§2.3.1直线与平面垂直的判定 教案目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理 (2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法: (3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳 概括结论 2、过程与方法 (1)通过教案活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程: (2)探究判定直线与平面垂直的方法 3、情态与价值 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教案重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究 三、教案设计 (一)创设情景,揭示课题 1、教师首先提出问题:在现实生活中,我们经常看到一些直线与平面垂直的现象,例 如:“旗杆与地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系”,你能举出一些类似的例子吗?然 后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价 2、接着教师指出:一条直线与一个平面垂直的意义是什么?并通过分析旗杆与它在地 面上的射影的位置关系引出课题内容。 (二)研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知,可再借助长方体模 型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问 题:从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发,能否用一条直线垂直于 一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢?并组织学生交流讨论,概括其定 如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面a互相垂直, 记作L⊥a,直线L叫做平面a的垂线,平面a叫做直线L的垂面。如图2.3-1,直线与平
1 / 8 §2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、教案目标 1、知识与技能 （1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法； （3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、 概括结论。 2、过程与方法 （1）通过教案活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程； （2）探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情态与价值 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教案重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教案设计 （一）创设情景，揭示课题 1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例 如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然 后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。 2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地 面上的射影的位置关系引出课题内容。 （二）研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模 型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问 题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于 一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定 义。 如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面α互相垂直， 记作 L⊥α，直线 L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 L 的垂面。如图 2.3-1，直线与平
面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。 图2-3-1 2、老师提出问题,让学生思考 (1)问题:虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施。有 没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? (2)师生活动:请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图2.3-2实验:过 △ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌 面接触),问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直? 图2.3-2 (3)归纳结论:引导学生根据直观感知及已有经验(两条相交直线确定一个平面), 进行合情推理,获得判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 老师特别强调:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视 b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数 学思想 (三)实际应用,巩固深化 (1)课本P69例1教案 (2)课本P69例2教案 (四)归纳小结,课后思考 小结:采用师生对话形式,完成下列问题: ①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定
2 / 8 面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。并对画示表示进行说明。 L p α 图 2-3-1 2、老师提出问题，让学生思考： （1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有 没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？ （2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图 2.3-2 实验：过 △ABC 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌 面接触），问如何翻折才能保证折痕 AD 与桌面所在平面垂直？ A B D C 图 2.3-2 （3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面）， 进行合情推理，获得判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数 学思想。 （三）实际应用,巩固深化 （1）课本 P69 例 1 教案 （2）课本 P69 例 2 教案 （四）归纳小结，课后思考 小结：采用师生对话形式，完成下列问题： ①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定
定理,体现的教案思想方法是什么? 课后作业 ①课本P70练习2 ②求证:如果一条直线平行于一个平面,那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂 思考题:如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线就和这个平面垂 直,这个结论对吗?为什么? §2.3.2平面与平面垂直的判定 教案目标 1、知识与技能 (1)使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两 个平面互相垂直”的概念 (2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用: (3)使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法 (1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程 (2)类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值 通过揭示概念的形成、发展和应用过程,使学生理会教案存在于观实生活周围,从中 激发学生积极思维,培养学生的观察、分析、解决问题能力。 教案重点、难点 重点:平面与平面垂直的判定; 难点:如何度量二面角的大小 三、学法与教案用具 1、学法:实物观察,类比归纳,语言表达 2、教案用具:二面角模型(两块硬纸板) 四、教案设计 (一)创设情景,揭示课题 问题1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题2:在立体几何中,“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样 定义的?它们有什么共同的特征? 3/8
