高中数学必修2知识点——直线与方程 、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用k表示。即k=tana(a≠90)。斜率反映直线与x轴的倾斜程度 当a∈po:90°)时,k≥20:当a∈(0,180)时,k<0:当a=90时,k不存在 ②过两点的直线的斜率公式:k=22-(x1≠x2) 注意下面四点:(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90° (2)k与B、B的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例如右图,直线h1的倾斜角α=30°,直线h1⊥h2,求直线h和h2的斜率 ki=tan30 l1⊥l2∴.k1·k2=1 3 例:直线x+√3y-5=0的倾斜角是() l2 A.120 B.150° C.60° (3)直线方程 ①点斜式:y-y=k(x-x1)直线斜率k,且过点(x,y) 注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=n 当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因1 上每一点的横坐标都等于x,所以它的方程是x=x ②斜截式:y=kx+b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b ③两点式:y=(x≠x2,≠y2)即不包含于平行于x轴或y直线两点轴的直 V2-V1 x2-x 线,直线两点(x1,y),(x2,y2),当写成(x2-xXy-y1)=(y2-y1x-x1)的形式时,方程 可以表示任何一条直线 ④截矩式:+2=1 其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即与x轴、y轴的截距分别为a,b 对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式 ⑤一般式:Ax+B+C=0(,B不全为0) 注意:①各式的适用范围②特殊的方程如 平行于x轴的直线:y=b(b为常数)平行于y轴的直线:x=a(a为常数) 例题:根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: 1)斜率是-,经过点A(8,-2) (2)经过点B(4,2),平行于x轴
高中数学必修 2 知识点——直线与方程 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 k 表示。即 0 k = tan ( 90 ) 。斜率反映直线与 x 轴的倾斜程度。 当 ) 0 ,90 时， k 0 ； 当 ( ) 90 ,180 时， k 0 ； 当 = 90 时， k 不存在。 ②过两点的直线的斜率公式： ( ) 1 2 2 1 2 1 x x x x y y k − − = 注意下面四点：(1)当 1 2 x = x 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°； (2)k 与 P1、P2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例.如右图，直线 l1 的倾斜角=30°，直线 l1⊥l2，求直线 l1 和 l2 的斜率. 解：k1=tan30°= 3 3 ∵l1⊥l2 ∴ k1·k2 =—1 ∴k2 =— 3 例：直线 x + 3y − 5 = 0 的倾斜角是( ) A.120° B.150° C.60° D.30° （3）直线方程 ①点斜式： ( ) 1 1 y − y = k x − x 直线斜率 k，且过点 ( ) 1 1 x , y 注意：当直线的斜率为 0°时，k=0，直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式： y = kx + b ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式： 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − − = − − （ 1 2 1 2 x x y y , ）即不包含于平行于 x 轴或 y 直线两点轴的直 线，直线两点 ( ) 1 1 x , y ，( ) 2 2 x , y ，当写成 2 1 1 2 1 1 ( )( ) ( )( ) x x y y y y x x − − = − − 的形式时，方程 可以表示任何一条直线。 ④截矩式： 1 x y a b + = 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( ,0) a ,与 y 轴交于点 (0, ) b ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 ab, 。 对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。 ⑤一般式： Ax + By +C = 0 （A，B 不全为 0） 注意：○1 各式的适用范围 ○2 特殊的方程如： 平行于 x 轴的直线： y = b （b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： x = a （a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是 1 2 − ，经过点 A(8，—2)； . (2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； . x y o 1 2 l1 l2
