33《直线的交点坐标与距离公式》导学案 【学习目标】 1.直线和直线的交点,二元一次方程组的解; 2.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问是 3.理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式,会用点到直线距离 公式求解两平行线距离。 【导入新课】 用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让学生观察这两直线的位置关系 课堂设问一:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系, 那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系? 新授课阶段 1.两直线的交点坐标的求法 如果两条直线相交,联立方程组求,交点坐标与二元一次方程组的 是一一对应的。 1.若二元一次方程组有唯一解,l与l2相交 2.若二元一次方程组无解,则l与2平行 3若二元一次方程组有无数解,则1与l2重合。 例1求下列两直线交点坐标: l1:3x+4y-2=0 l2:2x+y+2=0 /13
1 / 13 3.3《直线的交点坐标与距离公式》导学案 【学习目标】 1. 直线和直线的交点，二元一次方程组的解； 2．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。 3. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式，会用点到直线距离 公式求解两平行线距离。 【导入新课】 用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。 课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系， 那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 新授课阶段 1. 两直线的交点坐标的求法 如果两条直线相交，联立方程组求 ，交点坐标与二元一次方程组的 是一一对应的。 1. 若二元一次方程组有唯一解， 1 l 与 2 l 相交。 2. 若二元一次方程组无解，则 1 l 与 2 l 平行。 3.若二元一次方程组有无数解，则 1 l 与 2 l 重合。 例 1 求下列两直线交点坐标： 1 l ：3x+4y-2=0； 2 l ：2x+y +2=0。 解：
例2已知a为实数,两直线l:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于一点,求证 交点不可能在第一象限及x轴上 分析 2.两点间距离公式的推导 平面直角坐标系中两点P,B2的距离P2|=(x2-x2)+(y2-y)。过P,P分别向x 轴和y轴作垂线,垂足分别为N(O,y),M2(x20),直线PN与BM2相交于点Q 在直角APPQ中,|PP|=P+|pP,为了计算其长度,过点P向x轴作垂线, 垂足为M1(x10)过点P向y轴作垂线,垂足为N2(O,y2),于是有 P2=M2M12=2-x1,P1=|NN2P=|n2-yP 所以,PP=|P2+1P1={x2-x+{y2-y2。 由此得到两点间的距离公式 例3以知点A(-1,2),B(2,,在x轴上求一点,使P4=|PB,并求|PA的 解: 2/13
2 / 13 例 2 已知 a 为实数，两直线 1 l ：ax + y +1 = 0， 2 l ： x + y − a = 0 相交于一点，求证 交点不可能在第一象限及 x 轴上. 分析： 解： 2. 两点间距离公式的推导 平面直角坐标系中两点 1 2 P P, 的距离 ( ) ( ) 2 2 PP x x y y 1 2 2 2 2 1 = − + − 。过 1 2 P P, 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足分别为 N y M x 1 1 2 2 (0 0 ， )， ( ， ) ，直线 PN P M 1 1 2 2 与 相交于点 Q。 在直角 PP Q 1 2 中， 2 2 2 PP PQ QP 1 2 1 2 = + ，为了计算其长度，过点 P1 向 x 轴作垂线， 垂足为 M x 1 1 ( ， 0) 过点 P2 向 y 轴作垂线，垂足为 N y 2 2 (0， ) ，于是有 2 2 2 2 2 2 PQ M M x x QP N N y y 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = = − = = − ， 所以， 2 2 2 PP PQ QP 1 2 1 2 = + = 2 2 2 1 2 1 x x y y − + − 。 由此得到两点间的距离公式 例 3 以知点 A（-1，2），B（2， 7 ），在 x 轴上求一点，使 PA PB = ,并求 PA 的 值。 解：
例4证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析 证明: 3.点到直线距离公式 在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y),直线=0或B=0时,以上 公式l:Ax+By+C=0,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢? 设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由 y PQ⊥l可知,直线PQ的斜率为(A≠0),根据点R P(Xo, yo) 斜式写出直线PQ的方程,并由/与PQ的方程求出点 Q的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到 点P到直线l的距离为d 此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨另一种方法 方案二:设A≠0,B≠0,这时/与x轴、y轴都相交,过点P作x轴的平行线,交/于点 R(x1,y);作y轴的平行线,交/于点S(x0,y2), 3/13
