讲义:直线与方程 内容讲解: l、直线的倾斜角和斜率: (1)设直线的倾斜角为a(0≤a<180),斜率为k,则k=ma(a≠当a=时,斜 率不存在 (2)当0≤a<90时,k≥0:当90<a<180时,k<0 (3)过P(x,y1),P(x2,y2)的直线斜率k=2-(x2≠x) 2、两直线的位置关系: 两条直线l:y=k1x+b,l2:y=k2x+b斜率都存在,则: (1)l∥l2分k=k2且b≠b; (2)l⊥l2分k1k2=-1 (3)1与l2重合分k=k2且b=b2 3、直线方程的形式: (1)点斜式:y-y=k(x-x)(定点,斜率存在) (2)斜截式:y=kx+b(斜率存在,在y轴上的截距) (3)两点式:y=x-x(y2≠列1,x2≠x)(两点) y2-y1x2-X1 (4)一般式:Ax+By+C=0(4F+B2≠0) (5)截距式:x+2=1(在x轴上的截距,在y轴上的截距) 4、直线的交点坐标: 设l:Ax+By+C1=0.2:A2x+B2y+c2=0,则 (1)4与4相交4≠B:( A B2(2)4∥4s±=BC 42B关;(3)l与l2重合
讲义：直线与方程 内容讲解： 1、直线的倾斜角和斜率： （1）设直线的倾斜角为 (0 180 ) ，斜率为 k ，则 tan 2 k = .当 2 = 时，斜 率不存在. （2）当 0 90 时， k 0 ；当 90 180 时， k 0 . （3）过 1 1 1 P x y ( , )， 2 2 2 P x y ( , ) 的直线斜率 2 1 2 1 2 1 ( ) y y k x x x x − = − . 2、两直线的位置关系： 两条直线 1 1 1 l y k x b : = + ， 2 2 2 l y k x b : = + 斜率都存在，则： （1） 1 l ∥ 2 l 1 2 k k = 且 1 2 b b ； （2） 1 2 1 2 l l k k ⊥ = −1 ； （3） 1 l 与 2 l 重合 1 2 k k = 且 1 2 b b = 3、直线方程的形式： （1）点斜式： y y k x x − = − 0 0 ( ) （定点，斜率存在） （2）斜截式： y kx b = + （斜率存在，在 y 轴上的截距） （3）两点式： 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ) y y x x y y x x y y x x − − = − − （两点） （4）一般式： ( ) 2 2 + + = + x y C A B 0 0 （5）截距式： 1 x y a b + = （在 x 轴上的截距，在 y 轴上的截距） 4、直线的交点坐标： 设 1 1 1 1 2 2 2 2 l A x B y c l A x B y c : 0, : 0 + + = + + = ，则： （1） 1 l 与 2 l 相交 1 1 2 2 A B A B ；（2） 1 l ∥ 2 l 1 1 1 2 2 2 ABC ABC = ；（3） 1 l 与 2 l 重合
B. C A2 B2 C2 5、两点P(x,y),P(x2,y2)间的距离公式PP=√x2-x)2+(y2-y) 原点O()与任一点P(xy)的距离P=√x+y Ax t By +c 6、点B(x0,y)到直线/:Ax+By+C=0的距离d= 2+B2 (1)点P(x23)到直线/Ax+C=0的距离d14x+C (2)点P(x,y)到直线ByC=0的距离d=B0+C B (3)点P(00)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= +B 7、两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=~C A2+B2 8、过直线l1:A1x+By+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为 (Ax+By+C)+2(Ax+By+C2)=O(ER) 9、与直线l:Ax+By+C=0平行的直线方程为Ax+By+D=0(C≠D) 与直线l:Ax+By+C=0垂直的直线方程为Bx-Ay+D=0 10、中心对称与轴对称 (1)中心对称:设点P(x1y),E(x2y2)关于点M(x,%)对称,则 2 V,+ y2 (2)轴对称:设P(x1,y),E(x2,y2)关于直线/:Ax+By+C=0对称, a、B=0时,有C 且y=y2 b、A=0时,有=-且耳=2 2
