23直线、平面垂直的判定及其性质 231直线与平面垂直的判定 考纲要求 1战线面垂直定义 如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这 条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。 直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥a 2直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 3.斜线 斜足 斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;(判断直线与平面垂直的方法4) 条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角 二、自主学习 问题1、结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义 (1)阳光下,直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少? (2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改 (3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线BC1的位置关系如何?依据是什么 问题2、直线与平面垂直的定义 如果直线Ⅰ与平面a内的低意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面a互相垂直,记作: 1⊥a.直线1叫做平面a的垂线,平面a叫做直线1的垂面.直线与平面垂直时,它们唯 的公共点P叫做垂足 符号话:a是平面a内任一直线→1⊥a 图形语言 l⊥a 思想:直线与平面垂直→直线与平面垂直
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、考纲要求 1 奎屯 王新敞 新疆 线面垂直定义： 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这 条直线和这个平面互相垂直 奎屯 王新敞 新疆 其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面 奎屯 王新敞 新疆 交点叫做垂足 奎屯 王新敞 新疆 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α 奎屯 王新敞 新疆 2 奎屯 王新敞 新疆 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 奎屯 王新敞 新疆 3.斜线: 斜足 斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角: 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；(判断直线与平面垂直的方法 4) 一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 0°的角． 二、自主学习 问题 1、结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义． (1)阳光下，直立于地面的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 所成的角度是多少？ (2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改 变? (3)旗杆 AB 与地面上任意一条不过点 B 的直线 B1C1 的位置关系如何?依据是什么？ 问题 2、直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面α互相垂直，记作： l⊥α. 直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯 一的公共点 P 叫做垂足。 符号语言： 图形语言: 思想: 直线与平面垂直 直线与平面垂直 a l l a ⊥ ⊥ 是平面 内任一直线 α l P
思考:(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂 直?(2)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线? 即若l⊥a,aca,则l⊥a 问题3、请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验:过三角形的顶点A翻折纸片, 得到折痕AD(如图1),将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触) (图1) (图2) (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直? 问题4、直线与平面垂直的判定定理。 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号语言:mCa,n∈a,m∩n=P 图形语言 l⊥m.l⊥n 思想:直线与直线垂直→直线与平面垂直 问题5、如图,在长方体ABCD-ABCD1中,请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直 线有怎样的位置关系? C1 三、考点突破 典型例题 例1有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂一条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在 地面上的两点(和旗杆脚不在同一直线上)C,D,如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m, 那么旗杆就和地面垂直,为什么? 略