(3在x轴和y轴上的截距分别是3-3 4)经过两点P1(3,-2)、P2(5,-4) 例1:直线l的方程为Ax+ByHC=0,若直线经过原点且位于第二、四象限,则( B.C=0,B>0,A>0 C=0,AB0 例2:直线l的方程为Ax一ByC=0,若A、B、C满足AB>0且BC<0,则l直线不经 的象限是() B.第二 C.第 D.第四 (4)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线Ax+By+C0=0(A,B0是不全为0的常数)的直线系: A0x+B0y+C=0(C为常数) (二)过定点的直线系 (i)斜率为k的直线系:yy=k(x-x),直线过定点(x,y) (ⅱ)过两条直线l1:A1x+By+C1=0,l2:A2x+By+C2=0的交点的直线 系方程为(4x+By+C1)+(4x+By+C2)=0(元为参数,其中直线l2不在直线系中 (三)垂直直线系 垂直于已知直线Ax+By+C=0(A,B是不全为0的常数)的直线系 Bx- Ay+C=o 例1:直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0所经过的定点为 (m∈R) (5)两直线平行与垂直 当l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时, (1)l12分k1=k2,b1≠b2:(2)1⊥l2分kk2 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (3)k=k2,b1=b2分l与2重合;(4)k≠k2台1与l2相交 另外一种形式:一般的,当l:A1x+By+C1=0(41,B不全为0),与 l2:A2x+B2y+C2=0(A,B2不全为0)时, AB2-A2B1=0 (1)h/2分 g2-=0·破者{4B-4B=0 AC2-A2C1≠0 (2)l1⊥l2分AA2+BB2=0 (3)l与l2重合分AB2-A2B1=BC2-B2C1=AC2-AC1=0 (4)l与l2相交分AB2-AB1≠0。 例设直线经过点A(m,1)、B(一3,4),直线l经过点C(1,m)、D(-1,m+1), 当(1)M//h(2)h⊥h时分别求出m的值
(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 3 , 3 2 − ； . 4)经过两点 P1(3，—2)、P2(5，—4)； . 例 1：直线 l 的方程为 Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ） A．C=0，B>0 B．C=0，B>0，A>0 C．C=0，AB0 例 2：直线 l 的方程为 Ax—By—C=0，若 A、B、C 满足 AB.>0 且 BC<0，则 l 直线不经 的象限是（ ） A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 （4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系 平行于已知直线 A0 x + B0 y + C0 = 0 （ 0 0 A ,B 是不全为 0 的常数）的直线系： A0 x + B0 y + C = 0 （C 为常数） （二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为 k 的直线系： y y k x x − = − 0 0 ( ) ，直线过定点 ( ) 0 0 x , y ； （ⅱ）过两条直线 l 1 : A1 x + B1 y +C1 = 0 ，l 2 : A2 x + B2 y +C2 = 0 的交点的直线 系方程为 (A1 x + B1 y +C1 )+(A2 x + B2 y +C2 ) = 0 （ 为参数），其中直线 2 l 不在直线系中。 （三）垂直直线系 垂直于已知直线 Ax By C + + = 0 （ AB, 是不全为 0 的常数）的直线系： Bx Ay C − + = 0 例 1：直线 l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0 所经过的定点为 。(m∈R) （5）两直线平行与垂直 当 1 1 1 l : y = k x + b ， 2 2 2 l : y = k x + b 时， （1） 1 2 1 2 1 2 l // l k = k ,b b ；（2） l 1 ⊥ l 2 k1 k2 = −1 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （3） 1 2 1 2 k k b b = = , 1 l 与 2 l 重合；（4） 1 2 k k 1 l 与 2 l 相交。 另 外 一 种 形 式 ： 一 般 的 ， 当 1 1 1 1 1 1 l A x B y C A B : 0( , + + = 不全为0) ， 与 2 2 2 2 2 2 l A x B y C A B : 0( , + + = 不全为0) 时， （1） 1 2 2 1 1 2 2 1 0 / / 1 2 0 A B A B l l B C B C − = − ，或者 1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 A B A B AC A C − = − 。 （2） 1 2 1 2 1 2 l l A A B B ⊥ + = 0。 （3） 1 l 与 2 l 重合 A B A B 1 2 2 1 − = B C B C 1 2 2 1 − = AC A C 1 2 2 1 − =0。 （4） 1 l 与 2 l 相交 1 2 2 1 A B A B − 0 。 例.设直线 l1 经过点 A(m，1)、B(—3，4)，直线 l2 经过点 C(1，m)、D(—1，m+1)， 当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1 时分别求出 m 的值