3 / 8 定理，体现的教案思想方法是什么？ 课后作业: ①课本 P70 练习 2 ②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂 直。 思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂 直，这个结论对吗？为什么？ §2.3.2 平面与平面垂直的判定 一、教案目标 1、知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两 个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值 通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教案存在于观实生活周围，从中 激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、教案重点、难点。 重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小。 三、学法与教案用具。 1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。 2、教案用具：二面角模型（两块硬纸板） 四、教案设计 （一）创设情景，揭示课题 问题 1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题 2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样 定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:在生产实践中,有许多 问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?如修水 坝、发射人造卫星等,而这样的角有何特点,该如何表示呢?下面我们共同来观察,研探 (二)研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面,并对折让学生观察其状,然后引导学生用数学思维思考,并对以 上问题类比,归纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示) 角 二面角 梭1 图形 边 顶点0边 从平面内一点出发的两条射线(半从空间一直线出发的两个半平面所 定义 直线)所组成的图形 成的图形 构成射线一点(顶点)一射线 半平面一线(棱)一半平面 表示 ∠AOB 面角a-1-B或a-AB-B 2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些”,是指 二面角大一些,那我们应如何度量二两角的大小呢?师生活动:师生共同做一个小实验 (预先准备好的二面角的模型)在其棱上位取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线 (如图2.3-3),通过实验操作,研探二面角大小的度量方法一一二面角的平面角 教师特别指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L”,OB⊥L (2)∠AOB的大小与点0在L上位置无关; (3)当二面角的平面角是直角时,这两个平 面的位置关系怎样? 承上启下,引导学生观察,类比、自主探究
4 / 8 以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多 问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水 坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。 （二）研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以 上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示） 角 二面角 图形 A 边 顶点 O 边 B A 梭 l β B α 定义 从平面内一点出发的两条射线（半 直线）所组成的图形 从空间一直线出发的两个半平面所组 成的图形 构成 射线 — 点（顶点）一 射线 半平面 一 线（棱）一 半平面 表示 ∠AOB 二面角α-l-β或α-AB-β 2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指 二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验 （预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线 （如图 2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出： （1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L； （2）∠AOB 的大小与点 O 在 L 上位置无关； （3）当二面角的平面角是直角时，这两个平 面的位置关系怎样？ 承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β B
获得两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 三)应用举例,强化所学 例题:课本P.72例3 图2.3-3 做法:教师引导学生分析题意,先让学生自己动手推理证明,然后抽检学生掌握情 况,教师最后讲评并板书证明过程 (四)运用反馈,深化巩固 问题:课本P.73的探究问题 做法:学生思考(或分组讨论),老师与学生对话完成 五)小结归纳,整体认识 (1)二面角以及平面角的有关概念 (2)两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系? (六)课后巩固,拓展思维 1、课后作业:自二面角内一点分别向两个面引垂线,求证:它们所成的角与二两角 的平面角互补。 2、课后思考问题:在表示二面角的平面角时,为何要求“0A⊥L、OB⊥L”?为什么 ∠AOB的大小与点0在L上的位置无关? §2、3.3直线与平面垂直的性质 §2、3.4平面与平面垂直的性质 教案目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理 (2)能运用性质定理解决一些简单问题; (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系 2、过程与方法 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认 (2)性质定理的推理论证 3、情态与价值 5/8
5 / 8 获得两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A （三）应用举例，强化所学 α 例题：课本 P.72 例 3 图 2.3-3 做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情 况，教师最后讲评并板书证明过程。 （四）运用反馈，深化巩固 问题：课本 P.73 的探究问题 做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。 （五）小结归纳，整体认识 （1）二面角以及平面角的有关概念； （2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？ （六）课后巩固，拓展思维 1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角 的平面角互补。 2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么 ∠AOB 的大小与点 O 在 L 上的位置无关？ §2、3.3 直线与平面垂直的性质 §2、3.4 平面与平面垂直的性质 一、教案目标 1、知识与技能 （1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； （2）能运用性质定理解决一些简单问题； （3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。 2、过程与方法 （1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认 识； （2）性质定理的推理论证。 3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认,推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及 逻辑推理能力 教案重点、难点 两个性质定理的证明 三、学法与用具 (1)学法:直观感知、操作确认,猜想与证明 (2)用具:长方体模型 四、教案设计 (一)创设情景,揭示课题 问题:若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂 直呢 让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:欲知结论怎样,让我们 起来观察、研探。(自然进入课题内容) (二)研探新知 1、操作确认 观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3-4,在长方体ABCD- ABCD中,棱AA、BB、C、D所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间是有什么位置关 系?(显然互相平行)然后进一步迁移活动:已知直线a⊥a、b⊥a、那么直线a、b 定平行吗?(一定)我们能否证明这一事实的正确性呢? D 图2.3-4 图2.3-5 2、推理证明 引导学生分析性质定理成立的条件,介绍证明性质定理成立的特殊方法一一反证法, 然后师生互动共同完成该推理过程,最后归纳得出: 垂直于同一个平面的两条直线平行。 (三)应用巩固 例子:课本P.74例4 做法:教师给出问题,学生思考探究、判断并说理由,教师最后评议。 (四)类比拓展,研探新知 类比上面定理:若在两个平面互相垂直的条件下,又会得出怎样的结论呢?例如:如 何在黑板面上画一条与地面垂直的直线? 引导学生观察教室相邻两面墙的交线,容易发现该交线与地面垂直,这时,只要在 黑板上画出一条与这交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直。然后师生互动,共同完 6/8