思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂 直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ 即若 l ⊥ ,a ，则 l ⊥ a 问题 3、请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点 A 翻折纸片， 得到折痕 AD（如图 1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触） （图 1） （图 2） （1）折痕 AD 与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直？ 问题 4、直线与平面垂直的判定定理。 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 符号语言： 图形语言: 思想: 直线与直线垂直 直线与平面垂直 问题 5、如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，请列举与平面 ABCD 垂直的直线。并说明这些直 线有怎样的位置关系？ 三、考点突破 典型例题 例 1 有一根旗杆 AB 高 8m ，它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在 地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上） C D, ，如果这两点都和旗杆脚 B 的距离是 6m ， 那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 略 B D C A B D A C ⊥ ⊥ ⊥ = l l m l n m n m n P , , , l α m n p A B C D A1 B1 C1 D1
例2已知a∥1b,a⊥a,则b⊥a吗?请说明理由 反馈训练 例3:在正方体ABCD_ABCD中,求 (1)直线AB和平面ABCD所成的角 (2)直线A1B和平面ABCD所成的角 C 谷案:(1)45 (2)30 例4.如图,已知E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点,EF交AC于M,GC垂直于ABCD 所在平面 求证:EF⊥平面GMC 证明:已知EF⊥AC 又因为GC⊥平面ABCD 所以EF⊥GC 所以EF⊥平面GMC 四、考点巩固 1.直线l与平面a内的两条直线都垂直,则直线/与平面a的位置关系是(B) (A)平行(B)垂直(C)在平面α内(D)无法确定 2.对于已知直线a,如果直线b同时满足下列三个条件:(D) ①与a是异面直线;②与a所成的角为定值θ;③与a距离为定值d那么这样的直线b有() (A)1条(B)2条(C)3条(D)无数条
例 2 已知 a // b, a ⊥ ，则 b ⊥ 吗？请说明理由。 反馈训练 例 3: 在正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D _ 中,求: (1)直线 AB1 和平面 ABCD 所成的角 (2)直线 AB1 和平面 A B C D 1 1 所成的角 答案：（1） o 45 （2） o 30 例 4．如图，已知 E，F 分别是正方形 ABCD 边 AD，AB 的中点，EF 交 AC 于 M，GC 垂直于 ABCD 所在平面． 求证：EF⊥平面 GMC． EF GMC EF GC GC ABCD EF AC 所以 平面 所以 又因为 平面 证明：已知 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 四、考点巩固 1. 直线 l 与平面内的两条直线都垂直，则直线 l 与平面的位置关系是 (B) （A）平行 （B）垂直 （C）在平面内 （D）无法确定 2. 对于已知直线 a，如果直线 b 同时满足下列三个条件：(D) ①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d 奎屯 王新敞 新疆 那么这样的直线b有（ ） （A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）无数条 a b A B C D A 1 D1 C B 1 1 M F E A B C D G
3.下列关于直线l,m与平面α,B的命题中,真命题是 (B) (A)若l∈B且a⊥B,则/⊥ (B)若⊥B且a∥B,则1⊥ (C)若l⊥B且a⊥B,则l(D)a∩B=m且∥m,则l∥/x 4.已知直线a、b和平面M、N,且a⊥M,那么(A) (A)b∥M→→b⊥ (B)b⊥a→b∥M (C)N⊥M→a∥N (D)aaN→M∩N≠p 5.在正方体ABCD-ABC1D中,点P在侧面BCCB1及其边界上运动,并且保持 AP⊥BD,则动点P的轨迹为 (A) A)线段BC (B)线段BC1 6(C)B的中点与CC1的中点连成的线段(D)BC的中点与BC1的中点连成的线段 三条不同的直线,a、B、y为三个不同的平面 ①若a⊥B,B B ②若 ③若aca,b、ccBa⊥ba⊥c,则a⊥B ④若a⊥a,.bcB,a∥ b,则a⊥B 上面四个命题中真命题的个数是②④ 7.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点 (1)求证:MN∥平面PAD (2)求证:M⊥CD 8.已知:空间四边形ABCD,AB=AC,DB=DC 求证:BC⊥AD 证明:过A作AE⊥BC交BC于E点链接DE BD= CD DE⊥BC BC⊥平面AE BC⊥AD