1 1 1 2 2 2 A B C A B C = = . 5、两点 1 1 1 P x y ( , )， 2 2 2 P x y ( , ) 间的距离公式 2 2 1 2 2 1 2 1 PP x x y y = − + − ( ) ( ) 原点 (0,0) 与任一点 ( x y, ) 的距离 2 2 OP x y = + 6、点 0 0 0 P x y ( , ) 到直线 l x y C : 0 + + = 的距离 0 0 2 2 Ax By C d A B + + = + （1）点 0 0 0 P x y ( , ) 到直线 l x C : 0 + = 的距离 Ax C 0 d A + = （2）点 0 0 0 P x y ( , ) 到直线 l y C : 0 + = 的距离 By C 0 d B + = （3）点 (0,0) 到直线 l x y C : 0 + + = 的距离 2 2 C d A B = + 7、两条平行直线 1 + + = x y C 0 与 2 + + = x y C 0 间的距离 1 2 2 2 C C d A B − = + 8、过直线 1 1 1 1 l A x B y c : 0 + + = 与 2 2 2 2 l A x B y c : 0 + + = 交点的直线方程为 ( ) ( ) 0 A x B y C A x B y c R 1 1 1 2 2 2 + + + + + = ( ) 9、与直线 l x y C : 0 + + = 平行的直线方程为 + + = x y D C D 0( ) 与直线 l x y C : 0 + + = 垂直的直线方程为 − + = x y D 0 10、中心对称与轴对称： （1）中心对称：设点 1 1 2 2 P x y E x y ( , ), ( , ) 关于点 0 0 M x y ( , ) 对称，则 1 2 0 1 2 0 2 2 x x x y y y + = + = （2）轴对称：设 1 1 2 2 P x y E x y ( , ), ( , ) 关于直线 l x y C : 0 + + = 对称，则： a、 B = 0 时，有 1 2 2 x x C A + = − 且 1 2 y y = ； b、 A= 0 时，有 1 2 2 y y C B + = − 且 1 2 x x =
B A·B≠0时,有 x -x2A X,+x 典型例题 例1.已知直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 ①当m=时,直线的倾斜角为45° ②当m=时,直线在ⅹ轴上的截距为1 时,直线在y轴上的截距为一3 时,直线与x轴平行.⑤当m= 时,直线过原点 变式训练1. (1)直线3y+√3x+2=0的倾斜角是 B.60°C.120°D.150° (2)设直线的斜率k=2,P1(3,5),P2(x2,7),P(-1,y)是直线上的三点,则x,y3 依次是() A.-3,4B.2,-3C.4,-3D.4,3 (3)直线l1与l2关于x轴对称,山1的斜率是-√7,则l2的斜率是() B 7 (4)直线1经过两点(1,-2),(-3,4),则该直线的方程是
c、 A B 0 时，有 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 2 y y B x x A x x y y A B C − = − + + + + = 典型例题 例 1. 已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1． ① 当 m＝ 时，直线的倾斜角为 45°． ②当 m＝ 时，直线在 x 轴上的截距为 1． ③ 当 m＝ 时，直线在 y 轴上的截距为－ 2 3 ． ④ 当 m＝ 时，直线与 x 轴平行．⑤当 m＝ 时，直线过原点． 变式训练 1. （1）直线 3y＋ 3 x＋2=0 的倾斜角是 （ ） A．30° B．60° C．120° D．150° （2）设直线的斜率 k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则 x2，y3 依次是 （ ） A．－3，4 B．2，－3 C．4，－3 D．4，3 （3）直线 l1 与 l2 关于 x 轴对称，l1 的斜率是－ 7 ，则 l2 的斜率是 （ ） A． 7 B．－ 7 7 C． 7 7 D．－ 7 （4）直线 l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．
例2已知三点A(1,-1),B(3,3),C(4,5).求证:A、B、C三点在同一条直线上 变式训练2.设a,b,c是互不相等的三个实数,如果A(a,a3)、B(b,b3)、C(c,c3) 在同一直线上,求证:a+b+c=0 例3.直线y=3x绕原点逆时针旋转90,再向右平移1个单位,所得到的直线为( x+ (B)y=--x+1 (D)y x+1 例4.(全国I文)若直线m被两平行线1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的 长为2√2,则m的倾斜角可以是①15②30③45④60⑤75 其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号) 例5已知三角形的顶点是A(-50)、B(3,-3)、C(0,2),求这个三角形三边所在的直线方程
