空间点、直线、平面之间的位置关系 、知识要点 1.平面的基本性质: 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 A∈l,B∈l,且A∈a,B∈a→lca 公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 ∈a∩月→a∩=l,且P∈ 2空间中直线与直线之间的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种 共面直线 ∫相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。 如图:AB与BC相交于B点,AB与AB平行,AB与BC异面
空间点、直线、平面之间的位置关系 一、知识要点： 1.平面的基本性质： 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理 2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 2.空间中直线与直线之间的位置关系： 空间两条直线的位置关系有且只有三种： 如图：AB 与 BC 相交于 B 点，AB 与 A′B′平行，AB 与 B′C′异面
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 3空间中直线与平面之间的位置关系: (1)直线在平面内无数个公共点 (2)直线与平面相交有且只有一个公共点 (3)直线与平面平行没有公共点 其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 衰示为:c 题∥ 注意,我们不提倡如下画法 4.平面与平面之间的位置关系: (1)两个平面平行 有公共点 (2)两个平面相交…有一条公共直线
公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 3.空间中直线与平面之间的位置关系： （1）直线在平面内……有无数个公共点； （2）直线与平面相交……有且只有一个公共点； （3）直线与平面平行……没有公共点。 其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。 注意，我们不提倡如下画法． 4.平面与平面之间的位置关系： （1）两个平面平行……没有公共点； （2）两个平面相交……有一条公共直线
例题讲解: 例1、根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系 b 图1可以用几何符号表示为 图2可以用几何符号表示为 分析:本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面 直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出 解:图1可以用几何符号表示为:a∩B=AB,aca,bcB,a∥AB,b∥AB 即:平面2与平面力相交于直线AB,直线a在平面内,直线b在平面内,直线a平 行于直线AB,直线b平行于直线AB 图2可以用几何符号表示为:a∩P=MN △ABC的三个顶点满足条件 A∈M,B∈a,C∈月,B≠M,CMN 即:平面C与平面相交于直线MN,△ABC的顶点A在直线MN上,点B在内但不 在直线MN上,点C在平面内但不在直线MN上 例2、观察下面的三个图形,说出它们有何异同
二、例题讲解： 例 1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系． 图 1 可以用几何符号表示为：___________________________________________． 图 2 可以用几何符号表示为：___________________________________________． 分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、 直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出． 解：图 1 可以用几何符号表示为： 即：平面 与平面 相交于直线 AB，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，直线 a 平 行于直线 AB，直线 b 平行于直线 AB． 图 2 可以用 几 何 符 号 表 示 为 ： ， △ ABC 的 三 个 顶 点 满 足 条 件 即：平面 与平面 相交于直线 MN，△ABC 的顶点 A 在直线 MN 上，点 B 在 内但不 在直线 MN 上，点 C 在平面 内但不在直线 MN 上． 例 2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同．
图1 图2 分析:图1既可能是平面图形,也可能是一个空间图形的直观图:图2、图3均用了一条直 线衬托,它们都是空间图形的直观图 解:图1可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图:图2是MN凸在外面的一个空间 图形的直观图:图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图 点评:(1)本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法.而 这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习 (2)与本题类似的其它变形还有 用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱,完成图形 图4 图5 例3、正方体 ABCD-AIB1C1D1中 (1)DD1和A1B1的位置关系如何? D1B和AC的位置关系如何? A1C和DB的位置关系如何? (2)和AD成异面直线的棱所在直线有几条? (3)和BD1成异面直线的棱所在直线有几条? (4)六个面的正方形对角线共12条,这些对角线所在直线中,异面直线共有多少对?
分析：图 1 既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图 2、图 3 均用了一条直 线衬托，它们都是空间图形的直观图． 解：图 1 可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图 2 是 MN 凸在外面的一个空间 图形的直观图；图 3 是 MN 凹在里面的一个空间图形的直观图． 点评：（1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法．而 这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习． （2）与本题类似的其它变形还有： 用虚线画出图 4 正方体和图 5 三棱锥中被遮挡的棱，完成图形． 例 3、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， （1）DD1 和 A1B1 的位置关系如何？ D1B 和 AC 的位置关系如何？ A1C 和 D1B 的位置关系如何？ （2）和 AD 成异面直线的棱所在直线有几条？ （3）和 BD1 成异面直线的棱所在直线有几条？ （4）六个面的正方形对角线共 12 条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？
