第二节空间几何体的表面积和体积 、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.设下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 正视图 侧视图 俯视图 A.9π+42 B.36π+18 C元兀+12 D兀+18 解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直 径为3,长方体的底面是边长为3的正方形,高为2,故所求体积为 2×3+3=x+18,故选D 答案D 2.如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆),则该 几何体的表面积是()
1 第二节 空间几何体的表面积和体积 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A．9π＋42 B．36π＋18 C. 9 2 π＋12 D. 9 2 π＋18 解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直 径为 3，长方体的底面是边长为 3 的正方形，高为 2，故所求体积为 2×3 2＋ 4 3 π 3 2 3＝ 9 2 π＋18，故选 D. 答案 D 2．如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该 几何体的表面积是( )
正视图侧视图 俯视图 A.20+3丌 B.24+3π C.20+4π D.24+4兀 解析由三视图可知该几何体为一组合体,上面是一个棱长为2 的正方体.下面是半个圆柱,其半径为1,母线为2故S=5×22+π +π×1×2=20+3元 答案A 3.(2014唐山市期末)某几何体的三视图如下图所示,则该几何 体的体积为() 正视图 侧视图 俯视图 A.8π+16 B.8-16 C.8丌+8 D.16汇-8 解析V=24-2424=8m-16,选B 2
2 A．20＋3π B．24＋3π C．20＋4π D．24＋4π 解析 由三视图可知该几何体为一组合体，上面是一个棱长为 2 的正方体．下面是半个圆柱，其半径为 1，母线为 2.故 S＝5×2 2＋π ＋π×1×2＝20＋3π. 答案 A 3．(2014·唐山市期末)某几何体的三视图如下图所示，则该几何 体的体积为( ) A．8π＋16 B．8π－16 C．8π＋8 D．16π－8 解析 V＝ π·22 2 ·4－ 1 2 ·4·2·4＝8π－16，选 B
答案B 4.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体外接球的表面 积为() 正视图 侧视图 俯视图 解析由三视图可知该几何体是底面边长为2,高为1的正三棱 柱.其外接球的球心为上下底面中心连线的中点∴R=(5+ E 12S=4xPs!9 答案C 5.正六棱锥 P-ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥DGAC
3 答案 B 4．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面 积为( ) A. 16 3 π B. 19 12π C. 19 3 π D. 4 3 π 解析 由三视图可知该几何体是底面边长为 2，高为 1 的正三棱 柱．其外接球的球心为上下底面中心连线的中点．∴R2＝ 1 2 2＋ 2 3 3 2＝ 19 12，S＝4πR2＝ 19 3 π. 答案 C 5．正六棱锥 P—ABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 D—GAC
与三棱锥PGAC体积之比为() B.1:2 C.2:1 D.3:2 解析设棱锥的高为h, VD-GAC=G-DC=2S△DCh, VP-GAC2P-ABC=VG-ABC304ABC2 又S△ ADC Saarc=21,故 VD-Gac Vp gac=21 答案C 6.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2 ∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为( B 4 3 B 解析如图,设球心为O,OS=OA=OC得∠SAC=90°,又∠ASC =45°,所以AS=AC=SC,同理BS=BC=SC,可得SC⊥面 OB,则4=3SC=3×3×4=4 故选
4 与三棱锥 P—GAC 体积之比为( ) A．1:1 B．1:2 C．2:1 D．3:2 解析 设棱锥的高为 h， VD—GAC＝VG—DAC＝ 1 3 S△ADC· 1 2 h， VP—GAC＝ 1 2 VP—ABC＝VG—ABC＝ 1 3 S△ABC· h 2 . 又 S△ADC S△ABC＝2 1，故 VD—GAC VP—GAC＝2 1. 答案 C 6．已知球的直径 SC＝4，A，B 是该球球面上的两点，AB＝2， ∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥 S－ABC 的体积为( ) A. 3 3 B. 2 3 3 C. 4 3 3 D. 5 3 3 解析 如图，设球心为 O，OS＝OA＝OC 得∠SAC＝90°，又∠ASC ＝45°，所以 AS＝AC＝ 2 2 SC，同理 BS＝BC＝ 2 2 SC，可得 SC⊥面 AOB，则 VS－ABC＝ 1 3 S△AOB·SC＝ 1 3 × 3×4＝ 4 3 3 ，故选 C
答案C 、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 7.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的 体积为 h r 解析设底面半径为r,如图际示. 227r1=2,H=2 又πP=2π,∴=2,∴r= h=vp-p2=v3 答案π
5 答案 C 二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面，则该圆锥的 体积为________． 解析 设底面半径为 r，如图所示． 1 2 ·2πr·l＝2π，∴rl＝2. 又∵ 1 2 πl 2＝2π，∴l＝2，∴r＝1. ∴h＝ l 2－r 2＝ 3， ∴V＝ 1 3 ·π·12· 3＝ 3 3 π. 答案 3 3 π
8.(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体, 如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边 形是边长为2的正方形,则该球的表面积是 解析该球为一棱长为2的正方体的外接球,体对角线为球的直 径,2R=√22+2+2=2,所以该求的表面积为4R=12兀 答案12π Al BI E B 9.(2013江苏卷)如图,在三棱柱A1B1 CrAB中,D,E,F分 别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱 A1B1C1ABC的体积为V2,则VV2= 解析设三棱柱A1B1 CrABO的高为h,底面AABC的面积为S, V=××=Sh=V2,所以VV2=124 答案124
