直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理;2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的垂直关系的筒单命题 知识衍化体验 回顾教材,夯实基础 知识梳理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面a内的任意直线都垂直,就说直线1与平面a互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 条直线与一个平面内的 ⊥b a∩b=0>→1 判定定理西条相交直线都垂直,则 ac a 该直线与此平面垂直 bc a ⊥ 两直线垂直于同一个平 性质定理 a⊥a →a∥b 面,那么这两条直线平行 2.直线和平面所成的角 (1)定义:一条斜线和它在平面上的射影所成的蜕角叫做这条直线和这个平面所 成的角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行 或在平面内,则它们所成的角是0°的角 (2)圈:|0, 3.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;
直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的垂直关系的简单命题. 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 α 内的任意直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直 l⊥a l⊥b a∩b＝O a⊂α b⊂α ⇒l ⊥α 性质定理 两直线垂直于同一个平 面，那么这两条直线平行 a⊥α b⊥α ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所 成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行 或在平面内，则它们所成的角是 0°的角. (2)范围： 0， π 2 . 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面 内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 3)二面角的范围:[0,π] 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定/个平面经过另一个平面的 一条垂线,则这两个平面互相 →a⊥B 定理 1c B 垂直 a⊥B 如果两个平面互相垂直,则在 性质 a∩B=a 个平面内垂直于它们交线 ⊥a 定 的直线垂直于另一个平面 l∈B ⊥ [微点提醒] 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面 (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明 线线垂直的一个重要方法) 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果一条直线垂 直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面” 基础自测 疑误辨析 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线1与平面a内的无数条直线都垂直,则l⊥a.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行.() (3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平 面.()
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 一个平面经过另一个平面的 一条垂线，则这两个平面互相 垂直 l⊥α l⊂β ⇒α⊥β 性质 定理 如果两个平面互相垂直，则在 一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面 α⊥β α∩β＝a l⊥a l⊂β ⇒l ⊥α [微点提醒] 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明 线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂 直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若 两平 面垂 直，则 其中 一个 平面 内的 任意 一条 直线 垂直 于另 一个平 面.( )
(4)若平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线,则a⊥B.( 解析(1)直线l与平面a内的无数条直线都垂直,则有l⊥a或l与a斜交 或lca或∥a,故(1)错误 (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,故(2)错误 (3)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面,也可能与 另一平面平行,也可能与另一平面相交,也可能在另一平面内,故(3)错误 (4)若平面a内的一条直线垂直于平面B内的所有直线,则a⊥B,故(4)错 误 答案(1)×(2)×(3)×(4)× 教材衍化、 2.(必修2P66练习改编)巳知直线a,b和平面a,且a⊥b,a⊥a,则b与a 的位置关系为() A. bc a B.b∥a C.bca或b∥a D.b与a相交 答案C 3.(必修2P67练习2改编)已知P为△ABC所在平面外一点,且BA,PB,PC两两 垂直,有下列结论:①A⊥BC②PB⊥AG③P⊥AB1④AB⊥BC其中正确的是 A.①②③ B.①②④ C②③④ ①②⑧④ 解析如图,因为P⊥B,P⊥R,B∩PC=P,且R平面PBC,PC平面 PBC,所以BA⊥平面PBC又B平面PBC,所以PA⊥BC,同理可得PB⊥AC PC⊥AB,故①②③正确 答案A 考题体验 4.(2019·安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线,a和B是两个不 重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥B的是()
