直线的一般式方程及综合 【学习目标】 1.掌握直线的一般式方程 2.能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程,并理解这些直线的不同形式的方程在表 示直线时的异同之处 3.能利用直线的一般式方程解决有关问题 【要点梳理】 要点一:直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线,我们把方程写为Ax+By+C=0,这个方程(其中A、B不全为零) 叫做直线方程的一般式 要点诠释: A、B不全为零才能表示一条直线,若A、B全为零则不能表示一条直线 当B0时,方程可变形为y=Bx=B,它表示过点/aC A C ),斜率为一的直线 当B=0,A≠0时,方程可变形为Ax+C=0,即x= A 它表示一条与x轴垂直的直线 由上可知,关于x、y的二元一次方程,它都表示一条直线 2.在平面直角坐标系中,一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线,反过来,一条直线可 以对应着无数个关于x、y的一次方程(如斜率为2,在y轴上的截距为1的直线,其方程可以是2x-y+1=0, 也可以是x-y+=0,还可以是4x-2y+2=0等.) 要点二:直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表: 「名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 (x1,y1)是直线上一定点,k是斜率|不垂直于x轴 斜截式 y=kx+b k是斜率,b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴 两点式 y-y x-Y (x1,y1),(x,y2)是直线上两定点不垂直于x轴和y轴 y2-y1x2-x1 截距式 y 是直线在x轴上的非零截距,b是直不垂直于x轴和y轴 线在y轴上的非零截距 且不过原点 一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)A、B、C为系数 任何位置的直线 要点诠释: 在直线方程的各种形式中,点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式,要注意在这两种形式中都要 求直线存在斜率,两点式是点斜式的特例,其限制条件更多(x1x2,y1+y2),应用时若采用 (y2-y1Xx-x)-(x2-X)(y-y)=0的形式,即可消除局限性.截距式是两点式的特例,在使用截距式时 首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件.直线方程的一般式包含了平面上 的所有直线形式.一般式常化为斜截式与截距式.若一般式化为点斜式,两点式,由于取点不同,得到的 方程也不同 要点三:直线方程的综合应用 1.已知所求曲线是直线时,用待定系数法求 2.根据题目所给条件,选择适当的直线方程的形式,求出直线方程 对于两直线的平行与垂直,直线方程的形式不同,考虑的方向也不同
直线的一般式方程及综合 【学习目标】 1．掌握直线的一般式方程； 2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表 示直线时的异同之处； 3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】 要点一：直线方程的一般式 关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为 Ax+By+C=0，这个方程(其中 A、B 不全为零) 叫做直线方程的一般式． 要点诠释： 1．A、B 不全为零才能表示一条直线，若 A、B 全为零则不能表示一条直线. 当 B≠0 时，方程可变形为 A C y x B B = − − ，它表示过点 0, C B − ，斜率为 A B − 的直线． 当 B=0，A≠0 时，方程可变形为 Ax+C=0，即 C x A = − ，它表示一条与 x 轴垂直的直线． 由上可知，关于 x、y 的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于 x、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可 以对应着无数个关于 x、y 的一次方程（如斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1 的直线，其方程可以是 2x―y+1=0， 也可以是 1 1 0 2 2 x y − + = ，还可以是 4x―2y+2=0 等．） 要点二：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y―y1=k(x―x1) （x1，y1）是直线上一定点，k 是斜率 不垂直于 x 轴 斜截式 y=kx+b k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距 不垂直于 x 轴 两点式 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − − = − − （x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点 不垂直于 x 轴和 y 轴 截距式 1 x y a b + = a 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是直 线在 y 轴上的非零截距 不垂直于 x 轴和 y 轴， 且不过原点 一般式 Ax+By+C=0（A2+B2≠0） A、B、C 为系数 任何位置的直线 要点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要 求直线 存在斜 率， 两点 式是点 斜式 的特例 ，其 限制条 件更 多（x1≠x2 ，y1≠y2 ）， 应用时 若采用 (y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0 的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时， 首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上 的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的 方程也不同． 