高中数学必修二教案 空间几何体的表面积与体积 第一课时柱体、锥体、台体的表面积与体积(一) 教学要求:了解柱、锥、台的表面积计算公式;能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有 关实际问题。 教学重点:运用公式解决问题 教学难点:理解计算公式的由来 教学过程 准备: 1.讨论:正方体、长方体的侧面展开图?→正方体、长方体的表面积计算公式? 2.讨论:圆柱、圆锥的侧面展开图?→圆柱的侧面积公式?圆锥的侧面积公式? 讲授新课 1.教学表面积计算公式的推导: ①讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和) ②练习:求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体S-BC的表面积 个三棱柱的底面是正三角形,边长为4,侧棱与底面垂直,侧棱长10,求其表面积 ③讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧 圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的 高(母线), 圆柱侧=2,S柱表=2mr(r+),其中为r圆柱底面半径,l为母线长 圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆 锥底面周 长,侧面展开图扇形中心角为0=2×360°,S圈侧=mr, 圆维表=xr(r+D),其中为r圆锥底面半径,为母线长 圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长 等于圆台 下底周长,侧面展开图扇环中心角为0=Br30,( 圆台侧=x(+R,S圆台表=m(r2+r+R+R2) ④练习:一个圆台,上下底面半径分别为10、20,母线与底面的夹角为60°,求圆台的表面 积。(变式:求切割之前的圆锥的表面积) 2.教学表面积公式的实际应用: ①出示例:一圆台形花盆,盘口直径20cm,盘底直径15cm,底部渗水圆孔直径1.5cm,盘壁 长15cm。为美化外表而涂油漆,若每平方米用100毫升油漆,涂200个这样的花盘要多少油 讨论:油漆位置?→如何求花盆外壁表面积? 列式→计算→变式训练:内外涂 ②练习:粉碎机的上料斗是正四棱台性,它的上、下底面边长分别为80m、440m,高是200m, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积。 3.小结:表面积公式及推导:实际应用问题 三、巩固练习: 1.已知底面为正方形,侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD,求其表面积。 2.圆台的上下两个底面半径为10、20,平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比 为1:1,求截面的半径。(变式:r、R:比为p:q) 3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为√3,求这个圆锥的表面积。 4.圆锥的底面半径为2cm,高为4cm,求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值 第1页共4
第1页 共4页 高中数学必修二教案 空间几何体的表面积与体积 第一课时 柱体、锥体、台体的表面积与体积（一） 教学要求：了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有 关实际问题。 教学重点：运用公式解决问题。 教学难点：理解计算公式的由来。 教学过程： 一、准备： 1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？ 2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？ 二、讲授新课： 1. 教学表面积计算公式的推导： ① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） ② 练习：求各面都是边长为 10 的等边三角形的正四面体 S-ABC 的表面积. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为 4，侧棱与底面垂直，侧棱长 10,求其表面积。 ③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→ 表） 圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的 高（母线）， S 圆柱侧 =2 rl ，S 圆柱表 =2 r r l ( ) + ，其中为 r 圆柱底面半径， l 为母线长。 圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆 锥底面周 长，侧面展开图扇形中心角为 0 360 r l = ， S 圆锥侧 = rl ， S 圆锥表 =r r l ( ) + ，其中为 r 圆锥底面半径， l 为母线长。 圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长 等于圆台 下底周长，侧面展开图扇环中心角为 0 360 R r l − = ， S 圆台侧 =( ) r R l + ，S 圆台表 = 2 2 ( ) r rl Rl R + + + 。 ④ 练习：一个圆台，上下底面半径分别为 10、20，母线与底面的夹角为 60°，求圆台的表面 积。 （变式：求切割之前的圆锥的表面积） 2. 教学表面积公式的实际应用： ① 出示例：一圆台形花盆，盘口直径 20cm，盘底直径 15cm，底部渗水圆孔直径 1.5cm，盘壁 长 15cm。为美化外表而涂油漆，若每平方米用 100 毫升油漆，涂 200 个这样的花盘要多少油 漆？ 讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？ 列式 → 计算 → 变式训练：内外涂 ② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为 80mm、440mm，高是 200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积。 3. 小结：表面积公式及推导；实际应用问题 三、巩固练习： 1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为 5 的正三角形的四棱锥 S-ABCD，求其表面积。 2. 圆台的上下两个底面半径为 10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比 为 1：1，求截面的半径。 （变式：r、R；比为 p:q） 3. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，求这个圆锥的表面积。 4. 圆锥的底面半径为 2cm，高为 4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值
