立体几何直线与平面平行的判定与性质 知识梳理 直线与平面平行的判定与性质 性质 定义 定理 图形 条件 =|a∈a,ba,a∥b b 结论 a∥a b∥a a∥b 注意 1.证明线面平行是高考中常见的问题,常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平 行.但一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平面内 2.在判定和证明直线与平面的位置关系时,除熟练运用判定定理和性质定理外,切不可丢弃 定义,因为定义既可作判定定理使用,亦可作性质定理使用 3.辅助线面是解(证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理,往往 需要作辅助线 例题分析 1.已知不重合的直线a,b和平面a, ①若a∥a,bCa,则a∥b;②若a∥a,b∥a,则a∥b;③若a∥b,bCa,则a∥ ④若a∥b,a∥a,则b∥a或bca 上面命题中正确的是 (填序号) 2.若直线l不平行于平面a,且a,则 A.a内的所有直线与l异面 B.a内不存在与l平行的直线 C.a内存在唯一的直线与l平行D.a内的直线与l都相交 31方形60D与方形10所在平面相交4B,在4、B上各有点B、0.且人g AP=DQ求证:PQ∥平面BCE 提示:判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义(无公共点:(2利用线面平行的 判定定理(aa,bca,ab→训l;(3利用面面平行的性质定理(aB,aCa→a月;4)利用面面 平行的性质(aB,aB,aa→a月
1 立体几何 直线与平面平行的判定与性质 一、知识梳理 1． 直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β ＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 注意： 1．证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平 行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内． 2．在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃 定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用． 3．辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往 需要作辅助线 二、例题分析 1． 已知不重合的直线 a，b 和平面 α， ①若 a∥α，b⊂α，则 a∥b；②若 a∥α，b∥α，则 a∥b；③若 a∥b，b⊂α，则 a∥α； ④若 a∥b，a∥α，则 b∥α 或 b⊂α. 上面命题中正确的是________(填序号)． 2．若直线 l 不平行于平面 α，且 l⊄α，则 ( ) A．α 内的所有直线与 l 异面 B．α 内不存在与 l 平行的直线 C．α 内存在唯一的直线与 l 平行 D．α 内的直线与 l 都相交 3.正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE、BD 上各有一点 P、Q，且 AP＝DQ.求证：PQ∥平面 BCE. 提示：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的 判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面 平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
4.已知:直线a∥平面a,直线a∥平面B,a∩B=b 求证:a∥b 课堂练习 1.下列命题正确的是 A一直线与平面平行,则它与平面内任一直线平行 B一直线与平面平行,则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C一直线与平面平行,则平面内有无数直线与已知直线平行,它们在平面内彼此平行 D一直线与平面平行,则平面内任意直线都与已知直线异面 2.若直线1与平面a的一条平行线平行,则1和a的位置关系是 A ca Clca或l∥a Dl和a相交 3.若直线a在平面a内,直线a,b是异面直线,则直线b和a平面的位置关系是 A.相交 B。平行 C。相交或平行 相交且垂直 4.下列各命题 (1)经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线 (2)若一条直线平行于两相交平面,则这条直线和交线平行 (3)空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 其中假命题的个数为 A O c 2 D 5.若直线上有两点P、Q到平面a的距离相等,则直线1与平面a的位置关系是() A平行 B相交 C平行或相交 D或平行、或相交、或在内 6.a,b为两异面直线,下列结论正确的是 A过不在a,b上的任何一点,可作一个平面与a,b都平行 B过不在a,b上的任一点,可作一直线与a,b都相交 C过不在a,b上任一点,可作一直线与a,b都平行 D过a可以并且只可以作一个平面与b平行 7.判断下列命题是否正确 (1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 (2)若直线lda,则1不可能与a内无数条直线相交 (3)若直线1与平面a不平行,则1与a内任一直线都不平行 (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 (5)若平面a内有一条直线和直线1异面,则lga 8.过直线外一点和这条直线平行的平面有 9.直线a//b,a//平面a,则b与平面a的位置关系是 10.A、B两点到平面a的距离分别是3、5,M是的AB中点,则M到平面a的距离是 11.三棱柱ABC一A1B1C1中,若D为BB1上一点,M为AB的中点,N为BC的 中点 求证:MN∥平面A1C1D BI A N C