要点三：直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
(1)从斜截式考虑 已知直线l:y=kx+b,l2y=k2x+b2 1∥12→a1=a2→k=k2(b1≠b2) l⊥l2→l ota,→ k 在→6k=-1 于是与直线y=kx+b平行的直线可以设为y=kx+b1:垂直的直线可以设为yx+b (2)从一般式考虑 l1:A1x+By+C1=0,12:A2x+B2y+C2=0 l1⊥l2分AA2+B1B2=0 1∥2分AB2-AB1=0且AC2-AC1≠0或BC2-B2C1≠0,记忆式( A B CI A l1与l2重合,AB2-A2B1=0,AC2-AC1=0,BC2-B2C1=0 于是与直线Ax+B+C=0平行的直线可以设为Ax+B+D=0;垂直的直线可以设为 Bx- Ay+D=0 【典型例题】 类型一:直线的一般式方程 例1.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程 (1)斜率是一,经过点A(8,-2) (2)经过点B(4,2),平行于x轴; (3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3; (4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4) 【答案】(1)x+2y-4=0(2)y-2=0(3)2x-y-3=0(4)x+y-1=0 【解析】(1)由点斜式方程得y-(-2)22x-8),化成一般式得x+2y-4=0 (2)由斜截式得y=2,化为一般式得y-2=0 (3)由截距式得+=1,化成一般式得2xy=-30 (4)由两点式得 y+2x-3 (-2)-5_,化成一般式方程为x+y-1=0 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式,以及各种形式向一般式的转化,对于直线 方程的一般式,一般作如下约定:ⅹ的系数为正,x,y的系数及常数项一般不出现分数,一般按含x项、y 项、常数项顺序排列.求直线方程的题目,无特别要求时,结果写成直线方程的一般式 举一反三
（1）从斜截式考虑 已知直线 1 1 1 l : y = k x + b , 2 2 2 l : y = k x + b , 1 2 1 2 1 2 1 2 l l k k b b // ( ) = = ； 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 tan cot 1 2 l l k k k k ⊥ − = = − = − = − 于是与直线 y kx b = + 平行的直线可以设为 1 y kx b = + ；垂直的直线可以设为 2 1 y x b k = − + ． （2）从一般式考虑： 1 1 1 1 2 2 2 2 l A x B y C l A x B y C : 0, : 0 + + = + + = 1 2 1 2 1 2 l l A A B B ⊥ + = 0 1 2 1 2 2 1 l l A B A B // 0 − = 且 1 2 2 1 AC A C − 0 或 1 2 2 1 B C B C − 0 ，记忆式（ 1 1 1 2 2 2 ABC ABC = ） 1 l 与 2 l 重合， 1 2 2 1 A B A B − = 0， 1 2 2 1 AC A C − = 0， 1 2 2 1 B C B C − = 0 于是与直线 Ax By C + + = 0 平行的直线可以设为 Ax By D + + = 0 ；垂直的直线可以设为 Bx Ay D − + = 0. 【典型例题】 类型一：直线的一般式方程 例 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是 1 2 − ，经过点 A（8，―2）； （2）经过点 B（4，2），平行于 x 轴； （3）在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 3 2 ，―3； （4）经过两点 P1（3，―2），P2（5，―4）． 【答案】（1）x+2y―4=0（2）y―2=0（3）2x―y―3=0（4） x y + − =1 0 【解析】 （1）由点斜式方程得 1 ( 2) ( 8) 2 y x − − = − − ，化成一般式得 x+2y―4=0． （2）由斜截式得 y=2，化为一般式得 y―2=0． （3）由截距式得 1 3 3 2 x y + = − ，化成一般式得 2x―y―3=0． （4）由两点式得 2 3 4 ( 2) 5 3 y x + − = − − − − ，化成一般式方程为 x y + − =1 0 ． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线 方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含 x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 举一反三：