例 2. 已知三点 A（1，-1），B（3，3），C（4，5）. 求证：A、B、C 三点在同一条直线上. 变式训练 2. 设 a，b，c 是互不相等的三个实数，如果 A（a，a 3）、B（b，b 3）、C（c，c 3） 在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例 3．直线 y x = 3 绕原点逆时针旋转 0 90 ，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ） 1 1 3 3 y x = − + （Ｂ） 1 1 3 y x = − + （Ｃ） y x = − 3 3 （Ｄ） 1 1 3 y x = + 例 4．（全国Ⅰ文）若直线 m 被两平行线 1 2 l x y l x y : 1 0 : 3 0 − + = − + = 与 所截得的线段的 长为 2 2 ，则 m 的倾斜角可以是① 15 ② 30 ③ 45 ④ 60 ⑤ 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 例 5.已知三角形的顶点是 A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程
例6一条直线从点A(3,2)出发经过x轴反射通过点B(-1,6),求入射光线与反射光线所在的 直线方程 例7、已知点A(-3,5)和B(2,15),在直线l:3x-4y+4=0上找一点P,使PA|+PB最小,并 求这个最小值 例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x=0,斜边的中点为A(4,2 求其它两边所在直线的方程 例9、求过点P(-5,-4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程
例 6.一条直线从点 A(3,2)出发,经过 x 轴反射,通过点 B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的 直线方程 例 7、已知点 A(－3,5) 和 B(2,15) , 在直线 l： 3x－4y+4=0 上找一点 P, 使|PA|+|PB|最小, 并 求这个最小值. 例 8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为 2x-y=0,斜边的中点为 A(4,2), 求其它两边所在直线的方程. 例 9、求过点 P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为 5 的直线方程
例10、已知点A(25)与点B4-7试在y轴上求一点P使及P4+PE的值为最小 例11过点A(O,1)做一直线/,使它夹在直线l1x-3y+10=0和l22x+y-8=0间的线段被A点平 分,试求直线l的方程 巩固训练 1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为一,则m的值是 D、2与 2、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 3、已知1平行于直线3x+4y-5=0,且1和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24, 则直线1的方程是 A、3x+4y-12√2=0 B、3x+4y+12√2 C、3x+4y-24=0 D 3x+4y+24=0 4、若直线1经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线1的条数为
例 10、已知点 A(2,5)与点 B(4,－7),试在 y 轴上求一点 P,使及 PA + PB 的值为最小. 例 11、过点 A(0,1)做一直线 l ,使它夹在直线 1 l :x-3y+10=0 和 2 l :2x+y-8=0 间的线段被 A 点平 分,试求直线 l 的方程. 巩固训练 1、直线(2m2 -5m-3)x-(m2 -9)y＋4=0 的倾斜角为 4 ，则 m 的值是 （ ） A、3 B、2 C、-2 D、2 与 3 2、点(a,b)关于直线 x+y=0 对称的点是 ( ) A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a) 3、已知 l 平行于直线 3x+4y－5=0, 且 l 和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是 24, 则直线 l 的方程是 ( ) A、3x+4y－12 2 =0 B、 3x+4y+12 2 =0 C、 3x+4y－24=0 D、 3x+4y＋24=0 4、若直线 l 经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2,则直线 l 的条数为 ( ) A、1 B、2 C、3 D、4