3．下列关于直线 l m, 与平面 , 的命题中，真命题是 （ B ） ( ) A 若 l 且 ⊥ ，则 l ⊥ ( ) B 若 l ⊥ 且 // ，则 l ⊥ ( ) C 若 l ⊥ 且 ⊥ ，则 l // ( ) D = m 且 l m// ，则 l // 4．已知直线 a、b 和平面 M、N，且 a ⊥ M ，那么（ A ） （A） b ∥M b⊥a （B）b⊥a b∥M （C）N⊥M a∥N （D） a N M N [ 来源:学_科_网] 5．在正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中，点 P 在侧面 BCC B1 1 及其边界上运动，并且保持 AP BD ⊥ 1，则动点 P 的轨迹为 （ A ） ( ) A 线段 BC1 ( ) B 线段 BC1 ( ) C BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段 ( ) D BC 的中点与 BC1 1 的中点连成的线段 6．三条不同的直线， 、、 为三个不同的平面 ①若 ⊥ , ⊥ ,则 ∥ ②若 a ⊥ b,b ⊥ c,则a ∥ c或a ⊥ c . ③若 a ,b 、c ,a ⊥ b,a ⊥ c,则 ⊥ ④ 若 a ⊥ ,b , a ∥ b,则 ⊥ 上面四个命题中真命题的个数是 ②④ 7．如图， PA ⊥ 矩形 ABCD 所在的平面， M N, 分别是 AB PC , 的中点， （1）求证： MN // 平面 PAD ； （2）求证： MN CD ⊥ 证明：略 8．已知：空间四边形 ABCD， AB AC = ， DB DC = ， 求证： BC AD ⊥ BC AD BC AED DE BC BD CD A AE BC BC E DE ⊥ ⊥ ⊥ = ⊥ 平面 证明 过 作 交 于 点 链接 : , E D C B A
232平面与平面垂直的判定 、考纲要求 1两个平面垂直的定义: 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的 平面 2.两平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 推理模式:aOa,a⊥B→a⊥B 二、自主学习 问题1:(定义) 半平面 二面角: 二面角的表示 二面角的平面角 二面角的平面角∠AOB的特点: (1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在二面角的两个面上:(3)角的两边分别和棱垂直 特别指出: ①二面角的大小是用平面角来度量的,其范围是[0,180°) ②二面角的平面角的大小与棱上点(角的顶点)的选择无关,是有二面角的两个面的位置惟
2.3.2 平面与平面垂直的判定 一、考纲要求 1 奎屯 王新敞 新疆 两个平面垂直的定义： 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的 平面 奎屯 王新敞 新疆 2．两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 奎屯 王新敞 新疆 推理模式： a Ø ， a ⊥ ⊥ ． 二、自主学习 问题 1: （定义） 半平面： 二面角： 二面角的表示: 二面角的平面角: 二面角的平面角∠AOB 的特点： (1)角的顶点在棱上；(2)角的两边分别在二面角的两个面上；(3)角的两边分别和棱垂直。 特别指出： ①二面角的大小是用平面角来度量的，其范围是[0， 0 180 ）； ②二面角的平面角的大小与棱上点（角的顶点）的选择无关，是有二面角的两个面的位置惟
一确定 ③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的 直二面角: 规律:求异面直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角最终都转化为线与 线相交构成的角。 例1:如图四面体ABCD的棱BD长为2,其余各棱长均为√2,求二面角A-BDC的大小。 问题2:(定义) 两个平面互相垂直: 两个互相垂直的平面画法 平面a与β垂直,记作 定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号语言:AB⊥B,AB∩B=B, AB C D C 图形语言 三、考点突破 典型例题 例1、若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角白 阝么这两个二 面角() A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定 答案D 例2、如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E、F是线段AB上的两点,且DE⊥AB CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折起, 使A,B两点重合于点G,得到多面体 CDEFG (1)求证:平面DEG⊥平面CFG (2)求多面体 CDEFG的体积 (1)证明因为DE⊥EF,CF⊥EF 所以四边形CDEF为矩形 由GD=5,DE=4,得 GE=VGD-DE=3 由GC=4E,CF=4,得FG=GC-C=4,所以EF=5 在△EFG中,有EF=GE2+FG2