【变式1】已知直线l经过点B(3,-1),且倾斜角是30°,求直线的点斜式方程和一般式方程 【答案】y+1= Ax-3x-3y-35-3=0 【解析】因为直线倾斜角是39,所以直线的斜率k=切ana=m30=√5,所以直线的点斜式方程 为:y+1=y3(x-3),化成一般式方程为:3x-3y-3-3=0 例2.△4BC的一个顶点为A(-1,-4),∠B、∠C的平分线在直线y+1=0 和x+y+1=0上,求直线BC的方程 【答案】x+2y-3=0 【解析】由角平分线的性质知,角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 所以可得A点关于∠B的平分线的对称点A在BC上,B点关于∠C的平分线 的对称点B也在BC上.写出直线AB的方程,即为直线BC的方程 例3.求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线/的方程 【答案】3x+4y-11=0 【解析】 解法一:设直线l的斜率为k,∵l与直线3x+4y+1=0平行,∴=、3 又∵经过点(1,2),可得所求直线方程为y-2=-(x-1),即3x+4y-11=0 解法二:设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0, ∵l经过点(1,2),∴3×1+4×2+m=0,解得m=-11 ∴所求直线方程为3x+4y-11=0. 【总结升华】(1)一般地,直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率,因此,与直线Ax+By+C=0 平行的直线可设为Ax+By+m=0,这是常采用的解题技巧.我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行 的直线系方程.参数m可以取mC的任意实数,这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线.当 m=C时,Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合 (2)一般地,经过点A(X0,yo),且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x-Xo)+B(y-yo)=0. (3)类似地有:与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+m=0(A,B不同时为零) 举一反三: 【变式1】己知直线l:3mx+8y+3m-10=0和l2:x+6my4=0.问m为何值时 (1)l与l2平行(2)1与l2垂直 【答案】(1)m=--(2)m=0 【解析】当m=0时,l:8y-10=0:l2:x-4=0,l1⊥l2
【变式 1】已知直线 l 经过点 B(3, 1) − ，且倾斜角是 30 ，求直线的点斜式方程和一般式方程. 【答案】 3 1 ( 3) 3 y x + = − 3 3 3 3 3 0 x y − − − = 【解析】因为直线倾斜角是 30 ，所以直线的斜率 3 tan tan 30 3 k = = = ，所以直线的点斜式方程 为： 3 1 ( 3) 3 y x + = − ，化成一般式方程为： 3 3 3 3 3 0 x y − − − = . 例 2．ABC 的一个顶点为 A( 1, 4) − − ，B 、C 的平分线在直线 y + =1 0 和 x y + + =1 0 上，求直线 BC 的方程. 【答案】 x y + − = 2 3 0 【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 ，所以可得 A 点关于 B 的平分线的对称点 ' A 在 BC 上，B 点关于 C 的平分线 的对称点 ' B 也在 BC 上．写出直线 ' ' AB 的方程，即为直线 BC 的方程. 例 3．求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点（1，2）的直线 l 的方程． 【答案】3x+4y―11=0 【解析】 解法一：设直线 l 的斜率为 k，∵ l 与直线 3x+4y+1=0 平行，∴ 3 4 k = − ． 又∵ l 经过点（1，2），可得所求直线方程为 3 2 ( 1) 4 y x − = − − ，即 3x+4y―11=0． 解法二：设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线 l 的方程为 3x+4y+m=0， ∵ l 经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得 m=―11． ∴所求直线方程为 3x+4y―11=0． 【总结升华】（1）一般地，直线 Ax+By+C=0 中系数 A、B 确定直线的斜率，因此，与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可设为 Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧．我们称 Ax+By+m=0 是与直线 Ax+By+C=0 平行 的直线系方程．参数 m 可以取 m≠C 的任意实数，这样就得到无数条与直线 Ax+By+C=0 平行的直线．当 m=C 时，Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合． （2）一般地，经过点 A（x0，y0），且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x―x0)+B(y―y0)=0． （3）类似地有：与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 Bx―Ay+m=0（A，B 不同时为零）． 举一反三： 【变式 1】已知直线 1 l ：3mx+8y+3m-10=0 和 2 l ：x+6my-4=0 .问 m 为何值时: （1） 1 l 与 2 l 平行（2） 1 l 与 2 l 垂直. 【答案】（1） 2 3 m = − （2） m = 0 【解析】当 m = 0 时， 1 l ：8y-10=0； 2 l ：x-4=0， 1 2 l l ⊥