2 4. 已知：直线 a∥平面 α，直线 a∥平面 β，α∩β＝b. 求证：a∥b. 三、课堂练习 1．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 2．若直线 l 与平面α的一条平行线平行，则 l 和α的位置关系是 ( ) A l B l // C l 或l // D l和相交 3．若直线 a 在平面α内，直线 a,b 是异面直线，则直线 b 和α平面的位置关系是 ( ) A．相交 B。平行 C。相交或平行 D。相交且垂直 4．下列各命题： （1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行； （3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 其中假命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 5．若直线上有两点 P、Q 到平面α的距离相等，则直线 l 与平面α的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 6．a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) A 过不在 a,b 上的任何一点，可作一个平面与 a,b 都平行 B 过不在 a,b 上的任一点，可作一直线与 a,b 都相交 C 过不在 a,b 上任一点，可作一直线与 a,b 都平行 D 过 a 可以并且只可以作一个平面与 b 平行 7．判断下列命题是否正确： (1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( ) (2)若直线 l ，则 l 不可能与α内无数条直线相交 ( ) (3)若直线 l 与平面α不平行，则 l 与α内任一直线都不平行 ( ) (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( ) (5)若平面α内有一条直线和直线 l 异面，则 l ( ) 8．过直线外一点和这条直线平行的平面有 个。 9．直线 a//b，a//平面α，则 b 与平面α的位置关系是 。 10．A、B 两点到平面α的距离分别是 3、5，M 是的 AB 中点，则 M 到平面α的距离是 。 11. 三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若 D 为 BB1 上一点， M 为 AB 的中点，N 为 BC 的 中点. 求证：MN∥平面 A1C1D； y c y
12、如图,在底面为平行四边形的四棱锥P一ABCD中,点E是PD的中点 求证:PB∥平面AEC; 13.四棱锥P一ABCD中,底面ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点 求证:MN∥平面PAD 已知ABC-A1BC是底面是正三角形的棱柱, D是AC的中点,求证:AB1∥平面DBC1 四、课后练习 1.在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别是AB,PC的中点 求证:MN∥平面PAD;
3 A1 B B 1 A C1 C D 12、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中，点 E 是 PD 的中点. 求证：PB//平面 AEC； 13．四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，M、N 分别是 AB、PC 的中点， 求证：MN∥平面 PAD； 14. 四、课后练习 1．在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，M，N 分别是 AB，PC 的中点． 求证：MN∥平面 PAD； A B D C E P P A B C D M N 1 1 1 1 1 // . ABC A B C D AC AB DBC 已知 － 是底面是正三角形的棱柱， 是 的中点，求证： 平面
2、如图,在三棱柱ABC一A1BC1中,D是AC的中点。 求证:AB∥平面DBC1 3.正四棱锥S-ABCD中,E是侧棱SC 的中点求证:直线SA∥平面BDE 4.已知四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点 求证:AF∥平面PEC 5.在三棱柱ABC-ABC中,D为BC中点.求 证:AB∥平面ADC1 1B1 A
4 A B D C E F P 2、如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中， D 是 AC 的中点。 求证：AB1//平面 DBC1 3．正四棱锥 S ABCD − 中， E 是侧棱 SC 的中点.求证：直线 SA // 平面 BDE 4. 已知四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，E、F 分别是 AB、PD 的中点． 求证：AF//平面 PEC 5.在三棱柱 ABC A B C − 1 1 1 中， D 为 BC 中点.求 证： 1 AB// 平面 ADC1 ； B1 B C1 A C A1 D A S D C B E A B C D C1 A1 B1
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