人教A版高中数学必修2第三章直线与方程3.2 直线的方程习题(3).doc_大学文库

直线与方程知识点与经典例题、知识点 (1)直线的倾斜角定义:ⅹ轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α0,随着α的增大,斜率k也增大;当90°<α<180°时,斜率k<0,随着α的增大,斜率k 也增大 (2)直线的斜率定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即 k=tana。斜率反映直线与轴的倾斜程度当a∈p,90)时,k≥0:当a∈(o180)时,k<0:当a=90°时,k不存。 ②过两点的直线的斜率公式:k=y-H(x1≠x2) 注意下面四点:(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90° (2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 (3)直线方程 ①点斜式:y-y1=k(x-x1)直线斜率k,且过点(x1,y) 注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y 当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因/上每一点的横坐标都等于X1,所以它的方程是x=x1 ②斜截式:y=kx+b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b 两点式:M=(x≠x2,≠y2)直线两点(x,y),(x2y2) y2-VI 52-x ④截矩式 y 其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。 ⑤一般式:Ax+By+C=0(A,B不全为0) 注意:①各式的适用范围②特殊的方程如: 平行于x轴的直线:y=b(b为常数);平行于y轴的直线:x=a(a为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系平行于已知直线Ax+B0y+C0=0(A,B0是不全为0的常数)的直线系:A4x+By+C=0(C 为常数) (二)垂直直线系垂直于已知直线A4x+By+C0=0(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:B0x-A4y+C=0(C 为常数) (三)过定点的直线系 (i)斜率为k的直线系:y-y0=k(x-x0),直线过定点(xy) (i)过两条直线l1:A1x+By+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为 (4x+By+C)+(41x+By+C2)=0(为参数),其中直线l2不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直当l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时, h1∥2→k1=k2,b1≠b2;⊥l2分kk2=-1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否

1 直线与方程知识点与经典例题一、知识点（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180° 性质：直线的倾斜角 α=90°时，斜率不存在，即直线与 y 轴平行或者重合. 当 α=0°时，斜率 k=0；当 0 90      时，斜率 k  0 ，随着 α 的增大，斜率 k 也增大；当 90 180      时，斜率 k  0 ，随着 α 的增大，斜率 k 也增大. （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k = tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当  )     0 ,90 时， k  0 ；当 ( )     90 ,180 时， k  0 ；当   = 90 时， k 不存在。 ②过两点的直线的斜率公式： ( ) 1 2 2 1 2 1 x x x x y y k  − − = 注意下面四点：(1)当 1 2 x = x 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°； (2)k 与 P1、P2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程 ①点斜式： ( ) 1 1 y − y = k x − x 直线斜率 k，且过点 ( ) 1 1 x , y 注意：当直线的斜率为 0°时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式： y = kx + b ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式： 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − − = − − （ 1 2 1 2 x x y y   , ）直线两点 ( ) 1 1 x , y ，( ) 2 2 x , y ④截矩式： 1 x y a b + = 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( ,0) a ,与 y 轴交于点 (0, ) b ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 ab, 。 ⑤一般式： Ax + By +C = 0 （A，B 不全为 0）注意：○1 各式的适用范围 ○2 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线： y = b （b 为常数）；平行于 y 轴的直线： x = a （a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线 A0 x + B0 y + C0 = 0 （ 0 0 A ,B 是不全为 0 的常数）的直线系： A0 x + B0 y + C = 0 （C 为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线 A0 x + B0 y + C0 = 0 （ 0 0 A ,B 是不全为 0 的常数）的直线系： B0 x − A0 y + C = 0 （C 为常数）（三）过定点的直线系（ⅰ）斜率为 k 的直线系： ( ) 0 0 y − y = k x − x ，直线过定点 ( ) 0 0 x , y ；（ⅱ）过两条直线 l 1 : A1 x + B1 y +C1 = 0，l 2 : A2 x + B2 y +C2 = 0 的交点的直线系方程为 (A1 x + B1 y +C1 )+(A2 x + B2 y +C2 ) = 0 （  为参数），其中直线 2 l 不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当 1 1 1 l : y = k x +b ， 2 2 2 l : y = k x + b 时， 1 2 1 2 1 2 l // l  k = k ,b  b ； l 1 ⊥ l 2  k1 k2 = −1 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否