当m≠0时,l1:y= 3m10-3m x l2:y=- 3 10-3m4 28 得 得 6 而(--)(--)=-1无解 6m 2 综上所述(1)m2·4与l2平行.(2)m=0,1与2垂直 【变式2】求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线/的方程 【答案】x-2y=0 【解析】因为直线l与直线2x+y-10=0垂直,可设直线/的方程为x-2y+m=0,把点A(2,1)代 入直线l的方程得:m=0,所以直线l的方程为:x-2y=0 类型二:直线与坐标轴形成三角形问题 例4.已知直线l的倾斜角的正弦值为,且它与坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线l的方程 【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率,进而引进参数——直线在y轴上的截距b,再根据直 线与坐标轴围成的三角形的面积为6,便可求出b.也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6,设 截距式直线方程,从而得出ab=6,再根据它的斜率已知,从而得到关于a,b的方程组,解之即可 【答案】y=x±3或=、3 3 x±3 【解析】 解法一:设l的倾斜角为α,由sina=-,得tana=± 的方程为y=±x+b,令y=0,得x=±b 直线/与x轴、y轴的交点分别为±b.0,(0,b) S.=231bb=6,即b=3,3 故所求的直线方程分别为y=x±3或y=-x±3 解法二:设直线l的方程为x+y=1,倾斜角为α,由sina=3,得tana=±3 a b b}=6 a=±4 ,解得 故所求的直线方程为 x+y=1或
当 m 0 时， 1 l ： 3 10 3 8 8 m m y x − = − + ； 2 l ： 1 4 6 6 y x m m = − + 由 3 1 8 6 m m − = − ，得 2 3 m = ，由 10 3 4 8 6 m m − = 得 2 8 3 3 m = 或 而 3 1 ( ) ( ) 1 8 6 m m − − = − 无解 综上所述（1） 2 3 m = − ， 1 l 与 2 l 平行．（2） m = 0， 1 l 与 2 l 垂直． 【变式 2】 求经过点 A（2，1），且与直线 2x+y―10=0 垂直的直线 l 的方程． 【答案】x－2y=0 【解析】因为直线 l 与直线 2x+y―10=0 垂直，可设直线 l 的方程为 x y m − + = 2 0 ，把点 A（2，1）代 入直线 l 的方程得： m = 0 ，所以直线 l 的方程为：x－2y=0． 类型二：直线与坐标轴形成三角形问题 例 4．已知直线 l 的倾斜角的正弦值为 3 5 ，且它与坐标轴围成的三角形的面积为 6，求直线 l 的方程． 【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在 y 轴上的截距 b，再根据直 线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，便可求出 b．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，设 截距式直线方程，从而得出 1 | | 6 2 ab = ，再根据它的斜率已知，从而得到关于 a，b 的方程组，解之即可． 【答案】 3 3 4 y x = 或 3 3 4 y x = − 【解析】 解法一：设 l 的倾斜角为 ，由 3 sin 5 = ，得 3 tan 4 = ． 设 l 的方程为 3 4 y x b = + ，令 y=0，得 4 3 x b = ． ∴直线 l 与 x 轴、y 轴的交点分别为 4 ,0 3 b ，（0，b）． ∴ 1 4 2 2 | | 6 2 3 3 S b b b = = = ，即 b 2=9，∴b=±3． 故所求的直线方程分别为 3 3 4 y x = 或 3 3 4 y x = − ． 解法二：设直线 l 的方程为 1 x y a b + = ，倾斜角为 ，由 3 sin 5 = ，得 3 tan 4 = ． ∴ 1 | | | | 6 2 3 4 a b b a = − = ，解得 4 3 a b = = ． 故所求的直线方程为 1 4 3 x y + = 或 1 4 3 x y − = ．
