第一章第一节空间几何体的结构第二课时 整体设计 教学分析 立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科,只有把我们周围的物 体形状正确迅速分解开,才能清醒地认识几何学,为后续学习打下坚实的基础.简单几何体(柱 体、锥体、台体和球)是构成简单组合体的基本元素.本节教材主要是为了让学生在学习了柱、 锥、台、球的基础上,运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征 三维目标 1.掌握简单组合体的概念,学会观察、分析图形,提高空间想象能力和几何直观能力 2.能够描述现实生活中简单物体的结构,学会通过建立几何模型来研究空间图形,培养 学生的数学建模思想 重点难点 描述简单组合体的结构特征 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.在我们的生活中,酒瓶的形状是圆柱吗?我们的教学楼的形状是柱体吗?钢笔 圆珠笔呢?这些物体都不是简单几何体,那么如何描述它们的结构特征呢?教师指出课题: 简单组合体的结构特征 思路2.现实世界中的物体表示的几何体,除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外, 还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的,这些几何体叫做简单组合体,这节课学习的 果题是:简单组合体的结构特征 推进新课 新知探究 提出问题 ①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的 ②观察图1,结合生活实际经验,简单组合体有几种组合形式? ③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体,它们之间具有怎样的关系? 活动:让学生仔细观察图1,教师适当时候再提示 D略 ②图1中的三个组合体分别代表了三种不同的形式 ③学生可以分组讨论,教师可以制作有关模型展示 讨论结果:①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.现实世界中,我们看到 的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成.图1(1)是一个四棱锥和 个长方体拼接成的,这是多面体与多面体的组合体;图1(2)是一个圆台挖去一个圆锥构成 的,这是旋转体与旋转体的组合体:图1(3)是一个球和一个长方体拼接成的,这是旋转体与 多面体的组合体 ②常见的组合体有三种:多面体与多面体的组合:多面体与旋转体的组合:旋转体与旋 转体的组合.其基本形式实质上有两种:一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体,如图 l(1)和(3所示的组合体:另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体,如图 1(2)所示的组合体. ③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征:1°长方体的八个顶点在同一个球 面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的体对角线是球
第一章第一节空间几何体的结构第二课时 整体设计 教学分析 立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物 体形状正确迅速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础．简单几何体(柱 体、锥体、台体和球)是构成简单组合体的基本元素．本节教材主要是为了让学生在学习了柱、 锥、台、球的基础上，运用它们的结构特征来描述简单组合体的结构特征． 三维目标 1．掌握简单组合体的概念，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力． 2．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会通过建立几何模型来研究空间图形，培养 学生的数学建模思想． 重点难点 描述简单组合体的结构特征． 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.在我们的生活中，酒瓶的形状是圆柱吗？我们的教学楼的形状是柱体吗？钢笔、 圆珠笔呢？这些物体都不是简单几何体，那么如何描述它们的结构特征呢？教师指出课题： 简单组合体的结构特征． 思路 2.现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外， 还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体，这节课学习的 课题是：简单组合体的结构特征． 推进新课 新知探究 提出问题 ①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的． 图 1 ②观察图 1，结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？ ③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体，它们之间具有怎样的关系？ 活动：让学生仔细观察图 1，教师适当时候再提示． ①略． ②图 1 中的三个组合体分别代表了三种不同的形式． ③学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示． 讨论结果：①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．现实世界中，我们看到 的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成．图 1(1)是一个四棱锥和 一个长方体拼接成的，这是多面体与多面体的组合体；图 1(2)是一个圆台挖去一个圆锥构成 的，这是旋转体与旋转体的组合体；图 1(3)是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与 多面体的组合体． ②常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋 转体的组合．其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图 1(1)和(3)所示的组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图 1(2)所示的组合体． ③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征：1°长方体的八个顶点在同一个球 面上，此时长方体称为球的内接长方体，球是长方体的外接球，并且长方体的体对角线是球