3 / 13 例 4 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析： 证明： 3. 点到直线距离公式 在平面直角坐标系中，如果已知某点 P 的坐标为 ( , ) 0 0 x y ，直线＝0 或 B＝0 时，以上 公式 l : Ax + By + C = 0 ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢? 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ，垂足为 Q，由 PQ⊥ l 可知，直线 PQ 的斜率为 A B （A≠0），根据点 斜式写出直线 PQ 的方程，并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到 点 P 到直线 l 的距离为 d 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨另一种方法 方案二：设 A≠0，B≠0，这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交，过点 P 作 x 轴的平行线，交 l 于点 ( , ) 1 0 R x y ；作 y 轴的平行线，交 l 于点 ( , ) 0 2 S x y ， o x y l d Q S R P(x0 ,y0 )
A,x,+ Byo +C=o 由 得 B。-C Ax。+By,+C=0 B 所以,1PP|=1x-/~4x。+B+C A I PS yo-vI-Ax+Byo +C B RS|=√PR2+PS +B |Ax0+Bo+C|由三角形面积公式可知 d·|RS|=|PR|·|PS 所以 可证明,当A=0时仍适用 得到 点P(x,)到直线1:4x+b+C=0的距离为:d=4xn+Bn+C √A2+B 例5求点P=(-1,2)到直线3x2的距离。 解 例6已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形ABC的面积 4/13
4 / 13 由 + + = + + = 0 0 0 2 1 1 0 Ax By C A x By C 得 B Ax C y A By C x − − = − − = 0 2 0 1 , . 所以，｜PＲ｜＝｜ 0 1 x − x ｜＝ A Ax0 + By 0 + C ｜PS｜＝｜ 0 2 y − y ｜＝ B Ax0 + By 0 + C ｜ＲS｜＝ AB A B PR PS 2 2 2 2 + + = ×｜ Ax0 + By0 +C ｜由三角形面积公式可知： d ·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜ 所以 可证明，当 A=0 时仍适用 得到： 点 ( , ) 0 0 P x y 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离为： 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = 例 5 求点 P=（-1，2）到直线 3x=2 的距离。 解： 例 6 已知点 A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形 ABC 的面积。 解：
4平行线间的距离公式 知两条平行线直线l和l2的一般式方程为1:Ax+By+C1=0 l2:Ax+By+C2=0,则l与l2的距离为d= 证 例7求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0间的距离。 课堂小结 1直线与直线的位置关系求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数问题来解决 并能进行应用。 2.两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决几何问题,建立直角 坐标系的重要性。 3.点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化 为点到直线的距离公式 作业 见同步练习部分 5/13
5 / 13 4.平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 1 l 和 2 l 的一般式方程为 1 l ： Ax + By +C1 = 0 ， 2 l ： Ax + By +C2 = 0 ，则 1 l 与 2 l 的距离为 2 2 1 2 A B C C d + − = 证明： 例 7 求两平行线 1 l ： 2x + 3y − 8 = 0 ， 2 l ： 2 3 10 0 x y + − = 间的距离。 解： 课堂小结 1.直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决， 并能进行应用。 2. 两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角 坐标系的重要性。 3. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化 为点到直线的距离公式。 作业 见同步练习部分
拓展提升 1.已知直线33(和“相平行,则它们之间的距离是() 2、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是() A.N45∈B.124C.7∈D.31∈ 3已知直线h的方程是axy+b=0,h2的方程是bxya=0(ab+04≠b),则下列各示意图形 中,正确的是() 4.直线y=3x绕原点逆时针旋转90,再向右平移1个单位,所得到的直线为( x+ 5.若动点A(x1,y1)、B(x2,y2)分别在直线l:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上 移动,则AB中点M到原点距离的最小值为() A.3√2 B.2 3 D.4√2 6.点A(1,3),B(5,-2),点P在x轴上使MP-BP最大,则P的坐标为() A.(4,0) B.(13,0) C.(5,0) D.(1,0) 7过点P(4,1)作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B,当△AOB(O 为原点)的面积S最小时,求直线l的方程,并求出S的最小值。 6/13