(4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线，则 α⊥β.( ) 解析 (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则有 l⊥α 或 l 与 α 斜交 或 l⊂α或 l∥α，故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误. (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与 另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误. (4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的所有直线，则 α⊥β，故(4)错 误. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修 2P66 练习改编)已知直线 a，b 和平面 α，且 a⊥b，a⊥α，则 b 与 α 的位置关系为( ) A.b⊂α B.b∥α C.b⊂α或 b∥α D.b 与 α 相交 答案 C 3.(必修 2P67 练习 2 改编)已知 P 为△ABC 所在平面外一点，且 PA，PB，PC 两两 垂直，有下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 解析 如图，因为 PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且 PB⊂平面 PBC，PC⊂平面 PBC，所以 PA⊥平面 PBC.又 BC⊂平面 PBC，所以 PA⊥BC，同理可得 PB⊥AC， PC⊥AB，故①②③正确. 答案 A 4.(2019·安徽江南十校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线，α 和 β 是两个不 重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是( )
A.a⊥B且ma B.m⊥n且n∥B C.m∥n且n⊥B D.m⊥n且a∥B 解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C正确 答案C 5.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体 ABCD-ABCD中,E为棱CD的中点,则() A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.AE⊥BC D.A1E⊥AC 解析如图,由题设知,AB⊥平面BCGB1且BGC平面BCGB,从而AB⊥BC 又BC⊥B,且AB∩BC=B,所以BC⊥平面ABCD,又AB平面ABCD,所以 A1E⊥BC. 答案C 6.(2018·安阳二模)已知a,b表示两条不同的直线,a,B表示两个不同的平 面,下列说法错误的是 A.若a⊥a,b⊥B,a∥B,则a∥b B.若a⊥a,b⊥B,a⊥b,则a⊥B C.若a⊥a,a⊥b,a∥B,则b∥B D.若a∩B=a,a∥b,则b∥a或b∥B 解析对于A,若a⊥a,a∥B,则a⊥B,又b⊥β,故a∥b,故A正确; 对于B,若a⊥a,a⊥b,则ba或b∥a,∴存在直线mCa,使得m∥b, 又b⊥B,∴m⊥B,∴a⊥B.故B正确; 对于C,若a⊥a,a⊥b,则ba或b∥a,又a∥日,所以bCB或b∥B,故 C错误; 对于D,若α∩B=a,a∥b,则b∥a或b∥B,故D正确 答案C 考点聚焦突破 分类讲练,以例求法 考点一线面垂直的判定与性质
A.α⊥β 且 m⊂α B.m⊥n 且 n∥β C.m∥n 且 n⊥β D.m⊥n 且 α∥β 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确. 答案 C 5.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( ) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 解析 如图，由题设知，A1B1⊥平面 BCC1B1且 BC1⊂平面 BCC1B1，从而 A1B1⊥BC1. 又 B1C⊥BC1，且 A1B1∩B1C＝B1，所以 BC1⊥平面 A1B1CD，又 A1E⊂平面 A1B1CD，所以 A1 E⊥BC1. 答案 C 6.(2018·安阳二模)已知 a，b 表示两条不同的直线，α，β 表示两个不同的平 面，下列说法错误的是( ) A.若 a⊥α，b⊥β，α∥β，则 a∥b B.若 a⊥α，b⊥β，a⊥b，则 α⊥β C.若 a⊥α，a⊥b，α∥β，则 b∥β D.若 α∩β＝a，a∥b，则 b∥α 或 b∥β 解析 对于 A，若 a⊥α，α∥β，则 a⊥β，又 b⊥β，故 a∥b，故 A 正确； 对于 B，若 a⊥α，a⊥b，则 b⊂α或 b∥α，∴存在直线 m⊂α，使得 m∥b， 又 b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故 B 正确； 对于 C，若 a⊥α，a⊥b，则 b⊂α或 b∥α，又 α∥β，所以 b⊂β或 b∥β，故 C 错误； 对于 D，若 α∩β＝a，a∥b，则 b∥α 或 b∥β，故 D 正确. 答案 C 考点一 线面垂直的判定与性质