的直径;2°一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径:3 球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径 应用示例 思路1 1请描述如图2所示的组合体的结构特征 活动:回顾简单几何体的结构特征,再将各个组合体分解为简单几何体.依据柱、锥、 台、球的结构特征依次作出判断 解:图2(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体 图2(2)是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体 图2(3)是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体 点评:本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力 变式训练 如图3所示,一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直 线l旋转180°,想象并说出它形成的几何体的结构特征 图3 答案:一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球 2连接正方体的相邻各面的中心(所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点),所 得的一个几何体是几面体?并画图表示该几何体 活动:先画出正方体,然后取各个面的中心,并依次连成线观察即可.连接相应点后, 得出图形如图4(1),再作出判断 图4 解:如图4(1),正方体 ABCD-A1B1C1D1,O1、O、O3、O4、O5、O6分别是各表面的中 心.由点O1、O2、O3、O4、O5、O6组成了一个八面体,而且该八面体共有6个顶点,12条 棱.该多面体的图形如图4(2)所示 点评:本题中的八面体,事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形,并且以每 个顶点为其一端,都有相同数目的棱.由图还可见,该八面体可看成是由两个全等的四棱锥 经重合底面后而得到的,而且中间一个四边形O2O3O4O5还是正方形,当然其他的如O1O2O6O 等也是正方形.为了增强立体效果,正方体应画得“正”些,而八面体的放置应稍许“倾斜” 些,并且“后面的”线,即被前面平面所遮住的线,如图中的O1O3、O6O5、O3O2、O5O4应 画成虚线 变式训练 连接上述所得的几何体的相邻 各面的中心,试问所得的几何体又 是几面体 答案:六面体(正方体 思路2 已知如图5所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕BC所在直
的直径；2°一球与正方体的所有棱相切，则正方体每个面上的对角线长等于球的直径；3°一 球与正方体的所有面相切，则正方体的棱长等于球的直径． 应用示例 思路 1 1 请描述如图 2 所示的组合体的结构特征． 图 2 活动：回顾简单几何体的结构特征，再将各个组合体分解为简单几何体．依据柱、锥、 台、球的结构特征依次作出判断． 解：图 2(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体； 图 2(2)是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体； 图 2(3)是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体． 点评：本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力. 变式训练 如图 3 所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直 线 l 旋转 180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征． 图 3 答案：一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球. 2 连接正方体的相邻各面的中心(所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点)，所 得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体． 活动：先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可．连接相应点后， 得出图形如图 4(1)，再作出判断． (1) (2) 图 4 解：如图 4(1)，正方体 ABCD-A1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6 分别是各表面的中 心．由点 O1、O2、O3、O4、O5、O6 组成了一个八面体，而且该八面体共有 6 个顶点，12 条 棱．该多面体的图形如图 4(2)所示． 点评：本题中的八面体，事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形，并且以每 个顶点为其一端，都有相同数目的棱．由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥 经重合底面后而得到的，而且中间一个四边形 O2O3O4O5 还是正方形，当然其他的如 O1O2O6O4 等也是正方形．为了增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜” 些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的 O1O5、O6O5、O5O2、O5O4 应 画成虚线. 变式训练 连接上述所得的几何体的相邻 各面的中心，试问所得的几何体又 是几面体？ 答案：六面体(正方体). 思路 2 1 已知如图 5 所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＜BC，当梯形 ABCD 绕 BC 所在直
线旋转一周时,其他各边旋转围成的一个几何体,试描述该几何体的结构特征 活动:让学生思考AB、AD、DC与旋转轴BC是否垂直,以此确定所得几何体的结构特 解:如图6所示,旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体 点评:本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体 变式训练 如图7所示,已知梯形ABCD中,AD∥BC,且AD BC,当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时,其他 各边旋转围成的一个几何体,试描述该几何体的结构特 图7 图8 答案:如图8所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去 两个圆锥后剩余部分而成的组合体 2如图9(1)、(2)所示的两个组合体有什么区别? 图9 活动:让学生分组讨论和思考,教师及时点拨和评价学生 解:图9(1)所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱,也就是一个长方体和 个圆柱拼接成的组合体;而图9(2)所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构 成的组合体 点评:考查空间想象能力和组合体的概念 变式训练 如图10,说出下列物体可以近似地看作由哪 几种几何体组成? (1) 答案:图10(1)中的几何体可以看作是由一个 圆柱和一个圆锥拼接而成:图10(2)中的螺帽 可以近似看作是一个正六棱柱中挖掉一个圆 柱构成的组合体 知能训练 1.若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体的 条对角线贯穿的小长方体的个数是() A.64 B.66