5.面积为2的菱形,绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少? 6.作业: 第二课时柱体、锥体、台体的表面积与体积(二) 教学要求:了解柱、锥、台的体积计算公式;能运用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计算 和解决有关实际问题。 教学重点:运用公式解决问题。 教学难点:理解计算公式之间的关系。 教学过程 、准备: 1.提问:圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式? 2.练习:正六棱锥的侧棱长为6,底面边长为4,求其表面积。 3.提问:正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式? 讲授新课: 1.教学柱锥台的体积计算公式: ①讨论:等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系?(祖眶(geng,祖冲之的儿子)原理) ②根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式? 给出柱体体积计算公式:V=Sh(S为底面面积,h为柱体的高)→圆柱=Sh=mh ③讨论:等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系?等底等髙的圆锥、棱锥之间的体积关系? ④根据圆锥的体积公式公式,推测锥体的体积计算公式? 给出锥体的体积计算公式:n=shS为底面面积,h为高) ⑤讨论:台体的上底面积S’,下底面积S,高h,由此如何计算切割前的锥体的高? 如何计算台体的体积? ⑥给出台体的体积公式:V3+ss+Sh(,S分别上、下底面积,h为高) 3+S+Sb=3m++R)(、R分别为圆台上底、下底半径) ⑦比较与发现:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大为与 下底相同时,台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥 的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式 讨论:侧面积公式是否也正确?圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一? 2.教学体积公式计算的运用: ①出示例:一堆铁制六角螺帽,共重11.6kg,底面六边形边长12m,内空直径10mm,高10mm 估算这堆螺帽多少个?(铁的密度7.8g/cm3) 讨论:六角螺帽的几何结构特征?→如何求其体积?→利用哪些数量关系求个数? 列式计算→小结:体积计算公式 ②练习:将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中,量得水面高度为6cm;若将这 些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中,求水面的高度 3.小结:柱锥台的体积公式及相关关系;公式实际运用 三、巩固练习及作业: 1.把三棱锥的髙分成三等分,过这些分点且平行于三棱锥底面的平面,把三棱锥分成三部分, 求这三部分自上而下的体积之比。 2.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍,它的轴截面的面积为4,求圆锥的体积 3.高为12cm的圆台,它的中截面面积为225πcm,体积为2800cm3,求它的侧面积。 4.仓库一角有谷一堆,呈1/4圆锥形,量得底面弧长2.8m,母线长2.2m,这堆谷多重?720kg/m3 页共4
第2页 共4页 5. 面积为 2 的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？ 6. 作业： 第二课时 柱体、锥体、台体的表面积与体积（二） 教学要求：了解柱、锥、台的体积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计算 和解决有关实际问题。 教学重点：运用公式解决问题。 教学难点：理解计算公式之间的关系。 教学过程： 一、准备： 1. 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？ 2. 练习：正六棱锥的侧棱长为 6, 底面边长为 4, 求其表面积。 3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？ 二、讲授新课： 1. 教学柱锥台的体积计算公式： ① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理） ② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？ →给出柱体体积计算公式： V Sh 柱 = （S 为底面面积，h 为柱体的高）→ 2 V Sh r h 圆柱 = = ③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？ ④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？ →给出锥体的体积计算公式： 1 3 V Sh 锥 = S 为底面面积，h 为高） ⑤ 讨论：台体的上底面积 S’，下底面积 S，高 h，由此如何计算切割前的锥体的高？ → 如何计算台体的体积？ ⑥ 给出台体的体积公式： 1 ' ' ( ) 3 V S S S S h 台 = + + （S， ' S 分别上、下底面积，h 为高） → 1 1 ' ' 2 2 ( ) ( ) 3 3 V S S S S h r rR R h 圆台 = + + = + + （r、R 分别为圆台上底、下底半径） ⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？ 从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与 下底相同时，台成为柱。因此只要分别令 S’=S 和 S’=0 便可以从台体的体积公式得到柱、锥 的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式。 讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？ 2. 教学体积公式计算的运用： ① 出示例：一堆铁制六角螺帽，共重 11.6kg, 底面六边形边长 12mm，内空直径 10mm，高 10mm， 估算这堆螺帽多少个？（铁的密度 7.8g/cm3） 讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？ → 列式计算 → 小结：体积计算公式 ② 练习：将若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形容器中，量得水面高度为 6cm；若将这 些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度。 3. 小结：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用。 三、巩固练习及作业： 1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分， 求这三部分自上而下的体积之比。 2. 已知圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，它的轴截面的面积为 4，求圆锥的体积。 3. 高为 12cm 的圆台，它的中截面面积为 225πcm 2 ,体积为 2800cm3，求它的侧面积。 4. 仓库一角有谷一堆，呈 1/4 圆锥形，量得底面弧长 2.8m，母线长 2.2m，这堆谷多重？720kg/m3