例1已知两直线l:x+(1+m)y=2-m和2:2mx+4y+16=0,m为何值时h1与l①相交②平 例2.已知两直线h:(3a+2)x+(1-4a)y+8=0和h:(5a2)x+(a+4)-7=0垂直,求a值 (6)两条直线的交点 l1:A1x+By+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0相交 B 交点坐标即方程组{Ax+By+C,=0的组解 方程组无解→1∥l2 方程组有无数解分l1与l2重合 例3求两条垂直直线h:2x+y+2=0和h2:mx+4y-2=0的交点坐标 例4.已知直线l的方程为y=-x+1, (1)求过点(2,3)且垂直于l的直线方程:(2)求过点(2,3)且平行于l的直线方程 例2:求满足下列条件的直线方程 (1)经过点P(2,3)及两条直线h:x+3y-4=0和h:5x+2y+1=0的交点Q (2)经过两条直线l:2x+y8=0和h2:x2y+1=0的交点且与直线4x-3y7=0平行 (3)经过两条直线h:2x-3y+10=0和h:3x+4y-2=0的交点且与直线3x-2y+4=0垂直 7)两点间距离公式:设A(x1,y),B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点 则|ABF=(x2-x)2+(y2-y)2 (8)点到直线距离公式:一点P(x02y)到直线4A+B+C=0的距离 d=Axo+ Byo+C a-+B (9)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 对于l1:A1x+By+C1=0l2A2x+B2y+C2=0来说: d C1-C2 A2+B 例1:求平行线h:3x+4y-12=0与h:ax+8+11=0之间的距离 例2:已知平行线l1:3x+2y-6=0与l:6x+4y3=0,求与它们距离相等的平行线方程 (10)对称问题 1)中心对称A、若点M(x1,y)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 x=2B、直线关于点的对称,主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐 y =2b VI 标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个
例 1.已知两直线 l1： x+(1+m) y =2—m 和 l2：2mx+4y+16=0，m 为何值时 l1与 l2①相交②平 行 例 2. 已知两直线 l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0 和 l2：(5a—2)x+(a+4)y—7=0 垂直，求 a 值 （6）两条直线的交点 l 1 : A1 x + B1 y +C1 = 0 l 2 : A2 x + B2 y +C2 = 0 相交 交点坐标即方程组 + + = + + = 0 0 2 2 2 1 1 1 A x B y C A x B y C 的一组解。 方程组无解 1 2 l // l ； 方程组有无数解 1 l 与 2 l 重合 例 3.求两条垂直直线 l1：2x+ y +2=0 和 l2： mx+4y—2=0 的交点坐标 例 4. 已知直线 l 的方程为 1 2 1 y = − x + ， (1)求过点（2，3）且垂直于 l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于 l 的直线方程。 例 2：求满足下列条件的直线方程 (1) 经过点 P(2，3)及两条直线 l1： x+3y—4=0 和 l2：5x+2y+1=0 的交点 Q； (2) 经过两条直线 l1： 2x+y—8=0 和 l2：x—2y+1=0 的交点且与直线 4x—3y—7=0 平行； (3) 经过两条直线 l1： 2x—3y+10=0 和 l2：3x+4y—2=0 的交点且与直线 3x—2y+4=0 垂直； （7）两点间距离公式：设 1 1 2 2 A x y B x y ( , ) , ，（ ） 是平面直角坐标系中的两个点， 则 2 2 2 1 2 1 | | ( ) ( ) AB x x y y = − + − （ 8 ）点到直线距离公式： 一 点 ( ) 0 0 P x , y 到直线 1 l Ax By C : 0 + + = 的距离 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = （9）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 对于 l 1 : A1 x + B1 y +C1 = 0 l 2 : A2 x + B2 y +C2 = 0 来说： 1 2 2 2 C C d A B − = + 。 例 1：求平行线 l1：3x+ 4y —12=0 与 l2： ax+8y+11=0 之间的距离。 例 2：已知平行线 l1：3x+2y —6=0 与 l2： 6x+4y—3=0，求与它们距离相等的平行线方程。 (10) 对称问题 1) 中心对称 A、若点 1 1 M x y ( , ) 及 N x y ( , ) 关于 P a b ( , ) 对称，则由中点坐标公式得 1 1 2 , 2 . x a x y b y = − = − B、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐 标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个
对称点,再利用1//2,由点斜式得出所求直线的方程 2)轴对称A、点关于直线的对称:若P(x1,y)与P(x2,y2)关于直线EAx+B+C=0对 称,则线段尸P2的中点在对称轴l上,而且连结PP的直线垂直于对称轴l,由方程组 2+B.+ C=0, 2 y, B 可得到点F关于/对称的点P的坐标(x2,y2)(其中 A≠0,x1≠x2)。B、直线关于直线的对称:此类问题一般转化为关于直线对称的 点来解决,若已知直线l与对称轴l相交,则交点必在与l1对称的直线L上,然后再求 出4上任一个已知点P关于对称轴对称的点P2,那么经过交点及点P2的直线就是2 若已知直线l1与对称轴/平行,则与l对称的直线和l到直线l的距离相等,由平行直线 系和两条平行线间的距离,即可求出l的对称直线 例1:已知直线l:2x-3y+1=0和点P(-1,-2) (1)分别求:点P(-1,-2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标 (2)分别求:直线l:2x-3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程 (3)求直线l关于点P(一1,-2)对称的直线方程。 (4)求P(-1,-2)关于直线l轴对称的直线方程。 例2:点P(-1,-2)关于直线l:x+y2=0的对称点的坐标为 u.中点坐标公式:已知两点P1(xn,y)、P(x,y),则线段的中点M坐标为工+ VI t, 例.已知点A(7,-4)、B(-5,6)求线段AB的垂直平分线的方程