6 8．(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体， 如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边 形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是________． 解析 该球为一棱长为 2 的正方体的外接球，体对角线为球的直 径，2R＝ 2 2＋2 2＋2 2＝2 3，所以该球的表面积为 4πR2＝12π. 答案 12π 9．(2013·江苏卷)如图，在三棱柱 A1B1C1—ABC 中，D，E，F 分 别是 AB，AC，AA1的中点．设三棱锥 F—ADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1—ABC 的体积为 V2，则 V1 V2＝________. 解析 设三棱柱 A1B1C1—ABC 的高为 h，底面△ABC 的面积为 S， V1＝ 1 3 × 1 4 S× 1 2 h＝ 1 24Sh＝ 1 24V2，所以 V1 V2＝1 24. 答案 1 24
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底 边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4 的等腰三角形 (1)求该几何体的体积v; (2)求该几何体的侧面积S O E B 解(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知,该几何体 是四棱锥且四棱锥的底面ABCD是相邻两边长分别为6和8的矩形, 高HO=4,O点是AC与BD的交点,如图所 该几何体的体积x8×6×4=64 (2)如图所示,作OE⊥AB,OF⊥BC,侧面HAB中,HE= 02+OE 2+32=5
7 三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分) 10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底 边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形． (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S. 解 (1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体 是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD 是相邻两边长分别为6 和8的矩形， 高 HO＝4，O 点是 AC 与 BD 的交点，如图所示． ∴该几何体的体积 V＝ 1 3 ×8×6×4＝64. (2)如图所示，作 OE⊥AB，OF⊥BC，侧面 HAB 中，HE＝ HO2＋OE2＝ 4 2＋3 2＝5
∴SHAB=5×AB×HE=×8×5=20 侧面HBC中,HF=VHO2+0F2=42+42=42 SHBC= XBCXHF=×6×42=12V2 该几何体的侧面积S=2(SHB+SsBC)=40+24y2 11.(2014滨州质检)几何体按比例绘制的三视图如图所示(单 位:m): 正视图 侧视图 俯视图 (1)试画出它的直观图 (2)求它的表面积和体积 解()直观图如图所示 A
8 ∴S△HAB＝ 1 2 ×AB×HE＝ 1 2 ×8×5＝20. 侧面 HBC 中，HF＝ HO2＋OF2＝ 4 2＋4 2＝4 2. ∴S△HBC＝ 1 2 ×BC×HF＝ 1 2 ×6×4 2＝12 2. ∴该几何体的侧面积 S＝2(S△HAB＋S△HBC)＝40＋24 2. 11．(2014·滨州质检)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单 位：m)： (1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积． 解 (1)直观图如图所示：
(2方法1:由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该 几何体的体积是以A,A1D1,AB为棱的长方体的体积的,在直 角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E,则A1EB是正方形,∴AA1= BE=lm 在Rt△BEB1中,BE=1m,ER=1m,BB1=V2m ∴几何体的表面积 S=S正方形AAD1D+2S梯形AA1B1B+S短形BBC1C+S正方形 ABCD+S矩形A1B1C1D1 =1+2×2×(1+2)×1+1×V2+1+1×2 =7+y2m2) 几何体的体积V=A×1×2×1=(m3) 该几何体的表面积为7+√2m2,体积为m3 方法2:几何体也可以看作是以A1BB为底面的直四棱柱,其 表面积求法同方法1 V直四棱柱D1CCD-A1B1BA=Sh=×(1+2)×1×1 几何体的表面积为(7+√2m2,体积为;m
9 (2)方法 1：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该 几何体的体积是以 A1A，A1D1，A1B1 为棱的长方体的体积的3 4 ，在直 角梯形 AA1B1B 中，作 BE⊥A1B1于 E，则 AA1EB 是正方形，∴AA1＝ BE＝1 m. 在 Rt△BEB1中，BE＝1 m，EB1＝1 m，∴BB1＝ 2 m. ∴几何体的表面积 S＝S 正方形 AA1D1D＋2S 梯形 AA1B1B＋S 矩形 BB1C1C＋S 正方形 ABCD＋S 矩形 A1B1C1D1 ＝1＋2× 1 2 ×(1＋2)×1＋1× 2＋1＋1×2 ＝7＋ 2(m2 )． ∴几何体的体积 V＝ 3 4 ×1×2×1＝ 3 2 (m3 )． ∴该几何体的表面积为(7＋ 2)m2，体积为3 2 m3 . 方法 2：几何体也可以看作是以 AA1B1B 为底面的直四棱柱，其 表面积求法同方法 1， V 直四棱柱 D1C1CD－A1B1BA＝Sh＝ 1 2 ×(1＋2)×1×1 ＝ 3 2 (m3 )． ∴几何体的表面积为(7＋ 2)m2，体积为3 2 m3
12.如图,在四棱锥 PABCD中,底面是直角梯形ABCD,其 中AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等 边三角形,且与底面ABCD垂直,E为PA的中点 (1)求证:DE∥平面PBC; (2)求三棱锥A-PBC的体积 C D 解(1证明:姬图,取AB的中点F,连接DF,EF 在直角梯形ABCD中, CDILAB,且AB=4,CD=2,所以BF練 CD 所以四边形BCDF为平行四边形 所以DFⅢBC 在△PAB中,PE=EA,AF=FB,所以EFⅢPB 又因为DF∩EF=F,PB∩BC=B
10 12．如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面是直角梯形 ABCD，其 中 AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面 PAD 是边长为 2 的等 边三角形，且与底面 ABCD 垂直，E 为 PA 的中点． (1)求证：DE∥平面 PBC； (2)求三棱锥 A—PBC 的体积． 解 (1)证明：如图，取 AB 的中点 F，连接 DF，EF. 在直角梯形 ABCD 中，CD∥AB，且 AB＝4，CD＝2，所以 BF 綊 CD. 所以四边形 BCDF 为平行四边形． 所以 DF∥BC. 在△PAB 中，PE＝EA，AF＝FB，所以 EF∥PB. 又因为 DF∩EF＝F，PB∩BC＝B