第二章点、直线、平面之间的位 置关系
第 二 章点、直线、平面之间的位 置关系
知能整合提升
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1.线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种 两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况 1证明线线平行的方法 ①线线平行的定义; ②公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行; 8线面平行的性质定理:a∥a,nC,anp=b=a∥b; ④线面垂直的性质定理:a⊥a,b⊥a→a∥b. ⑤面面平行的性质定理:a∥,a=a,rb∥b
1．线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种． 两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况． (1)证明线线平行的方法 ①线线平行的定义； ②公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； ④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. ⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
(2)证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义:两条直线所成的角是直角,在研究异面直线所成的角 时,要通过平移把异面直线转化为相交直线; ②线面垂直的性质结论:a⊥a,bCa=a⊥b; ③线面垂直的性质结论:a⊥a,b∥a→a⊥b
(2)证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角 时，要通过平移把异面直线转化为相交直线； ②线面垂直的性质结论：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； ③线面垂直的性质结论：a⊥α，b∥α⇒a⊥b
2.线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种 (1证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义; ②线面平行的判定定理:ca,bCa,a∥b=a/∥a; ③面面平行的性质:a∥,aCaa∥
2．线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种． (1)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义； ②线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； ③面面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β
(2)证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义; m,nCa,m∩n=A ②线面垂直的判定定理 ③平行线垂直平面的传递性:a∥b,a⊥a=b⊥a; ④面面平行的性质结论:a∥B,a⊥a→a⊥/; ⑤面面垂直的性质定理:a⊥,an=b,aCa,a⊥⊥B
(2)证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定定理： m，n⊂α，m∩n＝A l⊥m，l⊥n ⇒l⊥α； ③平行线垂直平面的传递性：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质结论：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
3.面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种 (1证明面面平行的方法 ①面面平行的定义; ②面面平行的判定定理:a∥B,b∥B,aca,bCa,anb=A→a∥/ ③线面垂直的性质结论:垂直于同一条直线的两个平面平行,即a⊥a,a a∥G; ④公理4的推广:平行于同一平面的两个平面平行,即a∥,B∥r=a∥
3．面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种． (1)证明面面平行的方法 ①面面平行的定义； ②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β； ③线面垂直的性质结论：垂直于同一条直线的两个平面平行，即 a⊥α，a ⊥β⇒α∥β； ④公理 4 的推广：平行于同一平面的两个平面平行，即 α∥γ，β∥γ⇒α∥β
(2证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义:两个平面相交所成的二面角是直二面角; ②面面垂直的判定定理:a⊥,aca2a⊥R
(2)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β
4.平行关系与垂直关系的转化 性质4个判定、面平行 判定 线线平行 性质 线垂直判定、线面垂直判定、面垂直 性质 性质 解题时需把握原则:由已知想性质,由求证想判定.并注意适当添加辅助 线(或辅助面)实现转化
4．平行关系与垂直关系的转化 解题时需把握原则：由已知想性质，由求证想判定．并注意适当添加辅助 线(或辅助面)实现转化．
5.空间角的计算问题 (1)异面直线所成的角:通过作其中一条直线的平行线,转化为相交直线所 成的角,范围是(0,90 (2)直线与平面所成的角:依据线面垂直,确定斜线在平面上的射影,则斜 线与射影所成的角即为所求,范围是卩0,909 3)二面角:过两平面的交线上一点分别在两个平面内确定垂直于交线的直 线,二者的夹角即为二面角的平面角,范围是卩0,18° 空间角的计算步骤:一作、二证、三计算
5．空间角的计算问题 (1)异面直线所成的角：通过作其中一条直线的平行线，转化为相交直线所 成的角，范围是(0°，90°]． (2)直线与平面所成的角：依据线面垂直，确定斜线在平面上的射影，则斜 线与射影所成的角即为所求，范围是[0°，90°]． (3)二面角：过两平面的交线上一点分别在两个平面内确定垂直于交线的直 线，二者的夹角即为二面角的平面角，范围是[0°，180°]． 空间角的计算步骤：一作、二证、三计算．