【例1】(2018·全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥P一ABC中,AB=BC=2V2,P=PB =PC=AC=4,0为AC的中点 (1)证明:PO⊥平面ABC (2)若点M在棱BC上,且M=2MB,求点C到平面POM的距离 (1)证明因为AP=CP=AC=4,0为AC的中点, 所以OP⊥AC,且0P=2√3 连接OB因为AB=BC=2AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且B⊥AC,oB AC-2 由0P2+0B=P知,OP⊥0B 由OP⊥0B,0P⊥AC且OB∩AC=0,知P⊥平面ABC (2)解作CH⊥OM,垂足为H 又由(1)可得OP⊥C,所以CH⊥平面PDM 故CH的长为点C到平面POM的距离 由题设可知0C=2C=2,CM=。BC= 33,∠ACB=45° 所以o25,H ·MC·sin∠ACB 所以点C到平面POM的距离为 5 规律方法1.证明直线和平面垂直的常用方法有 (1)判定定理;(2)垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥a→b⊥a);(3)面面平行的
【例 1】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB＝BC＝2 2，PA＝PB ＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点. (1)证明：PO⊥平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC＝2MB，求点 C 到平面 POM 的距离. (1)证明 因为 AP＝CP＝AC＝4，O 为 AC 的中点， 所以 OP⊥AC，且 OP＝2 3. 连接 OB.因为 AB＝BC＝ 2 2 AC，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB＝ 1 2 AC＝2. 由 OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP⊥OB. 由 OP⊥OB，OP⊥AC 且 OB∩AC＝O，知 PO⊥平面 ABC. (2)解 作 CH⊥OM，垂足为 H. 又由(1)可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离. 由题设可知 OC＝ 1 2 AC＝2，CM＝ 2 3 BC＝ 4 2 3 ，∠ACB＝45°. 所以 OM＝ 2 5 3 ，CH＝ OC·MC·sin∠ACB OM ＝ 4 5 5 . 所以点 C 到平面 POM 的距离为4 5 5 . 规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的
性质(a⊥a,a∥B→a⊥B);(4面面垂直的性质(a⊥B,a∩B=a, B→l⊥a) 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性 质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 训练1】(2019·南宁二中、柳州高中联考)如图,三棱柱ABC一ABG中,已 知AB⊥侧面BBGC,AB=BC=1,BB1=2,∠BC=60 (1)求证:BC1⊥平面ABG 2)E是棱CG上的一点,若三棱锥EABC的体积为,求线段CE的长 (1)证明:AB⊥平面BCC,BCc平面BBCC, AB⊥BC, 在△CBG中,BC=1,CG=BB=2,∠BCG=60° 由余弦定理得B=BC+0-2BC·CG·cos∠BCG=12+22-2×1×2cos60° 3,∴B=3, ∴BC+B=C,∴BC⊥BC, 又AB,B平面ABC, BCn AB=B,∴BC⊥平面ABC (2)解∵AB⊥平面BBCC,∴VA=MB=5S△B·AB==△B·1 12 4=2 CE.BC. sin∠BCE=2C ∴CE=1 考点二面面垂直的判定与性质 【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥ 底面ABCD,PA⊥AD,B和F分别是CD和PC的中点,求证:
性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a， l⊥a，l⊂β⇒l⊥α). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性 质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 【训练 1】 (2019·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已 知 AB⊥侧面 BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°. (1)求证：BC1⊥平面 ABC； (2)E 是棱 CC1上的一点，若三棱锥 E－ABC 的体积为 3 12 ，求线段 CE 的长. (1)证明 ∵AB⊥平面 BB1C1C，BC1⊂平面 BB1C1C， ∴AB⊥BC1， 在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°， 由余弦定理得 BC 2 1＝BC 2＋CC 2 1－2BC·CC1·cos∠BCC1＝1 2＋2 2－2×1×2cos 60°＝ 3，∴BC1＝ 3， ∴BC 2＋BC 2 1＝CC 2 1，∴BC⊥BC1， 又 AB，BC⊂平面 ABC，BC∩AB＝B，∴BC1⊥平面 ABC. (2)解 ∵AB⊥平面 BB1C1C，∴VE－ABC＝VA－EBC＝ 1 3 S△BCE·AB＝ 1 3 S△BCE·1＝ 3 12 ， ∴S△BCE＝ 3 4 ＝ 1 2 CE·BC·sin∠BCE＝ 1 2 CE· 3 2 ， ∴CE＝1. 考点二 面面垂直的判定与性质 【例 2】 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥ 底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：
