空间几何体的结构及其三视图和直观图 (时间:45分钟分值:100分) 、选择题 2013惠州模拟]下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是() ①正方体②2圆锥 ③三棱台④正四棱锥 A.①② B.①③ C.①④ 4) 答案:D 解析:根据题目要求三视图中有且仅有两个视图相同,其中①的三个视图可以都相同, 故可以排除选项A,B,C选D 2.[2013南宁模拟]一个几何体的正视图与侧视图相同,均为右图所示 则其俯视图可能是() 答案:B 解析:由正视图和侧视图可知该几何体是一个上面为正四棱锥,下面是一个圆柱的组合 体,故其俯视图为B 3.如图所示,△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图,则△OAB的面积为() 25 B C.6 答案:D 解析:若还原为原三角形,则易知OB=4,OA⊥OB,OA=6,所以SAB=×4×6=
空间几何体的结构及其三视图和直观图 (时间：45 分钟 分值：100 分) 一、选择题 1. [2013·惠州模拟]下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 答案：D 解析：根据题目要求三视图中有且仅有两个视图相同，其中①的三个视图可以都相同， 故可以排除选项 A，B，C.选 D. 2. [2013·南宁模拟]一个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示， 则其俯视图可能是( ) 答案：B 解析：由正视图和侧视图可知该几何体是一个上面为正四棱锥，下面是一个圆柱的组合 体，故其俯视图为 B. 3. 如图所示，△O′A′B′是△OAB 水平放置的直观图，则△OAB 的面积为( ) A. 6 B. 3 2 C. 6 2 D. 12 答案：D 解析：若还原为原三角形，则易知 OB＝4，OA⊥OB，OA＝6，所以 S△AOB＝ 1 2 ×4×6＝ 12
4.某几何体的正视图与侧视图如图所示,若该几何体的体积为,则该几何体的俯视图 可以是() 正视图侧视图 答案:D 解析:当俯视图是D中的图象时,该几何体是一个四棱锥,其底面是边长为1的正方 形,且有一条长为1的侧棱垂直于底面,故此时该几何体的体积是方1x11 5.[203西安质检如图是某几何体的三视图,则该几何体 的体积为() C.9+42 正视图侧视图 D.36+18 答案:B 解析:由题知,该几何体为一个长方体与个球体的组合视图 体,其体积P=3×3×2+1×y=2+18 6.[2013佛山质检]用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如 图,边AB平行于y轴,BC、AD平行于x轴,已知四边形 ABCD O 的面积为2Vcm2,则原平面图形的面积为() B. 4\2 cm2 C.8 D.8v2 cm2 答案:C 解析:依题意可知∠BAD=45°,则原平面图形为直角梯形,上下底面的长与BC、 AD 相等,高为梯形ABCD的高的2√倍,所以原平面图形的面积为8cm2
4. 某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为1 3 ，则该几何体的俯视图 可以是( ) 答案：D 解析：当俯视图是 D 中的图象时，该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为 1 的正方 形，且有一条长为 1 的侧棱垂直于底面，故此时该几何体的体积是 V＝ 1 3 ×1 2×1＝ 1 3 . 5. [2013·西安质检]如图是某几何体的三视图，则该几何体 的体积为( ) A. 9π 2 ＋12 B. 9π 2 ＋18 C. 9π＋42 D. 36π＋18 答案：B 解析：由题知，该几何体为一个长方体与一个球体的组合 体，其体积 V＝3×3×2＋ 4π 3 ×( 3 2 ) 3＝ 9π 2 ＋18. 6. [2013·佛山质检]用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如 图，边 AB 平行于 y 轴，BC、AD 平行于 x 轴．已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm2，则原平面图形的面积为( ) A. 4 cm2 B. 4 2 cm2 C. 8 cm2 D. 8 2 cm2 答案：C 解析：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与 BC、AD 相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 2倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2
填空题 7.[2013怀化模拟]如图,正三棱柱的棱长和底面边长均为 2,正(主)视图是边长为2的正方形,则侧(左)视图的面积为 正(主)视图 答案:23 解析:侧左视图的高为2宽为底面正三角形的高h=×2=√5所以其面积S=25 8.[2013长春模拟]如图是一个几何体的三视图.若它的体积是33,则a= 2 正(主)视图侧左视图 俯视图 答案:3 解析:由三视图可知几何体为一个直三棱柱(如图),底面三角形中边长为2的边上的高 为 所以V=3×(×2×a)=33→a=√3 9.[2013金版原创长和宽分别相等的两个矩形如图所示 正视图 侧视图 给定下列四个命题: ①存在三棱柱,其正视图、侧视图如图 ②存在四棱柱,其俯视图与其中一个视图完全一样;