一确定； ③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的 直二面角: 规律：求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角最终都转化为线与 线相交构成的角。 例 1：如图四面体 ABCD 的棱 BD 长为 2，其余各棱长均为 2 ，求二面角 A-BD-C 的大小。 问题 2：（定义） 两个平面互相垂直： 两个互相垂直的平面画法： 平面 与β垂直，记作： 定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号语言: AB AB =B AB ⊥ ⊥ ， ， 图形语言: 三、考点突破 典型例题 例 1、 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二 面角( )． A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 答案 D 例 2、 如图所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，E、F 是线段 AB 上的两点，且 DE⊥AB， CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4 2，DE＝4.现将△ADE，△CFB 分别沿 DE，CF 折起， 使 A，B 两点重合于点 G，得到多面体 CDEFG. (1)求证：平面 DEG⊥平面 CFG； (2)求多面体 CDEFG 的体积． (1)证明 因为 DE⊥EF，CF⊥EF， 所以四边形 CDEF 为矩形． 由 GD＝5，DE＝4，得 GE＝ GD2－DE2＝3. 由 GC＝4 2，CF＝4，得 FG＝ GC2－CF2＝4，所以 EF＝5. 在△EFG 中，有 EF2＝GE2＋FG2
所以EG⊥GF 又因为CF⊥EF,CF⊥FG,所以CF⊥平面EFG 所以CF⊥EG,又CF∩GF=F,所以EG⊥平面CFG 又EGc平面DEG,所以平面DEG⊥平面CFG (2解如图,在平面EGF中,过点G作GH⊥EF于点H,则GH=EC=12 因为平面CDEF⊥平面EFG,所以GH⊥平面CDEF, 所以CD=3 S MH CDEF-GH=16 例3、已知Rt△ABC,斜边BCCa,点Aa,AO⊥a,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO 45°,求二面角ABCO的大小 解如图,在平面a内,过O作OD⊥BC,垂足为D,连接AD AO⊥a,BCCa,∴AO⊥BC. 又∵AO∩OD=O ∴BC⊥平面AOD 而ADc平面AOD ∴AD⊥BC ∠ADO是二面角ABCO的平面角 由AO⊥a,OBca,OCca,知AO⊥OB,AO⊥OC 又∠ABO=30°,∠ACO=45°, ∴设AO=a,则AC=V2a,AB=2a 在Rt△ABC中,∠BAC=90°, BC=√AC+AB=√Ga AD=AbAC2 在R△AOD中,sin∠1DD=o ,∠ADO=60°.即二面角ABCO的大小是60° 反馈训练 例4、如图在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D 是棱AA1的中点 (1)证明:平面BDC1⊥平面BDC (2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比 (1)证明由题设知BC⊥CC,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACCA1 又DC1C平面ACC1A1,所以DC1⊥BC 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC又DC∩BC=C,所 以DC1⊥平面BDC 又DC1c平面BDC1,故平面BDC⊥平面BDC (2)解设棱锥 BDACO1的体积为V1,AC=1 由题意得V1= 1+2 ×1×1= 又三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1,所以(-V):H1=1:1 故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1:1. 四、考点巩固 1.过平面a外两点且垂直于平面a的平面 (A)有且只有一个 (B)不是一个便是两个 (C)有且仅有两个 (D)一个或无数个
所以 EG⊥GF. 又因为 CF⊥EF，CF⊥FG，所以 CF⊥平面 EFG. 所以 CF⊥EG，又 CF∩GF＝F，所以 EG⊥平面 CFG. 又 EG⊂平面 DEG，所以平面 DEG⊥平面 CFG. (2)解 如图，在平面 EGF 中，过点 G 作 GH⊥EF 于点 H，则 GH＝ EG·GF EF ＝ 12 5 . 因为平面 CDEF⊥平面 EFG，所以 GH⊥平面 CDEF， 所以 V 多面体 CDEFG＝ 1 3 S 矩形 CDEF·GH＝16. 例 3、 已知 Rt△ABC，斜边 BC⊂α，点 A∉α，AO⊥α，O 为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO ＝45°，求二面角 ABCO 的大小． 解 如图，在平面 α 内，过 O 作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 AD. ∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC. 又∵AO∩OD＝O， ∴BC⊥平面 AOD. 而 AD⊂平面 AOD， ∴AD⊥BC. ∴∠ADO 是二面角 ABCO 的平面角． 由 AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知 AO⊥OB，AO⊥OC. 又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°， ∴设 AO＝a，则 AC＝ 2a，AB＝2a. 