线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征． 图 5 图 6 活动：让学生思考 AB、AD、DC 与旋转轴 BC 是否垂直，以此确定所得几何体的结构特 征． 解：如图 6 所示，旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体． 点评：本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体. 变式训练 如图 7 所示，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD ＜BC，当梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周时，其他 各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特 征． 图 7 图 8 答案：如图 8 所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去 两个圆锥后剩余部分而成的组合体. 2 如图 9(1)、(2)所示的两个组合体有什么区别？ 图 9 活动：让学生分组讨论和思考，教师及时点拨和评价学生． 解：图 9(1)所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱，也就是一个长方体和一 个圆柱拼接成的组合体；而图 9(2)所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构 成的组合体． 点评：考查空间想象能力和组合体的概念. 变式训练 如图 10，说出下列物体可以近似地看作由哪 几种几何体组成？ 图 10 答案：图 10(1)中的几何体可以看作是由一个 圆柱和一个圆锥拼接而成；图 10(2)中的螺帽 可以近似看作是一个正六棱柱中挖掉一个圆 柱构成的组合体. 知能训练 1．若干个棱长为 2、3、5 的长方体，依相同方向拼成棱长为 90 的正方体，则正方体的 一条对角线贯穿的小长方体的个数是( ) A．64 B．66 C．68 D．70
分析:由2、3、5的最小公倍数为30,由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对 角线穿过的长方体为整数个,所以由2、3、5组成棱长为‰0的正方体的一条对角线穿过的小 长方体的个数应为3的倍数 答案:B 2.图11是一个奖杯,可以近似地看作由哪几种几何体组成? 图11 答案:奖杯的底座是一个正棱台,底座的上面是一个正四棱柱,奖杯的最上部,在正棱 柱上底面的中心放着一个球 拓展提升 1.请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形? 活动:静止是相对的,运动是绝对的,点动成线,线动成面.用运动的观点看几何问题 的形成,容易建立空间想象力,这样对于分割和组合图形是有好处的. 明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圓柱、圆锥、圓台的生成过程,以及柱、锥 台的相互关系,对于我们正确的割补图形也是有好处的 对于正方体的分割,可通过实物模型,实际切割实验,还可借助于多媒体手段进行切割 实验.对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明,从而判断出各个截面的形状 探究:本题考查立体几何的空间想象能力,通过尝试、归纳,可以有如下各种肯定或否 定性的答案 (1)截面可以是三角形:等边三角形、等腰三角形、一般三角形 (2)薇面三角形是锐角三角形,截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形 (3)截面可以是四边形:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;截面为 边形时,这个四边形至少有一组对边平行 (4)截面不能是直角梯形 (5)截面可以是五边形:截面五边形必须有两组分别平行的边,同时有两个角相等;截面 五边形不可能是正五边形 (6)截面可以是六边形:截面六边形必须有分别平行的边,同时有两个角相等 (7)截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形,即正六边形 截面图形如图12中各图所示 四创画邮 图12 课堂小结 本节课学习了简单组合体的概念和结构特征 作业 习题1.1B组第2题 设计感想 本节教学设计依据课程标准的要求:利用实物模型、计算机软件观察大量立体图形,认 识简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构.在教学时, 尽量多给学生一些图片,以便学生形成直观感知,初步获得感性认识 备课资料 备用习题 试描述图13轴承所示的承架的结构特征 图13 答案:底板:其外部结构是一个长方体;半圆头竖板:其下部是一个长方体,上部是半 个圆柱,中间挖了一圆柱孔
分析：由 2、3、5 的最小公倍数为 30，由 2、3、5 组成的棱长为 30 的正方体的一条对 角线穿过的长方体为整数个，所以由 2、3、5 组成棱长为 90 的正方体的一条对角线穿过的小 长方体的个数应为 3 的倍数． 答案：B 2．图 11 是一个奖杯，可以近似地看作由哪几种几何体组成？ 图 11 答案：奖杯的底座是一个正棱台，底座的上面是一个正四棱柱，奖杯的最上部，在正棱 柱上底面的中心放着一个球． 拓展提升 1．请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？ 活动：静止是相对的，运动是绝对的，点动成线，线动成面．用运动的观点看几何问题 的形成，容易建立空间想象力，这样对于分割和组合图形是有好处的． 明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程，以及柱、锥、 台的相互关系，对于我们正确的割补图形也是有好处的． 对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割 实验．对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状． 探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否 定性的答案： (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形． (2)截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形． (3)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四 边形时，这个四边形至少有一组对边平行． (4)截面不能是直角梯形． (5)截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面 五边形不可能是正五边形． (6)截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等． (7)截面六边形可以是等角(均为 120°)的六边形，即正六边形． 截面图形如图 12 中各图所示： 图 12 课堂小结 本节课学习了简单组合体的概念和结构特征． 作业 习题 1.1 B 组 第 2 题． 设计感想 本节教学设计依据课程标准的要求：利用实物模型、计算机软件观察大量立体图形，认 识简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构．在教学时， 尽量多给学生一些图片，以便学生形成直观感知，初步获得感性认识． 备课资料 备用习题 试描述图 13 轴承所示的承架的结构特征． 图 13 答案：底板：其外部结构是一个长方体；半圆头竖板：其下部是一个长方体，上部是半 个圆柱，中间挖了一圆柱孔．