(1)P⊥底面ABCD 2)B∥平面PAD (3)平面BEF⊥平面PCD 证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD 且PA垂直于这两个平面的交线AD,Pc平面PAD, ∴PA⊥底面ABCD (2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点 ∴AB∥D,且AB=DE 四边形ABED为平行四边形 ∴BE∥AD 又∵B平面PAD,AD平面PAD, ∴B∥平面PAD (3)∵AB⊥AD,而且ABED为平行四边形 ∴BE⊥D,AD⊥C, 由(1)知PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD PA⊥CD,且PA∩AD=A,PA,AD平面PAD ∴CD⊥平面PAD,又PD平面PAD ∴CD⊥PD ∵E和F分别是CD和PC的中点, ∴PD∥EF ∴CD⊥B,又B⊥mD且Bm∩BE=E, ∴CD⊥平面BEF,又CDC平面PCD, ∴平面BEF⊥平面PC 规律方法1.证明平面和平面垂直的方法:(1)面面垂直的定义;(2)面面垂直 的判定定理 2.已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂
(1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 证明 (1)∵平面 PAD⊥底面 ABCD， 且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA⊂平面 PAD， ∴PA⊥底面 ABCD. (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点， ∴AB∥DE，且 AB＝DE. ∴四边形 ABED 为平行四边形. ∴BE∥AD. 又∵BE⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴BE∥平面 PAD. (3)∵AB⊥AD，而且 ABED 为平行四边形. ∴BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知 PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD，且 PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD， ∴CD⊥平面 PAD，又 PD⊂平面 PAD， ∴CD⊥PD. ∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， ∴PD∥EF. ∴CD⊥EF，又 BE⊥CD 且 EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面 BEF，又 CD⊂平面 PCD， ∴平面 BEF⊥平面 PCD. 规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直 的判定定理. 2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂
线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直 【训练2】(2019·泸州模拟)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是梯形, AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=AB,侧面SAD⊥底面ABCD 2 (1)求证:平面SBD⊥平面SAD (2)若∠DM=120°,且三棱锥SBCD的体积为12,求侧面△SB的面积 (1)证明设BC=a,则CD=a,AB=2a,由题意知△BCD是等腰直角三角形,且 ∠BCD=90°, 则BD=√2a,∠CBD=45 所以∠ABD=∠ABC-∠CBD=45°, 在△ABD中 AD=√A+DP-2AB·DB·cos45°=V2a, 因为AD+B=4a2=AB,所以BD⊥AD, 由于平面SAD⊥底面ABCD,平面SMD∩平面ABCD=AD,BC平面ABCD 所以BD⊥平面SMAD, 又BDc平面SBD,所以平面SBD⊥平面SAD (2)解由(1)可知AD=SD=V2a,在△SMD中,∠SDA=120°,S=2in60 作SH⊥AD,交AD的延长线于点H 则sy=sn60°-36a 由(1)知BD⊥平面SAD 因为S平面SAD,所以BD⊥ 又AD∩BD=D,所以SH⊥平面ABCD 所以SH为三棱锥S-BCD的高