解析:我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种,判断的依据是看两条直线是共面还 是异面及是否有公共点 (1)异面直线:异面直线:相交直线 (2)4条.分别是A1B1、B1B、C1D1、C1C (3)6条.分别是AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD (4)30对 例4、已知:如图,立体图形A_BCD的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD和△BCD, F、G分别为线段AB、AC、AD上的点,EF∥BC,FG∥CD 求证:△EFG∽△BCD AE AF 证明:∵在平面ABC中,EF∥BC, EB=FC AF AG 又在平面ACD中,FG∥CD, FC_GD AE AG ∴EB=GD EG∥BD ∠EFG=∠BCD. 同理∠FGE=∠CDB, ∴△EFG∽△BCD
解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还 是异面及是否有公共点。 （1）异面直线；异面直线；相交直线； （2）4 条．分别是 A1B1、B1B、C1D1、C1C； （3）6 条．分别是 AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD； （4）30 对。 例 4、已知：如图，立体图形 A—BCD 的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD 和△BCD ， E、F、G 分别为线段 AB、AC、AD 上的点，EF∥BC，FG∥CD． 求证：△EFG∽△BCD． 证明：∵在平面 ABC 中，EF∥BC ，∴ ＝ ． 又在平面 ACD 中，FG∥CD， ∴ = ． ∴ = ． ∴ EG∥BD． ∴ ∠EFG =∠BCD． 同理∠FGE =∠CDB， ∴ △EFG∽△BCD．
与本例类似变形还有 已知:将一张长方形的纸片ABCD对折一次,EF为折痕再打开竖直在桌面上,如图所 连结AD、BC 求证:ADBC,∠ADE=∠BCF.(证明略) 1.下列图形中,满足e∩=AB,aCa,bca∥AB,b∥AB的图形是() (B) 2.已知A、B表示点,b表示直线,a、卩表示平面,下列命题和表示方法都正确的是() Aca,BCa,ABca(B)A∈a,A∈鳳,a∩B=A (C)∵bca,Aeb,A∈a AE b, b A 3.用符号表示“若A、B是平面C内的两点,C是直线AB上的点,则C必在区内”,即是 4.“a,b为异面直线”是指:
与本例类似变形还有： 已知：将一张长方形的纸片 ABCD 对折一次，EF 为折痕再打开竖直在桌面上，如图所示， 连结 AD、BC． 求证：AD BC，∠ADE＝∠BCF．（证明略） 三、练习： 1．下列图形中，满足 的图形是（ ）． （A） （B） （C） （D） 2．已知 A、B 表示点，b 表示直线， 、 表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（ ）． （A） （B） （C） （D） 3．用符号表示“若 A、B 是平面 内的两点，C 是直线 AB 上的点，则 C 必在 内”，即是 ________________． 4．“a，b 为异面直线”是指：
(1)a∩b=且a不平行于b (2)ac,bcB,ga∩b=p (3)aca,bcB,且a∩B=9 (4)aCa, bc (5)不存在平面a,使aCa且bCa成立 上述结论中,正确的是 (A)(1)(4)(5) (B)(1)(3)(4) (C)(2)(4) (D)(1)(5) 5.一条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置关系是() A)平行或异面 (B)异面C)相交 (D)相交或异面 6.如图,空间四边形ABCD中,M、N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=m,则 N 7如图,是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AF、BC、DE这三条线段 所在直线是异面直线的是 ,它们所成的角为 C 四、练习谷案
（1） 且 a 不平行于 b； （2） 且 ； （3） 且 ； （4） ； （5）不存在平面 ，使 且 成立． 上述结论中，正确的是（ ）． （A）（1）（4）（5） （B）（1）（3）（4） （C）（2）（4） （D）（1）（5） 5．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）． （A）平行或异面 （B）异面 （C）相交 （D）相交或异面 6．如图，空间四边形 ABCD 中，M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若 BD＝m，则 MN ＝__________． 7.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么 AF、BC、DE 这三条线段 所在直线是异面直线的是__________，它们所成的角为________度。 四、练习答案：
1.提示:根据平面的无限延展性及平面画法来判断 答案:(C) 2.提示:根据点与平面应用“∈”￠”连接排除A:根据公理两个平面相交为一条直线,排除 B:再跟据图形可排除D,因为A有可能在平面上 答案:(C) 3.提示:熟悉点与线,点与平面的关系,正确使用“∈”、“C”等符号 答案:A∈a,B∈a,CeAB→C∈a 4.提示:根据异面直线定义“不同在任何一个平面内,没有公共点的两条直线叫异面直线”, 结合图形可排除(2)、(3)、(4).(∵(2)中可能有a∥b,(3)中可能有a∥b,(4) 可能有a与b相交或平行,)(5)是正确的,再由直线位置关系可得(1)也是正确的 答案:(D) 5.提示:由公理可排除(A),再结合图形可利用平移方法验证 答案:(D) 6.提示:重心是三条中线的交点,并分每条中线的比为2:3.连结AM并延长交BC于E 连结AN并延长交CD于F,再连结MN、EF,根据三角形重心性质得BE=EC,CF=FD MN ∠ MN∠3BD∴MN=3m 答案:3 7解析:展开图还原成正方体如图所示(C点与D点重合),成异面直线的是AF与BC(或 BD),AF与BC所成角即为CE与BC所成角,为60度
1. 提示: 根据平面的无限延展性及平面画法来判断． 答案:（C）． 2. 提示：根据点与平面应用“ ”“ ”连接排除 A；根据公理两个平面相交为一条直线，排除 B；再跟据图形可排除 D，因为 A 有可能在平面上． 答案：（C）． 3. 提示: 熟悉点与线，点与平面的关系，正确使用“ ”、“ ”等符号． 答案: . 4. 提示：根据异面直线定义“不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线叫异面直线”， 结合图形可排除（2）、（3）、（4）．（∵（2）中可能有 a∥b，（3）中可能有 a∥b，（4） 可能有 a 与 b 相交或平行．）（5）是正确的，再由直线位置关系可得（1）也是正确的． 答案：（D）． 5. 提示：由公理可排除（A），再结合图形可利用平移方法验证． 答案：（D）． 6. 提示：重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为 2∶3．连结 AM 并延长交 BC 于 E， 连结 AN 并延长交 CD 于 F，再连结 MN、EF，根据三角形重心性质得 BE ＝EC，CF＝FD． ∴ MN EF，EF BD． ∴ MN BD ∴ MN ＝ m． 答案： m． 7.解析：展开图还原成正方体如图所示（C 点与 D 点重合），成异面直线的是 AF 与 BC（或 BD)，AF 与 BC 所成角即为 CE 与 BC 所成角，为 60 度
C①D)