6 / 13 拓展提升 1．已知直线 3x+2y−3=0 和 6x+my+1=0 互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. 4 B. 13 2 13 C. 26 5 13 D. 26 7 13 2、过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ） A． x+2y−5=0 B． 2x−y−4=0 C. x+3y−7=0 D．3x+y−5=0 3.已知直线 l1 的方程是 ax-y+b＝0,l2 的方程是 bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形 中，正确的是( ) 4．直线 y x = 3 绕原点逆时针旋转 90 ，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) A. 1 1 3 3 y x = − + B. 1 1 3 y x = − + C. y x = − 3 3 D. 1 1 3 y x = + 5．若动点 ( , ) ( , ) 1 1 2 2 A x y 、B x y 分别在直线 1 l ： x + y − 7 = 0 和 2 l ： x + y − 5 = 0 上 移动，则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为（ ） A．3 2 B． 2 3 C．3 3 D．4 2 6．点 A（1，3），B（5，－2），点 P 在 x 轴上使|AP|－|BP|最大，则 P 的坐标为（ ） A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0) 7.过点 P(4,1) 作直线 l 分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于点 A 、B ，当 AOB （ O 为原点）的面积 S 最小时，求直线 l 的方程，并求出 S 的最小值
8光线从Q(2,0)发出射到直线l:xy=4上的E点,经/反射到y轴上F点,再经y轴 反射又回到Q点,求直线EF的方程。 9在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边分别在x轴 y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图所示)。将矩形折叠,使A点落在线段DC上。 (1)若折痕所在直线的斜率为k,试求折痕所在直线的方程 (2)当-2+√≤k≤0时,求折痕长的最大值: (3)当-2≤k≤-1时,折痕为线段PQ,设t=k(2|PQP-1), 试求t的最大值 10.过点(2,3)的直线l被两平行直线l:2x-5y+9=0.2:2x-5y-7=0所截得线段 AB的中点恰好在直线x-4y-1=0上,求直线/的方程 7/13
7 / 13 8.光线从 Q(2,0) 发出射到直线 l ：x+y=4 上的 E 点，经 l 反射到 y 轴上 F 点，再经 y 轴 反射又回到 Q 点，求直线 EF 的方程。 9.在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为２，宽为１， AB 、AD 边分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， A 点与坐标原点重合（如图所示）。将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上。 （1）若折痕所在直线的斜率为 k ，试求折痕所在直线的方程； （2）当 − + 2 3 0 k 时，求折痕长的最大值； （3）当 − − 2 1 k 时，折痕为线段 PQ ，设 2 t k PQ = − (2 | | 1) ， 试求 t 的最大值。 10. 过点(2,3)的直线 l 被两平行直线 1 2 l x y l x y : 2 5 9 0, : 2 5 7 0 − + = − − = 所截得线段 AB 的中点恰好在直线 x y − − = 4 1 0 上,求直线 l 的方程
参考答案 新授课阶段 1.两直线的交点坐标的求法 交点坐标解 例1 解:联立方程组3x+4y-2=0 2x+2y+2=0 解得x=2,y=2 所以l1与l2的交点坐标为M(-2,2),如下图所示: y 例2 分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标的范围 解:解方程组若 >0,则a>1.当a>1时, 此时交点在第二象限内 又因为a为任意实数时,都有a2+1≥1>0,故 ≠0 因为a≠1(否则两直线平行,无交点) 所以,交点不可能在x轴上,得 a+1a2+1 交点 2.两点间距离公式的推导 PR1= (x2-x2)+(y2-y) 例3 8/13
8 / 13 参考答案 新授课阶段 1. 两直线的交点坐标的求法 交点坐标 解 例 1 解：联立方程组 3 4 2 0 2 2 2 0 x y x y + − = + + = 解得 x=-2，y=2 所以 1 l 与 2 l 的交点坐标为 M（-2，2），如下图所示： 6 4 2 -2 -4 -5 5 y x 例 2 分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围. 解：解方程组若 1 1 2 − + a a 0 ，则 a ＞1.当 a ＞1 时，－ 1 1 − + a a 0 ， 此时交点在第二象限内. 又因为 a 为任意实数时，都有 1 2 a + 1＞0，故 1 1 2 − + a a ≠0 因为 a ≠1（否则两直线平行，无交点） ， 所以，交点不可能在 x 轴上，得 交点(－ 1 1 , 1 1 2 − + − + a a a a ) 2. 两点间距离公式的推导 ( ) ( ) 2 2 PP x x y y 1 2 2 2 2 1 = − + − 例 3
解:设所求点P(x,0),于是有 )+(0-2)yx-2)+( 由P4=PB得x2+2x+5=x2-4x+11解得x=1。 所以,所求点P(1,0)且1PA=√+1)+0-23=25 解法二:由已知得,线段AB的中点为M +7 直线AB的斜率为 22231(外、++0=22 线段AB的垂直平分线的方程是y2+V=3(x-1 √7 在上述式子中,令y=0,解得x=1。 所以所求点P的坐标为(1,0)。因此 PA=(1+2)+(0-2= 例4 分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数 运算“翻译”成几何关系。数形之间的关系和转化,并从中归纳出应用代数问题解决几何问 题的基本步骤。 证明:以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,有A(0 0)。 设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c), 因为 JAB=a, CDP=a, AD=b2+c2=BCR LAC=(a+b)+c2.B D=(b-a)+c2 所以,A+CD+AD+BCc=22+b2+c) Ac+D=2(2+b3+c2)所以, JA B+C D +JA D+BC=A C +B DI 因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 9/13