在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°， ∴BC＝ AC2＋AB2＝ 6a， ∴AD＝ AB·AC BC ＝ 2a· 2a 6a ＝ 2 3 3 a. 在 Rt△AOD 中，sin∠ADO＝ AO AD＝ a 2 3 3 a ＝ 3 2 . ∴∠ADO＝60°.即二面角 ABCO 的大小是 60°. 反馈训练 例 4、如图在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝ 1 2 AA1，D 是棱 AA1 的中点． (1)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC； (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． (1)证明 由题设知 BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以 BC⊥平面 ACC1A1. 又 DC1⊂平面 ACC1A1，所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即 DC1⊥DC.又 DC∩BC＝C，所 以 DC1⊥平面 BDC. 又 DC1⊂平面 BDC1，故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)解 设棱锥 BDACC1 的体积为 V1，AC＝1. 由题意得 V1＝ 1 3 × 1＋2 2 ×1×1＝ 1 2 . 又三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1. 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1∶1. 四、考点巩固 1．过平面 外两点且垂直于平面 的平面 （ D ） ( ) A 有且只有一个 ( ) B 不是一个便是两个 ( ) C 有且仅有两个 ( ) D 一个或无数个
2.若平面a⊥平面B,直线nca,mcB,m⊥n,则 (A)n⊥B (B)n⊥B且m⊥a (C)m⊥a (D)n⊥B与m⊥a中至少有一个成立 3.对于直线mn和平面a,B,a⊥B的一个充分条件是 (4)m⊥n,m∥a,n∥B (B)m⊥n,a∩B=m,nca (C)m∥n,n⊥B,m (D)m⊥n,m⊥a,n⊥B 4.设l,m,n表示三条直线,a,B,y表示三个平面,给出下列四个命题 ①若1⊥a,m⊥a,则l∥m;②若m∈B,n是在B内的射影,m⊥l,则m⊥n ③若mca,m∥n,则n∥a;④若a⊥y,B⊥y,则a∥B.其中真命题(A) (A)①② (B)②③ D)③④ 5.设 ABCDA1B1CD1为长方体,且底面A1 ,试问:截面ACB1与对角面BDD1B1 垂直吗? 证明::ABCD是正方形,∴AC⊥BD BB1⊥底面ABCD ∴AC⊥B1B 又∵BD∩BB1=B,AC平面BDD1B ∵AC⊥平面BDD1B, ∵ACc截面ACB1 截面ACB1⊥对角面BDD1B1 6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD中,AD∥BC,∠ABC= AC∩BD=E,AD=2,AB=2√3,BC=6求证:平面PBD⊥平面PA 证明∵PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,∴BD⊥PA又tan∠ an∠BAC=BC=3, ∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=90°,即BD⊥AC. 又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. ∵BDC平面PBD,平面PBD⊥平面PC 7、如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC BC,且分别交AC,SC 于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角 EBDC EA 解∵E为SC中点,且SB=BC BE⊥SC又DE⊥SCBE∩DE=E SC⊥平面BDE BD⊥SC,又SA⊥平面ABC 可得SA⊥BDSC∩SA=S D⊥平面SC,从而BD⊥AC,BD⊥DE ∠EDC为二面角EBDC的平面角 设SA=AB=1,△ABC中AB⊥BC, ∴SB=BC=y2,AC=y3, SC=2在Rt△SAC中,∠DCS=30°, ∴∠EDC=60°,即二面角EBDC为60° 233直线与平面垂直的性质
2．若平面 ⊥ 平面 ，直线 n ， m , m n ⊥ ，则 （ D ） ( ) A n ⊥ ( ) B n ⊥ 且 m ⊥ ( ) C m ⊥ ( ) D n ⊥ 与 m ⊥ 中至少有一个成立 3．对于直线 m n, 和平面 , ， ⊥ 的一个充分条件是 （ B ） ( ) A m n ⊥ ， m n // , // ( ) B m n m n ⊥ = , , ( ) C m n n m // , , ⊥ ( ) D m n m n ⊥ ⊥ ⊥ , , 4．设 l m n , , 表示三条直线， , , 表示三个平面，给出下列四个命题： ①若 l m ⊥ ⊥ , ，则 l m// ；②若 m n , 是 l 在 内的射影， m l ⊥ ，则 m n ⊥ ； ③若 m m n , // ，则 n// ； ④若 ⊥ ⊥ , ，则 // ． 其中真命题（ A ） ( ) A ①② ( ) B ②③ ( ) C ①③ ( ) D ③④ 5. 设 ABCDA1B1C1D1 为长方体，且底面 ABCD 为正方形，试问：截面 ACB1 与对角面 BDD1B1 垂直吗？ 