空间几何体 【课时目标】熟练掌握空间几何体的结构,以三视图为载体,进一步巩固几何体的体 积与表面积计算 知识梳理 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式 2.空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体 棱柱和圆柱 S表面积=S侧+2S底V= 锥体 S表面积=S侧+S底V= (棱锥和圆锥) 台体 棱台和圆台 作业设计 、选择题 1.圆柱的轴截面是正方形,面积是S,则它的侧面积是( B. S D.4πS 2.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是() 正视图 侧视图 俯视图 2 B 3.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体 的俯视图可以是( 正视图 侧视图
空间几何体 【课时目标】 熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体 积与表面积计算． 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式． 2．空间几何体的表面积和体积公式． 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝________ 锥体 (棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝________ 台体 (棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝_________ ____________ 球 S＝________ V＝ 4 3 πR 3 一、选择题 1．圆柱的轴截面是正方形，面积是 S，则它的侧面积是( ) A． 1 π S B．πS C．2πS D．4πS 2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A． 1 2 B． 2 3 C．1 D．2 3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为1 2 ，则该几何体 的俯视图可以是( )
4.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为() 6-1}6-22 正视图 侧视图 俯视图 A.280 B.292 C.360 D.372 5.棱长为a的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为() a B a A a D 6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是一,则 这个三棱柱的体积是() B.16 C.243D.483 、填空题 7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 正视图 侧视图 俯视图 8.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 1 正视图 侧视图 俯视图 9.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面 半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是
4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( ) A．280 B．292 C．360 D．372 5．棱长为 a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( ) A． a 3 3 B． a 3 4 C． a 3 6 D． a 3 12 6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π 3 ，则 这个三棱柱的体积是( ) A．96 3 B．16 3 C．24 3 D．48 3 二、填空题 7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________． 8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3． 9．圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面 半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm．
三、解答题 10.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视 图和侧视图在下面画出(单位:cm) (1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图 (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积 侧视图 11.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6 米铁丝,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面 (1)当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平 方米) (2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼,请作出用于制作灯笼的三视 图(作图时,不需考虑骨架等因素)
三、解答题 10．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视 图和侧视图在下面画出(单位：cm)． (1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； 11．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9．6 米铁丝，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)． (1)当圆柱底面半径 r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到 0．01 平 方米)； (2)若要制作一个如图放置的、底面半径为 0．3 米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视 图(作图时，不需考虑骨架等因素)．
能力提升 12.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m).则该几何体的体积为 正视图 侧视图 13.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC= 6,BC=CC1=√2,P是BC上一动点,则CP+PA1的最小值是 ◎反思感悟 1.空间几何体是高考必考的知识点之一,重点考查空间几何体的三视图和体积、表面 积的计算,尤其是给定三视图求空间几何体的体积或表面积,更是近几年高考的热点 其中组合体的体积和表面积有加强的趋势,但难度也不会太大,解决这类问题的关键是 充分发挥空间想象能力,由三视图得到正确立体图,进行准确计算. 2.“展”是化折为直,化曲为平,把立体几何问题转化为平面几何问题,多用于研究 线面关系,求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等 习题课空间几何体答案 知识梳理 2. Sh Sh S E+S F+ysES)h 4zR2 作业设计 1.B[设圆柱底面半径为r,则S=4r2 S侧=2xr:2r=4x2=tS 2.C[由三视图可知,该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱,三棱柱的底面