9 / 13 解：设所求点 P（x，0），于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x + + − = − + − 1 0 2 2 0 7 由 PA PB = 得 2 2 x x x x + + = − + 2 5 4 11 解得 x=1。 所以，所求点 P（1，0）且 ( ) ( ) 2 2 PA = + + − = 1 1 0 2 2 2 。 解法二：由已知得，线段 AB 的中点为 1 2 ２＋ ７ Ｍ ， ２ ，直线 AB 的斜率为 k= ( ) ( ) 1 • 2 ７－２２＋ ７ ３ ２ ２ ＝ ｘ－ ＰＡ＝ １＋２ ＋０－２ ＝２２ ３ ２ ２－ ７ ７－２ ３ 线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- 1 • 2 ２＋ ７ ３ ＝ ｘ－ ２ ２－ ７ 在上述式子中，令 y=0，解得 x=1。 所以所求点 P 的坐标为（1，0）。因此 ( ) ( ) ２ ２ ＰＡ＝ １＋２ ＋０－２ ＝２２ 例 4 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数 运算“翻译”成几何关系。数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问 题的基本步骤。 证明： 以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０， ０）。 设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ）， 因为 2 2 2 2 2 2 2 2 AB a CD a AD b c BC = = = + = ， ， ( ) 2 AC a b = + ２ ＋ｃ２， ( ) ＢＤ ２ ＝ｂ－ａ ２＋ｃ２ 所以， ( ) ＡＢ ２＋ＣＤ ２＋ＡＤ ２＋ＢＣ ２ ＝２ａ２＋ｂ２＋ｃ２ ( ) ＡＣ ２＋ＢＤ ２ ＝２ａ２＋ｂ２＋ｃ２ 所以， ２ ２ ２ ２ ２ ２ ＡＢ ＋ＣＤ ＋ＡＤ ＋ＢＣ ＝ＡＣ ＋ＢＤ 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和
上述解决问题的基本步骤可以归纳如下: 第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。 第二步:进行有关代数运算。 第三步;把代数结果“翻译”成几何关系 3.点到直线距高公式 在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线=0或B=0时,以上 公式l:Ax+By+C=0,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线/的距离呢? 设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由 y PQ⊥l可知,直线PQ的斜率为(A0),根据点R xo. yo) 斜式写出直线PQ的方程,并由与PQ的方程求出点 Q的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到 点P到直线l的距离为d 此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 方案二:设A≠0,B≠0,这时/与x轴、y轴都相交,过点P作x轴的平行线,交/于点 R(x1,y);作y轴的平行线,交/于点S(x0,y2) 由1+的+C=0 Ax+的y,+得、Bv0-C Axo -C 所以,1PR|=|x-/~4x。+B+C A Byo +c I PS I= 1-21={4x B RS=√PR2+Ps2_V42+B2 |Ax0+Bo+C|由三角形面积公式可知 d·|Rs|=|PR|·|PsS 所以d=4x0+B+C √A2+B2 可证明,当A=0时仍适用 得到: 10/13
10 / 13 上述解决问题的基本步骤可以归纳如下： 第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。 第二步：进行有关代数运算。 第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。 3. 点到直线距离公式 在平面直角坐标系中，如果已知某点 P 的坐标为 ( , ) 0 0 x y ，直线＝0 或 B＝0 时，以上 公式 l : Ax + By + C = 0 ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢? 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ，垂足为 Q，由 PQ⊥ l 可知，直线 PQ 的斜率为 A B （A≠0），根据点 斜式写出直线 PQ 的方程，并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到 点 P 到直线 l 的距离为 d 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 方案二：设 A≠0，B≠0，这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交，过点 P 作 x 轴的平行线，交 l 于点 ( , ) 1 0 R x y ；作 y 轴的平行线，交 l 于点 ( , ) 0 2 S x y ， 由 + + = + + = 0 0 0 2 1 1 0 Ax By C A x By C 得 B Ax C y A By C x − − = − − = 0 2 0 1 , . 所以，｜PＲ｜＝｜ 0 1 x − x ｜＝ A Ax0 + By 0 + C ｜PS｜＝｜ 0 2 y − y ｜＝ B Ax0 + By 0 + C ｜ＲS｜＝ AB A B PR PS 2 2 2 2 + + = ×｜ Ax0 + By0 +C ｜由三角形面积公式可知： d ·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜ 所以 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = 可证明，当 A=0 时仍适用 得到： o x y l d Q S R P(x0 ,y0 )