3.1《直线的倾斜角与斜率》导学案 【学习目标】 1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念 2.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式。 3理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直。 4通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用正确知识解决新问题的能力,以及数形 结合能力 【学习重点】 1.直线的倾斜角、斜率的概念和公式。 2两条直线平行和垂直的条件。 【学习难点】 1斜率公式的推导 2启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题 【知识链接】 平面直角坐标系,坐标,正切函数诱导公式 【学习过程】 预习自学 1.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准, 的角a叫做直线l的倾斜 角,特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定a=0°,故∝取值范围是 2.我们将一条直线的倾斜角a(a≠900)的正切值tana,称为,通常用k表示。 即k=tana。由定义知,倾斜角为_的直线斜率不存在 3.给定两点P(x1,y),P(x2,y2),x≠x2,过两点的直线的斜率公式为: 小试身手: (1).直线l经过原点和点(-1,1),则它的倾斜角是,它的斜率是 (2).已知点A(3,4),在坐标轴上有一点B,若k=2,则B点的坐标为。 4.对于两条不重合的直线l,l2,其斜率分别为k,k2,有l1∥2 特别地,若两条不重合的直线斜率不存在,则这两条直线也平行。 对于两条斜率分别为k,k2的直线l1,l2,有l⊥l2分 特别地,若一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率为0,则这两条直线也垂直 (3).若直线4经过两点(-2,-3),(-2,3),直线经过两点(4.8),(m10),且4∥2, 则m值为 B.-2 (4.已知直线与过点M(-√2),N√-√)的直线垂直,则直线l的倾斜角是
1 3．1《直线的倾斜角与斜率》导学案 【学习目标】: 1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。 3.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直。 4.通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形 结合能力。 【学习重点】: 1.直线的倾斜角、斜率的概念和公式。 2.两条直线平行和垂直的条件。 【学习难点】: 1.斜率公式的推导。 2.启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题. 【知识链接】: 平面直角坐标系,坐标,正切函数,诱导公式 【学习过程】: 一 预习自学 1．当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，＿＿＿＿＿＿＿＿的角 叫做直线 l 的倾斜 角，特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定 0 = 0 ，故 取值范围是＿＿＿。 2．我们将一条直线的倾斜角 （ 0 90 ）的正切值 tan ，称为＿＿＿，通常用 k 表示。 即 k = tan 。由定义知，倾斜角为＿＿的直线斜率不存在。 3．给定两点 P x y 1 1 1 ( , )，P x y 2 2 2 ( , )， 1 2 x x ，过两点的直线的斜率公式为：＿＿＿＿＿。 小试身手： （1）.直线 l 经过原点和点 (−1,1) ，则它的倾斜角是＿＿＿，它的斜率是＿＿＿。 （2）．已知点 A (3,4) ，在坐标轴上有一点 B ，若 2 AB k = ，则 B 点的坐标为＿＿＿。 4．对于两条不重合的直线 1 l ， 2 l ，其斜率分别为 1 k ， 2 k ，有 1 2 l l // ＿＿＿。 特别地，若两条不重合的直线斜率不存在，则这两条直线也平行。 对于两条斜率分别为 1 k ， 2 k 的直线 1 l ， 2 l ，有 1 2 l l ⊥ ＿＿＿。 特别地，若一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率为 0，则这两条直线也垂直。 （3）．若直线 1 l 经过两点 (− − 2, 3) ，(−2,3) ，直线 2 l 经过两点 (4,8) ，(m,10) ，且 1 2 l l // ， 则 m 值为 （ ） A．2 B．-2 C．4 D．1 （4）．已知直线 l 与过点 M (− 3, 2) ， N ( 2, 3 − ) 的直线垂直，则直线 l 的倾斜角是
