§2.2圆的方程综合应用教案 2.2圆的方程综合应用 教学目标 1、知识技能目标:(1)掌握圆的标准方程及一般方程的结 构特征; (2)理解直线与圆以及圆与圆的位置关系的几何性质; (3)会求与圆有关的点的轨迹问题 (4)会用"数形结合"的数学思想解决问题 2、过程方法目标:培养学生探索发现及分析解决问题的实 际能力 情感态度价值观目标:渗透数形结合、化归与转化等数 学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探 索 教学重点根据条件灵活选用方法求圆的方程. 教学难点对圆方程的认识、掌握和运用. 教学过程 、复习回顾 1.圆的方程有几种形式?分别是哪些? 2.求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用 般方程 3.直线与圆的位置关系有哪几种?
§2.2 圆的方程综合应用教案 2.2 圆的方程综合应用 教学目标 1、 知识技能目标：（1）掌握圆的标准方程及一般方程的结 构特征； （2）理解直线与圆以及圆与圆的位置关系的几何性质； （3）会求与圆有关的点的轨迹问题； （4）会用"数形结合"的数学思想解决问题 2、过程方法目标：培养学生探索发现及分析解决问题的实 际能力. 3、情感态度价值观目标：渗透数形结合、化归与转化等数 学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探 索. 教学重点 根据条件灵活选用方法求圆的方程. 教学难点 对圆方程的认识、掌握和运用. 教学过程 一、复习回顾 1.圆的方程有几种形式?分别是哪些? 2． 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用 一般方程? 3. 直线与圆的位置关系有哪几种？
4.如何求圆的切线方程?如何求圆的弦长? 5.圆与圆的位置关系有哪几种? 6.怎样求两圆相交时的公共弦的方程? 、例题精讲 例1已知方程 (1)此方程表示的图形是否一定是一个圆?请说明理由; (2)若方程表示的图形是是一个圆,当m变化时,它的圆心 和半径有什么规律?请说明理由. 答案:(1)方程表示的图形是一个圆;(2)圆心在直线y=2x+5 上,半径为2 例2已知圆,Q是轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A,B两 (1)若点Q的坐标为(1,0),求切线QA、QB的方程 (2)求四边形QAMB的面积的最小值 (3)若,求直线MQ的方程. 分析:(2)用一个变量表示四边形QAMB的面积(3)从图形中 观察点Q满足的条件 解析:(1)设过点Q的圆M的切线方程为,则圆心M到切线 的距离为1, 或0,切线QA、QB的方程分别为和(2),(3)设与交于点, 则 在中,,即设,则
4. 如何求圆的切线方程？如何求圆的弦长？ 5. 圆与圆的位置关系有哪几种？ 6. 怎样求两圆相交时的公共弦的方程？ 二、例题精讲 例 1 已知方程. （1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （2）若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心 和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y=2x+5 上，半径为 2. 例 2 已知圆,Q 是轴上的动点,QA、QB 分别切圆 M 于 A，B 两 点 (1)若点 Q 的坐标为（1，0），求切线 QA、QB 的方程； (2)求四边形 QAMB 的面积的最小值； (3)若，求直线 MQ 的方程. 分析：(2)用一个变量表示四边形 QAMB 的面积(3)从图形中 观察点 Q 满足的条件 解析：（1）设过点 Q 的圆 M 的切线方程为，则圆心 M 到切线 的距离为 1， 或 0，切线 QA、QB 的方程分别为和（2），（3）设与交于点， 则 ，在中，，即设，则