能力提升 12．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m)．则该几何体的体积为________m3． 13．如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝ 6，BC＝CC1＝ 2，P 是 BC1 上一动点，则 CP＋PA1 的最小值是___________． 1．空间几何体是高考必考的知识点之一，重点考查空间几何体的三视图和体积、表面 积的计算，尤其是给定三视图求空间几何体的体积或表面积，更是近几年高考的热点． 其中组合体的体积和表面积有加强的趋势，但难度也不会太大，解决这类问题的关键是 充分发挥空间想象能力，由三视图得到正确立体图，进行准确计算． 2．“展”是化折为直，化曲为平，把立体几何问题转化为平面几何问题，多用于研究 线面关系，求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等． 习题课 空间几何体 答案 知识梳理 1．2πrl πrl π(r＋r′)l 2．Sh 1 3 Sh 1 3 (S 上＋S 下＋ S上S下)h 4πR 2 作业设计 1．B [设圆柱底面半径为 r，则 S＝4r2， S 侧＝2πr·2r＝4πr 2＝πS．] 2．C [由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面
直角三角形的直角边长分别为1和万,三棱柱的高为E,所以该几何体的体积V=1×1×√ 3.C[当俯视图为A中正方形时,几何体为边长为1的正方体,体积为1;当俯视图 为B中圆时,几何体为底面半径为,高为1的圆柱,体积为;当俯视图为C中三角形时 几何体为三棱柱,且底面为直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,体积为:当俯视图 为D中扇形时,几何体为圆柱的,且体积为 4.C[由三视图可知该几何体是由下面一个长方体,上面一个长方体组合而成的几何 下面长方体的表面积为8×10×2+2×8×2+10×2×2=232,上面长方体的表面积 为8×6×2+2×8×2+2×6×2=152,又∵长方体表面积重叠一部分,∴几何体的表面积 为232+152-2×6×2=360.] 5.C[连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为2a的正四棱锥组成,正四棱 锥的高 ai 则八面体的体积为V=2×2×(2a)2=6 得R 正三棱柱的高h=4 设其底面边长为 4 324=483 10 解析该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥,下面是底面边长为1、高为2的正 四棱柱的组合体,其体积为 V=1×1×2+×22×1 解析此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体,而Ⅴ王=82+42+2×42)×3 4×4×2=32 9.4 解析设球的半径为 则xr2×8+xr3×3 π2×6r.解得r=4. 解(1)如图所 (2)所求多面体体积Ⅴ=V长方体一V正三被锥 284 2×2×2 cm
直角三角形的直角边长分别为 1 和 2，三棱柱的高为 2，所以该几何体的体积 V＝ 1 2 ×1× 2 × 2＝1．] 3．C [当俯视图为 A 中正方形时，几何体为边长为 1 的正方体，体积为 1；当俯视图 为 B 中圆时，几何体为底面半径为1 2 ，高为 1 的圆柱，体积为π 4 ；当俯视图为 C 中三角形时， 几何体为三棱柱，且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1，体积为1 2 ；当俯视图 为 D 中扇形时，几何体为圆柱的1 4 ，且体积为π 4 ．] 4．C [由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何 体． ∵下面长方体的表面积为 8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积 为 8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积 为 232＋152－2×6×2＝360．] 5．C [连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为 2 2 a 的正四棱锥组成，正四棱 锥的高为a 2 ，则八面体的体积为 V＝2× 1 3 ×( 2 2 a) 2· a 2 ＝ a 3 6 ．] 6．D [由 4 3 πR 3＝ 32π 3 ，得 R＝2． ∴正三棱柱的高 h＝4． 设其底面边长为 a， 则 1 3 · 3 2 a＝2，∴a＝4 3． ∴V＝ 3 4 (4 3) 2·4＝48 3．] 7． 10 3 解析 该几何体是上面是底面边长为 2 的正四棱锥，下面是底面边长为 1、高为 2 的正 四棱柱的组合体，其体积为 V＝1×1×2＋ 1 3 ×2 2×1＝ 10 3 ． 8．144 解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而 V 正四棱台＝ 1 3 (8 2＋4 2＋ 8 2×4 2 )×3 ＝112，V 正四棱柱＝4×4×2＝32，故 V＝112＋32＝144． 9．4 解析 设球的半径为 r cm，则 πr 2×8＋ 4 3 πr 3×3 ＝πr 2×6r．解得 r＝4． 10．解 (1)如图所示． (2)所求多面体体积 V＝V 长方体－V 正三棱锥 ＝4×4×6－ 1 3 × 1 2 ×2×2 ×2＝ 284 3 (cm3 )．
解由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为 9.6-8×2r 1.2-2r,∴塑料片面积 S=xr2+2x(1.2-2r)=m2+2.4m-4x2=-3m2+2.4m=-3m(m2-0.8r)=-3xr-0.4)2 0.48 ∴当r=0.4时,S有最大值0.48x,约为1.51平方米 2)若灯笼底面半径为0.3米,则高为1.2-2×0.3=0.6(米).制作灯笼的三视图 如图 正视图侧视图 0.6米 俯视图 12.4 解析由三视图可知原几何体是一个三棱锥,且三棱锥的高为2,底面三角形的一边长 为4,且该边上的高为3,故所求三棱锥的体积为V=1×1×3×4×2=4m 解析 将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上,如图 连接A1C即为CP+PA1的最小值,过点C作CD⊥CD于D点,△BCC1为等腰直角三 角形, CD=1, CD=1, A,D=A C1+C,D=7 AC=AD2+CD=√49+1=5V
11．解 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r 8 ＝1．2－2r，∴塑料片面积 S＝πr 2＋2πr(1．2－2r)＝πr 2＋2．4πr－4πr 2＝－3πr 2＋2．4πr＝－3π(r 2－0．8r)＝－3π(r－0．4) 2 ＋0．48π． ∴当 r＝0．4 时，S 有最大值 0．48π，约为 1．51 平方米． (2)若灯笼底面半径为 0．3 米，则高为 1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图 如图． 12．4 解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为 2，底面三角形的一边长 为 4，且该边上的高为 3，故所求三棱锥的体积为 V＝ 1 3 × 1 2 ×3×4×2＝4 m3． 13．5 2 解析 将△BCC1 沿 BC1 线折到面 A1C1B 上，如图． 连接 A1C 即为 CP＋PA1 的最小值，过点 C 作 CD⊥C1D 于 D 点，△BCC1 为等腰直角三 角形， ∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7． ∴A1C＝ A1D2＋CD2＝ 49＋1＝5 2．