A.120° B.60° D.30 二新知探究 直线的倾斜角的理解 当直线l与ⅹ轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角a叫做 直线l的倾斜角,特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定a=0°,故a取值范围是 a< 例1:设直线l过坐标原点,它的倾斜角为a,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°, 得到直线l,那么l1的倾斜角为 A.a+45 B.a-1350 D.当a∈[0°,135)时,倾斜角为a+45°;a∈[135°,180°)时,倾斜角为a-135° 二直线的斜率的理解 我们将一条直线的倾斜角a(a≠900)的正切值tana,称为斜率,通常用k表示。即 k=tana。由定义知,倾斜角为90的直线斜率不存在。 我们知道,两点可以确定一条直线,那么已知直线上不同两点P(x,y),P(x2y2) x≠x2,你能通过斜率的定义来计算它的斜率吗? 通过计算我们知道,过两点P(x,x),P(x,y),x≠x2,直线的斜率公式是k=2二。 温馨提示:当x=x2时,斜率公式不适用。此时直线的倾斜角为90 例2:经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在求其斜率。 (1)(-1,1),(3,2) (2)(1,-2),(5,-2) (3)(3,4),(2,5) (4)(2,0)(2,√3) 变式训练:经过两点A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜角为135°, 2
2 （ ） A． 0 120 B． 0 60 C． 0 45 D． 0 30 二 新知探究 一 直线的倾斜角的理解 当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做 直线 l 的倾斜角，特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定 0 = 0 ，故 取值范围是 0 0 0 180 。 例 1：设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 ，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 0 45 ， 得到直线 1 l ，那么 1 l 的倾斜角为 （ ） A． 0 + 45 B． 0 −135 C． 0 135 − D．当 0 0 [0 ,135 ) 时，倾斜角为 0 + 45 ； 0 0 [135 ,180 ) 时，倾斜角为 0 −135 二 直线的斜率的理解 我们将一条直线的倾斜角 （ 0 90 ）的正切值 tan ，称为斜率，通常用 k 表示。即 k = tan 。由定义知，倾斜角为 0 90 的直线斜率不存在。 我们知道，两点可以确定一条直线，那么已知直线上不同两点 P x y 1 1 1 ( , )， P x y 2 2 2 ( , ) ， 1 2 x x ，你能通过斜率的定义来计算它的斜率吗？新课标第一网 通过计算我们知道，过两点 P x y 1 1 1 ( , )，P x y 2 2 2 ( , )， 1 2 x x ，直线的斜率公式是 2 1 2 1 y y k x x − = − 。 温馨提示：当 1 2 x x = 时，斜率公式不适用。此时直线的倾斜角为 0 90 。 例 2：经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在求其斜率。 （1） ( 1,1),(3,2) − （2） (1, 2),(5, 2) − − （3） (3, 4),(2,5) （4） (2,0),(2, 3) 变式训练：经过两点 A 2 2 ( 2, 3) m m + − ，B 2 (3 ,2 ) − − m m m 的直线 l 的倾斜角为 0 135
求m的值 例3:过点P(O,-1)作直线l,若直线l与连结A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,求直 线l的倾斜角α与斜率k的取值范围。 两条直线平行的判定 对于两条不重合的直线l,2,其斜率分别为k,k2,有l1∥2→k1=k2 特别地,若两条不重合的直线斜率不存在,则这两条直线也平行 例4:根据下列给定的条件,判断直线l1与l2是否平行 (1)l的倾斜角为609,2经过M(1√3),N(-2,-2√3) (2)l经过点A(-3,-2),B(-3,12):l2经过点M(5,0),N(5,5)。 变式训练:已知经过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m= 四:两条直线垂直的判定 对于两条斜率分别为k,k2的直线l,l2,有l1⊥l2kk2=-1 特别地,若一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率为0,则这两条直线也垂直。 例5:根据下列给定的条件,判断直线l1与l2是否垂直 (1)l的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3) (2)l1经过点A(3,4),B(3,10):l经过点M(-10,40),N(10,40)。 三:归纳小结 (1)直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围 (2)直线斜率的概念及直线斜率的求法 (3)两条直线平行与垂直的等价条件及其判定。 四课堂检测 斜率为2的直线经过点(3,5),(a,7(-1,b)三点,则a,b的值分别是