二、填空题 7. [2013·怀化模拟]如图，正三棱柱的棱长和底面边长均为 2，正(主)视图是边长为 2 的正方形，则侧(左)视图的面积为 ________． 答案：2 3 解析：侧(左)视图的高为 2，宽为底面正三角形的高 h＝ 3 2 ×2＝ 3，所以其面积 S＝2 3. 8. [2013·长春模拟]如图是一个几何体的三视图．若它的体积是 3 3，则 a＝________. 答案： 3 解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱(如图)，底面三角形中边长为 2 的边上的高 为 a， 所以 V＝3×( 1 2 ×2×a)＝3 3⇒a＝ 3. 9. [2013·金版原创]长和宽分别相等的两个矩形如图所示． 给定下列四个命题： ①存在三棱柱，其正视图、侧视图如图； ②存在四棱柱，其俯视图与其中一个视图完全一样；
③存在圆柱,其正视图、侧视图如图 ④若矩形的长与宽分别是2和1,则该几何体的最大体积为4 其中真命题的序号是(写出所有真命题的序号) 答案:①③④ 解析:对于①,将三棱柱正放时(三角形面为底面)能满足要求;②不正确,俯视图应该 是正方形不是矩形;③正确,将圆柱正放囻面为底面)满足要求;④正确,当该几何体是长 方体时体积最大,最大体积为4. 三、解答题 0.[2013无锡调研]如图(1),在四棱锥P一ABCD中,底面为正方形,PC与底面ABCD 垂直,图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图,它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形. B 正视图 侧视图 (1)根据图所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积 (2)求PA 解:(1)该四棱锥的俯视图为边长为6cm的正方形(内含对角线)如图其面积为36cm B (2)由侧视图可求得 PD=\PC+CD2=\62+6=6v2 由正视图可知AD=6且AD⊥PD, 所以在Rt△APD中 PA=yPp+AD=(6万 B
③存在圆柱，其正视图、侧视图如图； ④若矩形的长与宽分别是 2 和 1，则该几何体的最大体积为 4. 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)． 答案：①③④ 解析：对于①，将三棱柱正放时(三角形面为底面)能满足要求；②不正确，俯视图应该 是正方形不是矩形；③正确，将圆柱正放(圆面为底面)满足要求；④正确，当该几何体是长 方体时体积最大，最大体积为 4. 三、解答题 10. [2013·无锡调研]如图(1)，在四棱锥 P－ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面 ABCD 垂直，图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形． (1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求 PA. 解：(1)该四棱锥的俯视图为边长为 6 cm 的正方形(内含对角线)，如图，其面积为 36 cm2 . (2)由侧视图可求得 PD＝ PC2＋CD2＝ 6 2＋6 2＝6 2. 由正视图可知 AD＝6 且 AD⊥PD， 所以在 Rt△APD 中， PA＝ PD2＋AD2＝ (6 2) 2＋6 2 ＝6 3(cm)．
11.[2013唐山检测如图,在斜二测画法下,四边形A′B′C′D′是下底角为45°的等 腰梯形,其下底长为5,一腰长为√E,则原四边形的面积是多少? 解:如图(1)作D′E′⊥A′B′于E CF′⊥A′B′于F 则A′E′=B′F′=A′D′cos45°=1, C′D′=E′F′=3 将原图复原(如图(2),则原四边形应为直角梯形,∠A=90°,AB=5,CD=3,AD=22, S四边形ABCD=×(5+3)×22=8V2 A B′ 正视图 俯视图 12.[2013·大连模拟]如图是一个几何体的正视图和俯视图 (1)试判断该几何体是什么几何体 (2)画出其侧视图,并求该平面图形(侧视图)的面积 解:(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥 (2该几何体的侧褪图,如图 其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离,即BC=5 AD是正棱锥的高,则AD=√5a,所以该平面图形侧视图的面积为S=1×√5x5a=3a2
11. [2013·唐山检测]如图，在斜二测画法下，四边形 A′B′C′D′是下底角为 45°的等 腰梯形，其下底长为 5，一腰长为 2，则原四边形的面积是多少？ 解：如图(1)作 D′E′⊥A′B′于 E′， C′F′⊥A′B′于 F′， 则 A′E′＝B′F′＝A′D′cos45°＝1， ∴C′D′＝E′F′＝3. 将原图复原(如图(2))，则原四边形应为直角梯形，∠A＝90°，AB＝5，CD＝3，AD＝2 2， ∴S 四边形 ABCD＝ 1 2 ×(5＋3)×2 2＝8 2. 12. [2013·大连模拟]如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积． 解：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图，如图． 其中 AB＝AC，AD⊥BC，且 BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即 BC＝ 3a， AD 是正棱锥的高，则 AD＝ 3a，所以该平面图形(侧视图)的面积为 S＝ 1 2 × 3a× 3a＝ 3 2 a 2
