0,+∞)上是增函数, (3)如果a<0,则幂函数在(0,+∞)上是减函数,在第一区间内,当x从右 边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地趋近y轴:当x趋向于+∞,图象在x 轴上方无限地趋近x轴。 5通过观察例1,在幂函数y=x中,当a是(1)正偶数、(2)正奇数时,这一 类函数有哪种性质? 学生思考,教师讲评:(1)在幂函数y=x中,当a是正偶数时,函数都是偶函数,在 第一象限内是增函数。(2)在幂函数y=x中,当a是正奇数时,函数都是奇函数,在第 象限内是增函数
① y= 3 1 x ②y=2x2 ③y=x 3 2 ④y=x2+x ⑤y=-x 3 ⑥ x y = 0.2 ⑦ 5 1 y = x ⑧ 3 y x − = ⑨ 2 y x − = （由学生独立思考、回答） 2 幂函数具有哪些性质？研究函数应该是哪些方面的内容。前面指数函数、对数 函数研究了哪些内容？ （学生讨论，教师引导。学生回答。） 3 幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样，具有相同的定义域？ （学生小组讨论，得到结论。引导学生举例研究。结论：幂指数 不同，定义域 并不完全相同，应区别对待。）教师指出：幂函数 y=xn 中，当 n=0 时，其表达式 y=x0=1;定 义域为（-∞，0）U（0，+∞），特别强调，当 x 为任何非零实数时，函数的值均为 1，图象 是从点（0,1）出发，平行于 x 轴的两条射线，但点（0,1）要除外。） 例 2 写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：①y=x 3 ②y= 2 1 ③y=x −2 ④y=x 3 2 （学生解答，并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。引导学生 具体问题具体分析，并作简单归纳：分数指数应化成根式，负指数写成正数指数再写出定义 域。幂函数的奇偶性也应具体分析。） 4 上述函数①y=x 3 ②y= 2 1 ③y=x −2 ④y=x 3 2 的单调性如何？如何判断？ （学生思考，引导作图可得。并加上 y=x 和 y=x-1 图象）接下来， 在同一坐标系中学生 作图，教师巡视。将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。教师利用几何画板 演示。见后附图 1 让学生观察图象，看单调性、以及还有哪些共同点？（学生思考，回答。教师注 意学生叙述的严密性。） 教师总评：幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都过点（1,1）, （2）如果 a>0，则幂函数的图象通过原点，并在区间[0，+∞）上是增函数， （3）如果 a<0，则幂函数在（0，+∞）上是减函数，在第一区间内，当 x 从右 边趋向于原点时，图象在 y 轴右方无限地趋近 y 轴；当 x 趋向于+∞，图象在 x 轴上方无限地趋近 x 轴。 5 通过观察例 1，在幂函数 y=xa 中，当 a 是（1）正偶数、（2）正奇数时，这一 类函数有哪种性质？ 学生思考，教师讲评：（1）在幂函数 y=xa 中，当 a 是正偶数时，函数都是偶函数，在 第一象限内是增函数。（2）在幂函数 y=xa 中，当 a 是正奇数时，函数都是奇函数，在第一 象限内是增函数
例3巩固练习写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性和单调性:①y=x4 例4简单应用1:比较下列各组中两个值的大小,并说明理由: ①0752,0.762 ②(-0.95)3,(-0.96)3; ③0235,0.245 ④03123,0.3124 例5简单应用2:幂函数y=(m2-3m-3x在区间(0,+∞)上是减函数,求m的值 例6简单应用2 已知(a+1)2<(3-2a)2,试求a的取值范围。 课堂小结 今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验? 1、幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 2、常见幂函数的图象和幂函数的性质 布置作业: 课本p732、3、4、思考5 教学后记: 1达到基本的教学要求:通过五种特殊幂函数的性质和图像的研究,认识幂函数 的共同性质和上述每种函数的特殊性质,从而巩固对函数一般性质的认识。 2通过观察图像的五种幂函数的性质,体会数形结合的数学思想。 3在教学过程中让同学利用计算器自己动手绘图,训练学生基本功,引导学生自 主探究。 在本节课的实践中,既出现了我所意想不到的效果,但也留下一些遗憾: 1课堂评价更多关注与个人评价,而忽略了小组合作讲评价,评价方式也不够多 样 2利用多媒体课件不多,学生自己动手绘图不多,且图样单调,不容易扩展知识 这些不足还有待于我在以后的教学中摸索并改进。 附图1 f(x)=x3
例 3 巩固练习 写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性和单调性：①y=x 4 ②y=x 4 1 ③y=x −3。 例 4 简单应用 1：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由： ①0.75 2 1 ，0.76 2 1 ； ②(-0.95) 3 1 ，(-0.96) 3 1 ； ③0.23 5 3 − ，0.24 5 3 − ； ④0.31 2.3 ，0.31 2.4 例 5 简单应用 2：幂函数 y=(m 2 -3m-3)x m 在区间 (0,+) 上是减函数，求 m 的值。 例 6 简单应用 2： 已知(a+1) 2 1 − <(3-2a) 2 1 − ,试求 a 的取值范围。 课堂小结 今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？ 1、 幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 2、 常见幂函数的图象和幂函数的性质。 布置作业： 课本 p.73 2、3、4、思考 5 教学后记： ⒈达到基本的教学要求：通过五种特殊幂函数的性质和图像的研究，认识幂函数 的共同性质和上述每种函数的特殊性质，从而巩固对函数一般性质的认识。 ⒉通过观察图像的五种幂函数的性质，体会数形结合的数学思想。 ⒊在教学过程中让同学利用计算器自己动手绘图，训练学生基本功，引导学生自 主探究。 在本节课的实践中，既出现了我所意想不到的效果，但也留下一些遗憾： 1 课堂评价更多关注与个人评价，而忽略了小组合作讲评价，评价方式也不够多 样。 ⒉利用多媒体课件不多，学生自己动手绘图不多，且图样单调，不容易扩展知识 点。 这些不足还有待于我在以后的教学中摸索并改进。 附图 1 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 1 0 q(x) = x 2 3 h(x) = x -2 g(x) = x 1 2 f(x) = x 3