3 求 m 的值。 例 3：过点 P(0, 1) − 作直线 l ，若直线 l 与连结 A(1, 2) − ， B(2,1) 的线段总有公共点，求直 线 l 的倾斜角 与斜率 k 的取值范围。 三 两条直线平行的判定 对于两条不重合的直线 1 l ， 2 l ，其斜率分别为 1 k ， 2 k ，有 1 2 l l // 1 2 k k = 。 特别地，若两条不重合的直线斜率不存在，则这两条直线也平行。 例 4：根据下列给定的条件，判断直线 1 l 与 2 l 是否平行。 （1） 1 l 的倾斜角为 0 60 ， 2 l 经过 M (1, 3) ， N( 2, 2 3) − − ； （2） 1 l 经过点 A( 3, 2) − − ， B( 3,12) − ； 2 l 经过点 M (5,0) ， N(5,5) 。 变式训练：已知经过点 A m ( 2, ) − 和 B m( , 4) 的直线与斜率为-2 的直线平行，则 m=＿＿＿。 四：两条直线垂直的判定 www.xkb1.com 对于两条斜率分别为 1 k ， 2 k 的直线 1 l ， 2 l ，有 1 2 l l ⊥ 1 2 k k = −1。 特别地，若一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率为 0，则这两条直线也垂直。 例 5：根据下列给定的条件，判断直线 1 l 与 2 l 是否垂直。 （1） 1 l 的斜率为-10， 2 l 经过点 A(10, 2)， B(20,3) 。 （2） 1 l 经过点 A(3, 4) ， B(3,10) ； 2 l 经过点 M ( 10, 40) − ， N(10,40) 。 三：归纳小结 （1） 直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围。 （2） 直线斜率的概念及直线斜率的求法。 （3） 两条直线平行与垂直的等价条件及其判定。 四 课堂检测新课标 第 一网 1．斜率为 2 的直线经过点 (3,5),( ,7),( 1, ) a b − 三点，则 a ，b 的值分别是＿＿＿
2.已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a= 3.如果直线l1和l2的斜率均是方程x2-4x+4=0的根,那么直线l1和l2的位置关系是 平行 垂直 C.平行或重合 相交 4.若直线l1的倾斜角是135°,直线l2过两个不重合的点A(m2+2,m2-3),B (3-m-m2,2m),且1⊥l2,则m等于 五学后反思 六课外作业 1.下列命题:①任何一条直线都有唯一的倾斜角:②一条直线的倾斜角为-30°:③倾斜角 为0°的直线只有一条;④直线的倾斜角a的集合{ap≤a<180)}与直线集合建立了 对应关系。其中,正确的命题有 2个 2.已知直线的倾斜角为a,若sina=-,则此直线的斜率为 D.± 3.已知定点A(-1,3),B(4,2),以A,B为直径的端点,作圆与x轴有交点C,则C点的坐 标是 4.已知实数xy满足2x+y=8,当2≤x≤3时,求一的最大值与最小值 5.已知坐标平面内三点A(3,3),B(1,5),C(0,1),若直线l过点C且与线段AB总有公共点。 求直线l的斜率的取值范围。 6.试确定m的值,使过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(6,0)的直线(1)平 (2)垂直
4 2．已知 a 0 ，若平面内三点 2 3 A a B a C a (1, ), (2, ), (3, ) − 共线，则 a =＿＿＿。 3．如果直线 1 l 和 2 l 的斜率均是方程 2 x x − + = 4 4 0 的根，那么直线 1 l 和 2 l 的位置关系是 （ ）。 A．平行 B．垂直 C．平行或重合 D．相交 4．若直线 1 l 的倾斜角是 0 135 ，直线 2 l 过两个不重合 的点 A 2 2 ( 2, 3) m m + − ，B 2 (3 ,2 ) − − m m m ，且 1 2 l l ⊥ ，则 m 等于 （ ） A．-1 B．-2 C．2 D． 4 3 五 学后反思 六 课外作业 1．下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角为 0 −30 ；③倾斜角 为 0 0 的直线只有一条；④直线的倾斜角 的集合 0 0 { 0 180 } 与直线集合建立了一一 对应关系。其中，正确的命题有 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．已知直线的倾斜角为 ，若 3 sin 5 = ，则此直线的斜率为 （ ） A． 3 4 B． 4 3 C． 3 4 D． 4 3 3．已知定点 A B ( 1,3), (4,2) − ，以 A，B 为直径的端点，作圆与 x 轴有交点 C，则 C 点的坐 标是＿＿＿。 4．已知实数 x y, 满足 2 8 x y + = ，当 2 3 x 时，求 y x 的最大值与最小值。 5．已知坐标平面内三点 A B C (3,3), (1,5), (0,1) ，若直线 l 过点 C 且与线段 AB 总有公共点。 求直线 l 的斜率的取值范围。 6．试确定 m 的值，使过点 A m B m (2 ,2), ( 2,3 ) − 的直线与过点 P Q (1,2), ( 6,0) − 的直线⑴平 行；⑵垂直