证明：∵ABCD 是正方形，∴AC⊥BD ∵BB1⊥底面 ABCD， ∴AC⊥B1B 又∵BD∩BB1＝B，AC⊄平面 BDD1B ∴AC⊥平面 BDD1B， ∵AC⊂截面 ACB1， ∴截面 ACB1⊥对角面 BDD1B1. 6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面 ABCD， AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2 3，BC＝6.求证：平面 PBD⊥平面 PAC. 证明 ∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴BD⊥PA.又 tan∠ABD＝ AD AB＝ 3 3 ， tan∠BAC＝ BC AB＝ 3， ∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即 BD⊥AC. 又 PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC. ∵BD⊂平面 PBD，平面 PBD⊥平面 PAC. 7、如图所示，在△ABC 中，AB⊥BC，SA⊥平面 ABC，DE 垂直平分 SC，且分别交 AC，SC 于点 D，E，又 SA＝AB，SB＝BC，求二面角 EBDC 的大小． 解 ∵E 为 SC 中点，且 SB＝BC. ∴BE⊥SC.又 DE⊥SC.BE∩DE＝E. ∴SC⊥平面 BDE. ∴BD⊥SC，又 SA⊥平面 ABC. 可得 SA⊥BD.SC∩SA＝S. ∴BD⊥平面 SAC，从而 BD⊥AC，BD⊥DE. ∴∠EDC 为二面角 EBDC 的平面角． 设 SA＝AB＝1，△ABC 中 AB⊥BC， ∴SB＝BC＝ 2，AC＝ 3， ∴SC＝2.在 Rt△SAC 中，∠DCS＝30°， ∴∠EDC＝60°，即二面角 EBDC 为 60°. 2.3.3 直线与平面垂直的性质
、考纲要求 1。直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行。 2。三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射!、E 和这条斜线 垂直 说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条 (2)推理模式:PA∩a=A}→a⊥PA aca.a⊥OA 5.三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影 垂直。 PO⊥a.O∈a 推理模式:PA∩a=A}→a⊥AO aca,a⊥AP 、自主学习 直线与平面垂直的性质 问题1、如图,长方体ABCD一A′B′c′D′中,棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直 线都垂直于平面ABCD,它们之间具有什么位置关系? 问题2、已知:a⊥a,b⊥a。求证:b∥a(由1让学生自行证明) 三、考点突破 典型例题 例1、如图所示,在正方体A1B1C1 DIABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交 求证:EF∥BD 证明如图所示 连接AB1,B1D1,B1C1,BD.∵DD⊥平面ABCD, ACc平面ABCD,∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D
一、考纲要求 1 奎屯 王新敞 新疆 直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 奎屯 王新敞 新疆 2 奎屯 王新敞 新疆 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直 奎屯 王新敞 新疆 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； （2）推理模式： , , PO O PA A a PA a a OA ⊥ = ⊥ ⊥ 奎屯 王新敞 新疆 5．三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影 垂直 奎屯 王新敞 新疆 推理模式： , , PO O PA A a AO a a AP ⊥ = ⊥ ⊥ ． 二、自主学习 直线与平面垂直的性质 问题 1、 如图，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱 A A′、B B′、C C′、D D′所在直 线都垂直于平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？ 问题 2、 已知：a ⊥ ，b ⊥ 。求证：b∥a（由 1 让学生自行证明） 三、考点突破 典型例题 例 1、如图所示，在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，EF 与异面直线 AC，A1D 都垂直相交． 求证：EF∥BD1. 证明 如图所示： 连接 AB1，B1D1，B1C1，BD. ∵DD1⊥平面 ABCD， AC⊂平面 ABCD，∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD，DD1∩BD＝D， a P O A