5 经典例题【例 1】(1)已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. (2)已知三点 A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数 a 的值．解：(1) 直线 AB 的斜率 1 1 2 1 4 3 7 k − = = − − >0, 所以它的倾斜角 α 是锐角; 直线 BC 的斜率 2 1 1 1 0 4 2 k − − = = − + 0, 所以它的倾斜角 α 是锐角. (2) 7 2 5 3 3 AB k a a − = = − − ， 7 ( 9 ) 7 9 3 ( 2) 5 BC a a k − − + = = − − . ∵ A、B、C 三点在一条直线上， ∴ AB BC k k = ，即 5 7 9 3 5 a a + = − ，解得 a = 2 或 2 9 a = . 【例 2】已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直线 l 与线段 AB 始终有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解：如图所示, 直线 PA 的斜率是 1 2 ( 3) 5 1 ( 2) k − − = = − − − , 直线 PB 的斜率是 2 0 2 1 3 ( 1) 2 k − = = − − − . 当直线 l 由PA变化到y轴平行位置PC, 它的倾斜角由锐角   (tan 5) = 增至90°，斜率的变化范围是[5, +) ；当直线 l 由 PC 变化到 PB 位置，它的倾斜角由 90°增至 1 (tan ) 2   = − ，斜率的变化范围是 1 ( , ] 2 − − . 所以斜率的变化范围是 1 ( , ] [5, ) 2 − − + . 【例 3】（1）已知直线 1 l 经过点 M（-3，0），N（-15，-6）， 2 l 经过点 R（-2， 3 2 ），S（0， 5 2 ），试判断 1 l 与 2 l 是否平行？（2） 1 l 的倾斜角为 45°， 2 l 经过点 P（-2，-1），Q（3，-6），问 1 l 与 2 l 是否垂直？解：（1） ∵ MN k = 0 ( 6) 1 3 ( 15) 2 − − = − − − ， 5 3 2 2 1 0 ( 2) 2 RS k − = = − − . ∴ 1 l // 2 l ．（2） ∵ 1 k =  = tan 45 1， 2 6 ( 1) 1 3 ( 2) k − − − = = − − − ， 1 2 k k = −1， ∴ 1 l ⊥ 2 l ．【例 4】已知直线 l 经过点 P( 5, 4) − − ，且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程．解：由已知得 l 与两坐标轴不垂直． ∵直线 l 经过点 P( 5, 4) − − ，∴ 可设直线 l 的方程为 y k x − − = − − ( 4) [ ( 5)] ，即 y k x + = + 4 ( 5) . 则直线 l 在 x 轴上的截距为 4 5 k − ，在 y 轴上的截距为 5 4 k − . 根据题意得 5 5 4 5 4 2 1  −  k − = k ，即 2 (5 4) 10| | k k − = . 当 k  0 时，原方程可化为 2 (5 4) 10 k k − = ，解得 1 2 2 8 , 5 5 k k = = ；当 k  0 时，原方程可化为 2 (5 4) 10 k k − = − ，此方程无实数解

6 故直线 l 的方程为 2 4 ( 5) 5 y x + = + ，或 8 4 ( 5) 5 y x + = + . 即 2 5 10 0 x y − − = 或 8 5 20 0 x y − + = . 【例 5】经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞 http://www.xjktyg.com/wxc/ wxck t@126.com wxck t@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：当截距为 0 时，设 y kx = ，过点 A(1, 2) ，则得 k = 2 ，即 y x = 2 ；当截距不为 0 时，设 1, x y a a + = 或 1, x y a a + = − 过点 A(1, 2)，则得 a = 3 ，或 a =−1 ，即 x y + − =3 0 ，或 x y − + =1 0 这样的直线有 3 条： y x = 2 ， x y + − =3 0 ，或 x y − + =1 0 新疆源头学子小屋特级教师王新敞 http://www.xjktyg.com/wxc/ wxck t@126.com wxck t@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 王新敞特级教师源头学子小屋新疆【例 6】写出过两点 A(5,0)，B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．解：两点式方程： 5 0 0 ( 3) 0 ( 3) − − − = − − − x y ；点斜式方程： ( 0) 5 0 0 ( 3) ( 3) − − − − y − − = x ，即 ( 0) 5 3 y − (−3) = x − ；斜截式方程： 3 5 0 0 ( 3)  − − − − y = x ，即 3 5 3 y =  x − ；截距式方程： 1 5 3 = − + x y ；一般式方程： 3x − 5y −15 = 0．【例 7】已知直线 l 的方程为 3x+4y－12=0，求与直线 l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．解：直线 l:3x+4y－12=0 的斜率为 3 4 − ， ∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为 3 4 − ，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为： 3 3 ( 1) 4 y x − = − + ，即 3 4 9 0 x y + − = .. 【例 8】已知 a 为实数，两直线 1 l ：ax + y +1 = 0， 2 l ： x + y − a = 0 相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及 x 轴上. 解：解方程组 1 0, 0, ax y x y a  + + =   +−= 得交点(－ 1 1 , 1 1 2 − + − + a a a a ). 若 1 1 2 − + a a ＞0，则 a ＞1.当 a ＞1 时，－ 1 1 − + a a ＜0，此时交点在第二象限内.又因为 a 为任意实数时，都有 1 2 a +  1＞0，故 1 1 2 − + a a ≠0.因为 a ≠1（否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在 x 轴上新疆学案王新敞【例 9】若直线 l：y＝kx − 3 与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限，求直线 l 的斜率的取值范围. 解：如图，直线 2x+3y－6=0 过点 A（3，0），B（0，2），直线 l：y＝kx − 3 必过点（0，－ 3 ）. 当直线 l 过 A 点时，两直线的交点在 x 轴；当直线 l 绕 C 点逆时针（由位置 AC 到位置 BC）旋转时

人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.2 直线的方程习题(3)

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