6 / 8 通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及 逻辑推理能力。 二、教案重点、难点 两个性质定理的证明。 三、学法与用具 （1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。 （2）用具：长方体模型。 四、教案设计 （一）创设情景，揭示课题 问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂 直呢？ 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一 起来观察、研探。（自然进入课题内容） （二）研探新知 1、操作确认 观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图 2.3—4，在长方体 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1 中，棱 AA1、BB1、CC1、DD1 所在直线都垂直于平面 ABCD，它们之间是有什么位置关 系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线 a⊥α 、b⊥α、那么直线 a、b 一 定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？ 图 2.3-4 图 2.3-5 2、推理证明 引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法， 然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出： 垂直于同一个平面的两条直线平行。 （三）应用巩固 例子：课本 P.74 例 4 做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。 （四）类比拓展，研探新知 类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如 何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？ 引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在 黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。然后师生互动，共同完 A 1 B D 1 A C a b α C 1 B 1 D
成性质定理的确认与证明,并归纳性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 (五)巩固深化、发展思维 思考1、设平面a⊥平面β,点P在平面a内,过点P作平面B的垂线a,直线a与 面a具有什么位置关系? (答:直线a必在平面q内) 思考2、已知平面a、β和直线a,若a⊥B,a⊥β,tCa,则直线a与平面a具 有什么位置关系? (六)归纳小结,课后巩固 小结:(1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么? (2)类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系? 作业:(1)求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直 (2)求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 本章小结 教案目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知识 (2)通过对知识的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。 过程与方法 利用框图对本章知识进行系统的小结,直观、简明再现所学知识,化抽象学习为直 观学习,易于识记:同时凸现数学知识的发展和联系。 3情态与价值 学生通过知识的整合、梳理,理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系,进 步培养学生的空间想象能力和解决问题能力 教案重点、难点 重点:各知识点间的网络关系; 难点:在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化 教案设计 (一)知识回顾,整体认识 1、本章知识回顾 (1)空间点、线、面间的位置关系 (2)直线、平面平行的判定及性质; (3)直线、平面垂直的判定及性质 2、本章知识结构框图 平面(公理1、公理2、公理3、公理 空间直线、平面的位置关系 7/8
7 / 8 成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 （五）巩固深化、发展思维 思考 1、设平面α⊥平面β，点 P 在平面α内，过点 P 作平面β的垂线 a，直线 a 与平 面α具有什么位置关系？ （答：直线 a 必在平面α内） 思考 2、已知平面α、β和直线 a，若α⊥β，a⊥β，a α，则直线 a 与平面α具 有什么位置关系？ （六）归纳小结,课后巩固 小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？ （2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？ 作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直； （2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 本章小结 一、教案目标 1、知识与技能 （1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识； （2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。 2、过程与方法 利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直 观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。 3 情态与价值 学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一 步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。 二、教案重点、难点 重点：各知识点间的网络关系； 难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。 三、教案设计 （一）知识回顾，整体认识 1、本章知识回顾 （1）空间点、线、面间的位置关系； （2）直线、平面平行的判定及性质； （3）直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4） 空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 (二)整合知识,发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题,进行逻辑 推理的基础。 公理1——判定直线是否在平面内的依据 公理2——提供确定平面最基本的依据 公理3—判定两个平面交线位置的依据 公理4—一判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法:化空间问题为平面问题 3、空间平行、垂直之间的转化与联系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 直线与直线垂直 直线与平面垂直—平面与平面垂直 4、观察和推理是认识世界的两种重要手段,两者相辅相成,缺一不可。 (三)应用举例,深化巩固 1、P.82A组第1题 本题主要是公理1、2知识的巩固与应用。 2、P.82A组第8题 本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用 (四)课后作业 1、阅读本章知识内容,从中体会知识的发展过程,理会问题解决的思想方法; 2、P.83B组第2题
8 / 8 （二）整合知识，发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑 推理的基础。 公理 1——判定直线是否在平面内的依据； 公理 2——提供确定平面最基本的依据； 公理 3——判定两个平面交线位置的依据； 公理 4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题； 3、空间平行、垂直之间的转化与联系： 4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。 （三）应用举例，深化巩固 1、P.82 A 组第 1 题 本题主要是公理 1、2 知识的巩固与应用。 2、P.82 A 组第 8 题 本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。 （四）课后作业 1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法； 2、P.83 B 组第 2 题。 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直