线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 【训练 2】 (2019·泸州模拟)如图，在四棱锥 S－ABCD 中，底面 ABCD 是梯形， AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝ 1 2 AB，侧面 SAD⊥底面 ABCD. (1)求证：平面 SBD⊥平面 SAD； (2)若∠SDA＝120°，且三棱锥 S－BCD 的体积为 6 12 ，求侧面 △SAB 的面积. (1)证明 设 BC＝a，则 CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且 ∠BCD＝90°， 则 BD＝ 2a，∠CBD＝45°， 所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°， 在△ABD 中， AD＝ AB 2＋DB 2－2AB·DB·cos 45°＝ 2a， 因为 AD 2＋BD 2＝4a 2＝AB 2，所以 BD⊥AD， 由于平面 SAD⊥底面 ABCD，平面 SAD∩平面 ABCD＝AD，BD⊂平面 ABCD， 所以 BD⊥平面 SAD， 又 BD⊂平面 SBD，所以平面 SBD⊥平面 SAD. (2)解 由(1)可知AD＝SD＝ 2a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin 60° ＝ 6a. 作 SH⊥AD，交 AD 的延长线于点 H， 则 SH＝SDsin 60°＝ 6 2 a， 由(1)知 BD⊥平面 SAD， 因为 SH⊂平面 SAD，所以 BD⊥SH. 又 AD∩BD＝D，所以 SH⊥平面 ABCD， 所以 SH 为三棱锥 S－BCD 的高
所以Vm= 2X2=16 解得a=1 由BD⊥平面SAD,SD平面SAD,可得BD⊥S, 则SB=√s+BD=V2+2=2 又AB=2,sA=V6, 在等腰三角形SBA中, 610 边SA上的高为1/4 则△SAB的面积为×√6× 考点三平行与垂直的综合问题…多维探究 角度1多面体中平行与垂直关系的证明 【例3-1】(2018·北京卷)如图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD为矩形,平 面PAD平面ABC,P⊥P,P=PD,E,F分别为AD,PB的中点 (1)求证:PE⊥BCG; (2)求证:平面PAB⊥平面PCD (3)求证:BF∥平面PD 证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点, 所以PE⊥AD 因为底面ABCD为矩形, 所以BC∥AD 所以PE⊥BC (2)因为底面ABCD为矩形
所以 VS－BCD＝ 1 3 × 6 2 a× 1 2 ×a 2＝ 6 12 ， 解得 a＝1. 由 BD⊥平面 SAD，SD⊂平面 SAD，可得 BD⊥SD， 则 SB＝ SD 2＋BD 2＝ 2＋2＝2. 又 AB＝2，SA＝ 6， 在等腰三角形 SBA 中， 边 SA 上的高为 4－ 6 4 ＝ 10 2 ， 则△SAB 的面积为1 2 × 6× 10 2 ＝ 15 2 . 考点三 平行与垂直的综合问题 多维探究 角度 1 多面体中平行与垂直关系的证明 【例 3－1】 (2018·北京卷)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平 面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点. (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PCD； (3)求证：EF∥平面 PCD. 证明 (1)因为 PA＝PD，E 为 AD 的中点， 所以 PE⊥AD. 因为底面 ABCD 为矩形， 所以 BC∥AD. 所以 PE⊥BC. (2)因为底面 ABCD 为矩形
所以AB⊥AD 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD 所以AB⊥平面PAD 所以AB⊥PD 又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A, 所以PD⊥平面PAB又P平面PCD, 所以平面PAB⊥平面PCD (3)如图,取PC中点G,连接FG,DG 因为F,G分别为PB,PC的中点 所以FG∥BC,F=BC 因为ABCD为矩形,且E为AD的中点 所以DE∥BC,DE=BC 所以DE∥FG,DE=FG 所以四边形DEFG为平行四边形 所以EF∥DG 又因为平面PD,DGc平面PC, 所以EF∥平面PCD 规律方法1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面 垂直间的转化 2.垂直与平行的结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用 角度2平行与垂直关系中的探索性问题 【例3-2】如图,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC= ∠BAC=60
所以 AB⊥AD. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 AB⊥平面 PAD. 所以 AB⊥PD. 又因为 PA⊥PD，且 PA∩AB＝A， 所以 PD⊥平面 PAB.又 PD⊂平面 PCD， 所以平面 PAB⊥平面 PCD. (3)如图，取 PC 中点 G，连接 FG，DG. 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 所以 FG∥BC，FG＝ 1 2 BC. 因为 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 所以 DE∥BC，DE＝ 1 2 BC. 所以 DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 所以 EF∥DG. 又因为 EF⊄平面 PCD，DG⊂平面 PCD， 所以 EF∥平面 PCD. 规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面 垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 角度 2 平行与垂直关系中的探索性问题 【例 3－2】 如图，三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2， ∠BAC＝60°