【总结升华】(1)本例中,由于已知直线的倾斜角(与斜率有关)及直线与坐标轴围成的三角形的面 积〔与截距有关),因而可选择斜截式直线方程,也可选用截距式直线方程,故有“题目决定解法”之说 (2)在求直线方程时,要恰当地选择方程的形式,每种形式都具有特定的结论,所以根据已知条件恰 当地选择方程的类型往往有助于问题的解决.例如:已知一点的坐标,求过这点的直线方程,通常选用点 斜式,再由其他条件确定该直线在y轴上的截距;已知截距或两点,选择截距式或两点式,在求直线方程 的过程中,确定的类型后,一般采用待定系数法求解,但要注意对特殊情况的讨论,以免遗漏 举一反三: 【变式1】(2015春启东市期中)已知直线m:2x-y-3=0,n:x+y-3=0 (1)求过两直线m,n交点且与直线l:x+y1=0平行的直线方程 (2)求过两直线m,n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程 【思路点拨】(1)求过两直线m,n交点坐标,结合直线平行的斜率关系即可求与直线l:x+2y-1=0 平行的直线方程; (2)设出直线方程,求出直线和坐标轴的交点坐标,结合三角形的面积公式进行求解即可 【答案】(1)x+2y-4=0;(2) 【解析】(1)由 2x-y-3=0aJ 解得 x+y-3=0 即两直线m,n交点坐标为(2,1), 设与直线l:x+2y1=0平行的直线方程为x+2y+c=0 则2+2×1+c=0,解得c=-4, 则对应的直线方程为x+2y4=0: (2)设过(2,1)的直线斜率为k,(k40) 则对应的直线方程为y1=k(x-2) 令x=0,y=1-2k,即与y轴的交点坐标为A(0,1-2k) 令y=0,则x=28,2.,写x轴的交点坐标为B~1 12k-1 k 12k-1 则△AOB的面积S=× k 即(2k-1)=8k 即42-4k-8k|+1=0, 若k>0,则方程等价为4k2-12k+1=0 解得k=3+2√2 2或k3-2√2 若k<0,则方程等价为4k2+4k+1=0, 解得k=1 综上直线的方程为y-1=-(x-2),或y 2-2,.y1-2+2(x2
【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面 积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰 当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点 斜式，再由其他条件确定该直线在 y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程 的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 举一反三： 【变式 1】（2015 春 启东市期中）已知直线 m：2x―y―3=0，n：x+y―3=0． （1）求过两直线 m，n 交点且与直线 l：x+2y―1=0 平行的直线方程； （2）求过两直线 m，n 交点且与两坐标轴围成面积为 4 的直线方程． 【思路点拨】（1）求过两直线 m，n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线 l：x+2y―1=0 平行的直线方程； （2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【答案】（1）x+2y―4=0；（2） 【解析】（1）由 2 3 0 3 0 x y x y − − = + − = ，解得 2 1 x y = = ， 即两直线 m，n 交点坐标为（2，1）， 设与直线 l：x+2y―1=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0， 则 2+2×1+c=0，解得 c=―4， 则对应的直线方程为 x+2y―4=0； （2）设过（2，1）的直线斜率为 k，（k≠0）， 则对应的直线方程为 y―1=k(x―2)， 令 x=0，y=1―2k，即与 y 轴的交点坐标为 A（0，1―2k） 令 y=0，则 1 2 1 2 k x k k − = − = ，即与 x 轴的交点坐标为 2 1 ( ,0) k B k − ， 则△AOB 的面积 121 | ||1 2 | 4 2 k S k k − = − = ， 即 2 (2 1) 8 k k − = ， 即 2 4 4 8 1 0 k k k − − + = ， 若 k＞0，则方程等价为 2 4 12 1 0 k k − + = ， 解得 3 2 2 2 k + = 或 3 2 2 2 k − = ， 若 k＜0，则方程等价为 2 4 4 1 0 k k + + = ， 解得 1 2 k = − ． 综上直线的方程为 1 1 ( 2) 2 y x − = − − ，或 3 2 2 1 ( 2) 2 y x + − = − ，或 3 2 2 1 ( 2) 2 y x − − = −
即y=-1x+2,或y=3+202x-2-2,或y=3-22 x-2+2√2 类型三:直线方程的实际应用 例6.(2015春湖北期末)光线从点A(2,3)射出,若镜面的位置在直线l:x+y+1=0上,反射光线 经过B(1,1),求入射光线和反射光线所在直线的方程,并求光线从A到B所走过的路线长 【思路点拨】求出点A关于l的对称点,就可以求出反射光线的方程,进一步求得入射点的坐标,从 而可求入射光线方程,可求光线从A到B所走过的路线长 【答案】√4 【解析】设点A关于l的对称点A′(x0,10), :M4′被l垂直平分,∴!2+3 1=0 ,解得 3 y 点A′(-4,一3),B(1,1)在反射光线所在直线上, ∴反射光线的方程为 3x+4 即4x-5+1=0, 1+31+4 4x-5y+1=0 解方程组 得入射点的坐标为(- x+y+1=0 由入射点及点A的坐标得入射光线方程为 3,即5x-4y+2= 光线从A到B所走过的路线长为|A'BF=V(-4-1)+(-3 【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题,考查入射光线和反射光线,解题的关键是利用对 称点的连结被对称轴垂直平分 举一反三 【变式1】(2016春福建厦门期中)一条光线从点A(-4,-2)射出,到直线=x上的B点后被直 线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6).求BC所在直线的方程 【答案】10x-3y+8=0 【解析】如图,A(-4,-2),D(-1,6)