对称点，再利用 1 2 l l // ，由点斜式得出所求直线的方程。 2) 轴对称 A、点关于直线的对称： 若 1 1 1 P x y ( , ) 与 2 2 2 P x y ( , ) 关于直线 l Ax By C : 0 + + = 对 称，则线段 PP1 2 的中点在对称轴 l 上，而且连结 PP1 2 的直线垂直于对称轴 l ，由方程组 1 2 1 2 1 2 1 2 0, 2 2 , x x y y A B C y y B x x A + + + + = − = − 可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标 2 2 ( , ) x y （其中 1 2 A x x 0, )。 B、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的 点来解决，若已知直线 1 l 与对称轴 l 相交，则交点必在与 1 l 对称的直线 2 l 上，然后再求 出 1 l 上任一个已知点 P1 关于对称轴 l 对称的点 P2 ，那么经过交点及点 P2 的直线就是 2 l ； 若已知直线 1 l 与对称轴 l 平行，则与 1 l 对称的直线和 1 l 到直线 l 的距离相等，由平行直线 系和两条平行线间的距离，即可求出 1 l 的对称直线。 例 1：已知直线 l：2x—3y+1=0 和点 P(—1，—2). (1) 分别求：点 P(—1，—2)关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标 (2) 分别求：直线 l：2x—3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称的直线方程. (3) 求直线 l 关于点 P(—1，—2)对称的直线方程。 (4) 求 P(—1，—2)关于直线 l 轴对称的直线方程。 例 2：点 P(—1，—2)关于直线 l： x+y—2=0 的对称点的坐标为 。 11. 中点坐标公式：已知两点 P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点 M 坐标为( 2 x1 + x2 ， 2 1 2 y + y ) 例. 已知点 A(7，—4)、B(—5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程
直线方程练习题 1.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 2.若直线xay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a 3、直线2x+3y-5=0关于直线y=x对称的直线方程为 4、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是 5、过点P(,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是 6.过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 7两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,则k的值是 8、两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离是 9、已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1,5)、B(-2,-1)、C(4,3),M是BC边上的中点 (1)求AB边所在的直线方程:(2)求中线AM的长(3)求AB边的高所在直线方程 10.直线x+m2y+6=0与直线(m-2)x+3my+2m=0没有公共点,求实数m的值。 11.求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且分别与直线 2x-y-1=0(1)平行,(2)垂直的直线方程
直线方程练习题 1．过点 ( 1,3) − 且平行于直线 x − 2y + 3 = 0 的直线方程为_____________ 2．若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a=__________________ 3、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为________________ 4、与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是___________________ 5、过点 P(4,-1)且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程是______________ 6. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程__________________ 7 两直线 2x+3y－k=0 和 x－ky+12=0 的交点在 y 轴上，则 k 的值是_________________ 8、两平行直线 x + 3y − 4 = 0与2x + 6y −9 = 0 的距离是_______________ 9、已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M 是 BC 边上的中点。 （1）求 AB 边所在的直线方程；（2）求中线 AM 的长（3）求 AB 边的高所在直线方程。 10. 直线 6 0 2 x + m y + = 与直线 (m − 2)x + 3my + 2m = 0 没有公共点，求实数 m 的值。 11 ． 求经 过两 条直 线 l 1 : x + y − 4 = 0 和 l 2 : x − y + 2 = 0 的 交点 ，且 分 别与 直 线 2x − y −1 = 0 （1）平行，（2）垂直的直线方程
12、过点(2,3)的直线L被两平行直线L:2x-5y+9=0与 L2:2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,求直线L 的方程
12、过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与 Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ 的方程