第三课时球的体积和表面积 教学要求:了解球的表面积和体积计算公式;能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计 算和解决有关实际问题 教学重点:运用公式解决问题 教学难点:运用公式解决问题 教学过程 、准备: 1.提问:柱、锥、台的体积计算公式?圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式? 2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,求圆锥分成的三部分的侧面积之 比、三部分的体积之比。 二、讲授新课: 1.教学球的表面积及体积计算公式: ①讨论:大小变化的球,其体积、表面积与谁有关? 给出公式 V=4mR2:S=4mR2(R为球的半径) →讨论:公式的特点;球面是否可展开为一个平面图形 (证明的基本思想是:“分割→求体积和→求极限→求得结果”,以后的学习中再证明球的公 式)。 ③出示例:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。求球的体积与圆柱体积之比;证明球的表 面积等于圆柱的侧面积。 讨论:圆柱与球的位置关系?(相切)→几何量之间的关系(设球半径R,则… 师生共练→小结:公式的运用.→变式:球的内切圆柱的体积 ④练习:一个气球的半径扩大2倍,那么它的表面积、体积分别扩大多少倍 2.体积公式的实际应用 ①出示例:一种空心钢球的质量是142g,外径是5.0cm,求它的内径.(钢密度7.9g/cm3) 讨论:如何求空心钢球的体积? 列式计算→小结:体积应用问题 ②有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放入一个半径为R的球,并 注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求此时容器中水的深度。 ③探究阿基米德的科学发现:图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的 对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中,球的体积是圆柱体 积的 球的表面积也是圆柱全面积的 三、巩固练习及作业: 1.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为6cm,求这个球的表面积和体积。 2.如果球的体积是V球,它的外切圆柱的体积是V圆柱,外切等边圆锥的体积是V,求这三个 几何体体积之比。 3.如图,求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的 几何体的表面积和体积 4.一个正方体的内切球的体积为V,求正方体的棱 长。若球与正方体的各棱相切,则正方体的棱长是 多少? 5.求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积 之比。 6.已知球的一个截面的面积为9π,且此截面到球心的距离为4,求此球的表面积和体积 第3页共4页
第3页 共4页 第三课时 球的体积和表面积 教学要求：了解球的表面积和体积计算公式；能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计 算和解决有关实际问题。 教学重点：运用公式解决问题。 教学难点：运用公式解决问题。 教学过程： 一、准备： 1. 提问：柱、锥、台的体积计算公式？圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式？ 2. 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，求圆锥分成的三部分的侧面积之 比、三部分的体积之比。 二、讲授新课： 1. 教学球的表面积及体积计算公式： ① 讨论：大小变化的球，其体积、表面积与谁有关？ ② 给出公式： V 球 = 4 3 3 R ； S 球面 =4 R 2. （R 为球的半径） →讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个平面图形？ （证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”，以后的学习中再证明球的公 式）。 ③ 出示例：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。求球的体积与圆柱体积之比；证明球的表 面积等于圆柱的侧面积。 讨论：圆柱与球的位置关系？（相切） → 几何量之间的关系（设球半径 R，则…） → 师生共练 → 小结：公式的运用. → 变式：球的内切圆柱的体积 ④练习：一个气球的半径扩大 2 倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍？ 2. 体积公式的实际应用： ① 出示例：一种空心钢球的质量是 142g，外径是 5.0cm，求它的内径. （钢密度 7.9g/cm3） 讨论：如何求空心钢球的体积？ → 列式计算 → 小结：体积应用问题。 ② 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为 R 的球，并 注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度。 ③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的 对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体 积的 2 3 ，球的表面积也是圆柱全面积的 2 3 。 三、巩固练习及作业： 1. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 6cm，求这个球的表面积和体积。 2. 如果球的体积是 V 球，它的外切圆柱的体积是 V 圆柱，外切等边圆锥的体积是 V 圆锥，求这三个 几何体体积之比。 3. 如图，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的 几何体的表面积和体积。 4．一个正方体的内切球的体积为 V，求正方体的棱 长。若球与正方体的各棱相切，则正方体的棱长是 多少？ 5. 求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积 之比。 6. 已知球的一个截面的面积为 9π，且此截面到球心的距离为 4, 求此球的表面积和体积。 B C A D 4 5 2
四、小结 课堂反馈与矫正:请链接英才网 第4页共4
第4页 共4页 四、小结 课堂反馈与矫正：请链接英才网