5、已知菱形的三个顶点为(a,b)、(-b,a)、(0,0),那么这个菱形的第四个顶点为 A、(a-b,a+b)B、(a+b,a-b) (0,2a) 6、若点(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则a的取值范围是() B、(0,10) D、( 7、过定点P(2,1)作直线,交x轴和y轴的正方向于A、B,使△ABC的面积最小,那么l 的方程为 A、x-2y-4=0 B、x-2y+4=0 C、2x-y+4=0 D、x+2y-4=0 8、若直线Ax+By+C=0与两坐标轴都相交,则有() A、A·B≠ B、A≠0或B≠0 C、C≠0 D、A2+B2=0 9、已知直线l1:3x+4y=6和l2:3x-4y=-6,则直线l1和l2的倾斜角是() 互补 B、互余 D、互为相反数 10、直线(2m2-5m3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为一,则m的值是() D、2与 11、△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C的平分线分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是 A、y=2x+5 B、y=2x+3 12、直线kx-y=k-1与ky-x=2k的交点位于第二象限,那么k的取值范围是() A、k>1B、0<k< C、k<一 D、一<k<1 13、直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距是3则实数m的值是( 14、若平行四边形三个顶点的坐标为(1,0),(5,8),(7,-4),则第四个顶点坐标为
5、已知菱形的三个顶点为（a,b）、（－b,a）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ） A、(a－b,a＋b) B、(a＋b, a－b) C、(2a,0) D、(0,2a) 6、若点(4，a)到直线 4x-3y=1 的距离不大于 3，则 a 的取值范围是（ ） A、0，10 B、(0，10) C、 1 3 3 13 ， D、(-∞，0 10，＋∞) 7、过定点 P(2,1)作直线 l,交 x 轴和 y 轴的正方向于 A、B，使△ABC 的面积最小，那么 l 的方程为 （ ） A、x-2y-4=0 B、x-2y+4=0 C、2x-y+4=0 D、x+2y-4=0 8、若直线 Ax＋By＋C=0 与两坐标轴都相交，则有（ ） A、A·B0 B、A0 或 B0 C、C0 D、A 2＋B 2 =0 9、已知直线 l 1：3x＋4y=6 和 l 2：3x-4y=-6，则直线 l 1 和 l 2 的倾斜角是（ ） A、互补 B、互余 C、相等 D、互为相反数 10、直线(2m2 -5m-3)x-(m2 -9)y＋4=0 的倾斜角为 4 ，则 m 的值是（ ） A、3 B、2 C、-2 D、2 与 3 11、△ABC 的一个顶点是 A(3,-1),∠B、∠C 的平分线分别是 x=0,y=x，则直线 BC 的方程是 （ ） A、y=2x+5 B、y=2x+3 C、y=3x+5 D、y=- 2 5 2 x + 12、直线 kx－y=k－1 与 ky－x=2k 的交点位于第二象限，那么 k 的取值范围是( ) A、k＞1 B、0＜k＜ 2 1 C、k＜ 2 1 D、 2 1 ＜k＜1 13、直线(m+2)x+ (m 2m 3)y 2m 2 − − = 在 x 轴上的截距是 3,则实数 m 的值是( ) A、 5 2 B、6 C、- 5 2 D、-6 14、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，−4),则第四个顶点坐标为
15、平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0截直线x-7y+19=0所得线段的长度等于 16、已知点M(a.b)在直线3x+4y=15上,则√a2+b2的最小值为 17、一直线被两直线l1:4x+y+6=0.l2:3x-5y-6=0截得线段的中点是P点,当P 点为(0,0)时,求此直线方程
15、平行线 3x＋4y－7=0 与 3x＋4y＋8=0 截直线 x－7y＋19=0 所得线段的长度等于 ____________. 16、已知点 M a b ( , ) 在直线 3x + 4y = 15 上，则 2 2 a + b 的最小值为 17、 一直线被两直线 l 1 : 4x + y + 6 = 0,l 2 : 3x −5y − 6 = 0 截得线段的中点是 P 点，当 P 点为 (0,0) 时，求此直线方程新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 http://www.xjktyg.com/wxc/ wxck t@126.com wxck t@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 王新敞 特级教师 源头学子小屋 新疆