AC⊥平面BDD1B.又BD1C平面BDD1B1,∴AC⊥BD1 同理可证BD⊥B1C.又B1C∩AC=C,∴BD1⊥平面AB1C ∴EF⊥AC,EF⊥A1D,又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C又AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C, ∴EF∥BD1 例2、如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面 已知a⊥y,B⊥y,anB=1.求证:⊥y 证明:在y内取一点P,作PA垂直a与y的交线于A,PB垂直B与y的交线于B, 则PA⊥a,PB⊥B.∵l=anB,∴⊥PA,⊥PB 又P∩PB=P,且PCy,PBCy,∴⊥y 例3在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,∠ABC=90°,∠BCD=135°,沿AC 将四边形折成直二面角BACD (1)求证:平面ABC⊥平面BCD;(2)求平面ABD与平面ACD所 (1)证明如图所示,其中图(1)是平面四边形,图(2)是折后的立 在四边形ABCD中, AB=BC,AB⊥BC ∴∠ACB=45°,而∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°, ∠ACD=90°,即CD⊥AC又平面ABC与平面ACD的二面角的平面为直角, 且平面ABC∩平面ACD=AC, ∴CD⊥平面ABC,又CDc平面BCD,∴平面ABC⊥平面BCD (2)解过点B作BE⊥AC,E为垂足,则BE⊥平面ACD 又过点E在平面ACD内作EF⊥AD,F为垂足,连接BF 由已知可得BF⊥AD ∴∠BFE是二面角BADC的平面角 E为AC的中点, AE=-AC 又sin∠DC、CD AD EF=AE, B 36a,tan∠BFE E=BE EFA ∠BFE=60 即平面ABD与平面ACD所成的角的度数为60 反馈训练 例4、△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F为 BE的中点.求证:DF∥平面ABC. 证明取AB的中点G,连接FG、GC,则FG为△BEA中位线,∴FG∥AE ∴AE⊥平面ABC,FG∥AE,∴FG⊥平面ABC ∴FG⊥平面ABC,CD⊥平面ABC,∴FG∥CD又FG=AE=CD=a ∴四边形CDFG为平行四边形,FD∥CG FD∥ CG. CGC平面ABC,∴DF∥平面ABC 四、考点巩固 1.若a,b,c表示直线,a表示平面,下列条件中,能使a⊥a的是(D)
∴AC⊥平面 BDD1B1. 又 BD1⊂平面 BDD1B1，∴AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C.又 B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又 A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又 AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面 AB1C， ∴EF∥BD1. 例 2、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 已知 α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l. 求证：l⊥γ. 证明：在 γ 内取一点 P，作 PA 垂直 α 与 γ 的交线于 A，PB 垂直 β 与 γ 的交线于 B， 则 PA⊥α，PB⊥β. ∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB. 又 PA∩PB＝P，且 PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ. 例 3 在平面四边形 ABCD 中，已知 AB＝BC＝CD＝a，∠ABC＝90°，∠BCD＝135°，沿 AC 将四边形折成直二面角 BACD. (1)求证：平面 ABC⊥平面 BCD；(2)求平面 ABD 与平面 ACD 所成的角的度数． (1)证明 如图所示，其中图(1)是平面四边形，图(2)是折后的立体图． 在四边形 ABCD 中， ∵AB＝BC，AB⊥BC， ∴∠ACB＝45°，而∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°， ∴∠ACD＝90°，即 CD⊥AC.又平面 ABC 与平面 ACD 的二面角的平面为直角， 且平 面 ABC∩平面 ACD＝AC， ∴CD⊥平面 ABC，又 CD⊂平面 BCD，∴平面 ABC⊥平面 BCD. (2)解 过点 B 作 BE⊥AC，E 为垂足，则 BE⊥平面 ACD. 又过点 E 在平面 ACD 内作 EF⊥AD，F 为垂足，连接 BF. 由已知可得 BF⊥AD， ∴∠BFE 是二面角 BADC 的平面角． ∵E 为 AC 的中点， ∴AE＝ 1 2 AC＝ 2 2 a. 又 sin∠DAC＝ CD AD＝ 3 3 ，EF＝ 3 3 AE， ∴EF＝ 2 2 a· 3 3 ＝ 6 6 a，tan∠BFE＝ BE EF＝ 3. ∴∠BFE＝60°， 即平面 ABD 与平面 ACD 所成的角的度数为 60°. 反馈训练 例 4、△ABC 是正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 AE＝AB＝2a，CD＝a，F 为 BE 的中点．求证：DF∥平面 ABC. 证明 取 AB 的中点 G，连接 FG、GC，则 FG 为△BEA 中位线，∴FG∥AE. ∵AE⊥平面 ABC，FG∥AE，∴FG⊥平面 ABC. ∵FG⊥平面 ABC，CD⊥平面 ABC，∴FG∥CD.又 FG＝ 1 2 AE＝CD＝a. ∴四边形 CDFG 为平行四边形，FD∥CG. ∵FD∥CG.CG⊂平面 ABC，∴DF∥平面 ABC. 四、考点巩固 1．若 abc , , 表示直线， 表示平面，下列条件中，能使 a ⊥ 的是 （ D ）