即 1 2 2 y x = − + ，或 3 2 2 2 2 2 2 y x + = − − ，或 3 2 2 2 2 2 2 y x − = − + 类型三：直线方程的实际应用 例 6．（2015 春 湖北期末）光线从点 A（2，3）射出，若镜面的位置在直线 l：x+y+1=0 上，反射光线 经过 B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从 A 到 B 所走过的路线长． 【思路点拨】求出点 A 关于 l 的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从 而可求入射光线方程，可求光线从 A 到 B 所走过的路线长． 【答案】 41 【解析】设点 A 关于 l 的对称点 A＇（x0，y0）， ∵AA＇被 l 垂直平分，∴ 0 0 0 0 2 3 1 0 2 2 3 1 2 x y y x + + + + = − = − ，解得 0 0 4 3 x y = − = − ∵点 A＇（―4，―3），B（1，1）在反射光线所在直线上， ∴反射光线的方程为 3 4 1 3 1 4 y x + + = + + ，即 4x―5y+1=0， 解方程组 4 5 1 0 1 0 x y x y − + = + + = 得入射点的坐标为 2 1 ( , ) 3 3 − − ． 由入射点及点 A 的坐标得入射光线方程为 1 2 3 3 1 2 3 2 3 3 y x + + = + + ，即 5x―4y+2=0， 光线从 A 到 B 所走过的路线长为 2 2 | ' | ( 4 1) ( 3 1) 41 A B = − − + − − = ． 【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对 称点的连结被对称轴垂直平分． 举一反三： 【变式 1】（2016 春 福建厦门期中）一条光线从点 A（－4，－2）射出，到直线 y=x 上的 B 点后被直 线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D（－1，6）．求 BC 所在直线的方程． 【答案】10x－3y+8=0 【解析】如图，A（－4，－2），D（－1，6）
由对称性求得A(-4,-2)关于直线y=x的对称点A′(-2,-4) D关于y轴的对称点D′(1,6), 则由入射光线和反射光线的性质可得:过A′D′的直线方程即为BC所在直线的方程 由直线方程的两点式得 y 6+41+2 整理得:10x-3y+8=0 例7.如图,某房地产公司要在荒地 ABCDE上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一幢8层的公 寓,如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积.(精确到1m2) 【答案】6017 【解析】建立坐标系,则B(30,0),A(0,20) 由直线的截距方程得到线段AB的方程为 x+y=1(0≤x≤30) 设点P的坐标为(x,y,则有y=20、2x ∴公寓的占地面积为 S=(100-x)·(80-y)=(100-x)(80-20+x)=-x2+-x+6000(0≤x≤30) 当x=5,y=时,S取最大值,最大值为S=-2×532+×5+600≈6017(m2) 即当点P的坐标为(5,)时,公寓占地面积最大,最大面积为6017 【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题,点P的位置由两个条件确定,一是A、P、B三点共线 二是矩形的面积最大.借三点共线寻求ⅹ与y的关系,利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用 的方法
由对称性求得 A（－4，－2）关于直线 y=x 的对称点 A＇（－2，－4）， D 关于 y 轴的对称点 D＇（1，6）， 则由入射光线和反射光线的性质可得：过 A＇D＇的直线方程即为 BC 所在直线的方程． 由直线方程的两点式得： 4 2 6 4 1 2 y x + + = + + ． 整理得：10x－3y+8=0． 例 7．如图，某房地产公司要在荒地 ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢 8 层的公 寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到 1 m2） 【答案】6017 【解析】 建立坐标系，则 B（30，0），A（0，20）． ∴由直线的截距方程得到线段 AB 的方程为 1 30 20 x y + = （0≤x≤30）． 设点 P 的坐标为（x，y），则有 2 20 3 y x = − ． ∴公寓的占地面积为 2 (100 ) (80 ) (100 ) (80 20 ) 3 S x y x x = − − = − − + 2 20 2 6000 3 3 = − + + x x （0≤x≤30）． ∴当 x=5， 50 3 y = 时，S 取最大值，最大值为 2 20 2 2 5 5 6000 6017(m ) 3 3 S = − + + ． 即当点 P 的坐标为 50 (5, ) 3 时，公寓占地面积最大，最大面积为 6017 m2． 【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点 P 的位置由两个条件确定，一是 A、P、B 三点共线， 二是矩形的面积最大．借三点共线寻求 x 与 y 的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用 的方法．