直线的方程为或 点评:转化是本题的关键,如:第(2)问把切线长转化为圆 外一点到圆心的距离;第(3)问把弦长转化为圆心到弦所在 直线的距离,再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离. 弦长、切线长问题经常要这种转化 例3已知圆0的方程为且与圆0相切 (1)求直线的方程 (2)设圆0与x轴交与P,Q两点,M是圆0上异于P,Q的 任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为,直线PM交直线于 点,直线QM交直线于点。求证:以为直径的圆C总过定点, 并求出定点坐标 (1)∵直线过点,且与圆:相切, 设直线的方程为,即, 则圆心到直线的距离为,解得, ∴直线的方程为,即 (2)对于圆方程,令,得,即.又直线过点且与轴垂直,∴直 线方程为,设,则直线方程为 解方程组,得同理可得, ∴以为直径的圆的方程为, 又,∴整理得, 若圆经过定点,只需令,从而有,解得, ∴圆总经过定点坐标为
直线的方程为或 点评：转化是本题的关键，如：第（2）问把切线长转化为圆 外一点到圆心的距离；第（3）问把弦长转化为圆心到弦所在 直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离. 弦长、切线长问题经常要这种转化. 例 3 已知圆 O 的方程为且与圆 O 相切. （1） 求直线的方程； （2） 设圆 O 与 x 轴交与 P,Q 两点，M 是圆 O 上异于 P,Q 的 任意一点，过点 A 且与 x 轴垂直的直线为，直线 PM 交直线于 点，直线 QM 交直线于点。求证：以为直径的圆 C 总过定点， 并求出定点坐标. （1）∵直线过点，且与圆：相切， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， ∴直线的方程为，即． （2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直 线方程为，设，则直线方程为 解方程组,得同理可得, ∴以为直径的圆的方程为， 又，∴整理得， 若圆经过定点，只需令，从而有，解得， ∴圆总经过定点坐标为．
例4已知圆,相互垂直的两条直线、都过点 (Ⅰ)若、都和圆相切,求直线、的方程 (Ⅱ)当时,若圆心为的圆和圆外切且与直线、都相切,求 圆的方程 (Ⅲ)当时,求、被圆所截得弦长之和的最大值. 解答:(Ⅰ)显然,、的斜率都是存在的,设,则 则由题意,得, 解得且,即且 ∴、的方程分别为与或与 (Ⅱ)设圆的半径为,易知圆心到点的距离为,∴解得且, ∴圆的方程为 (Ⅲ)当时,设圆的圆心为,、被圆所截得弦的中点分别为, 弦长分别为,因为四边形是矩形,所以,即 ,化简得从而,即、被圆所截得弦长之和的最大值为 变式题1:已知方程,求的最大值 解:圆方程可化为 圆心为半径为, 由几何意义可知,的最大值为 变式题2:若实数满足,求的最大值 解:由题意知, 由几何意义可知,的最大值为 变式题3:已知点,为圆上任一点,求的最大值及最小值
例 4 已知圆，相互垂直的两条直线、都过点. （Ⅰ）若、都和圆相切，求直线、的方程； （Ⅱ）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线、都相切，求 圆的方程； （Ⅲ）当时，求、被圆所截得弦长之和的最大值. 解答：（Ⅰ）显然，、的斜率都是存在的，设，则 则由题意，得， 解得且 ，即且 ∴、的方程分别为与或与 （Ⅱ）设圆的半径为，易知圆心到点的距离为，∴解得且， ∴圆的方程为 （Ⅲ）当时，设圆的圆心为，、被圆所截得弦的中点分别为， 弦长分别为，因为四边形是矩形，所以,即 ，化简得从而，即、被圆所截得弦长之和的最大值为 变式题 1：已知方程，求的最大值. 解：圆方程可化为 圆心为 半径为， 由几何意义可知，的最大值为. 变式题 2：若实数满足，求的最大值. 解：由题意知， 由几何意义可知，的最大值为. 变式题 3：已知点，为圆上任一点，求 的最大值及最小值
解:最大值为7,最小值为3 四、课堂精练 1.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线1:x-y+3=0, 当直线1被圆C截得的弦长为时,则a=.答案: 2.直线与轴的交点分别为A、B,O为坐标原点,则内切圆的 方程为.答案: 3.过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程 为答案:4.已知圆C1:与圆C2相交于A,B两点, 则线段AB的中垂线方程为.答案:x+y-3=0 五、回顾小结: 1.方程中含有三个参变数,因此必须具备三个独立的条件, 才能确定一个圆,还要注意圆的一般式方程与它的标准方程 的转化 2.在确定圆的方程时,应根据已知条件与圆的标准方程和 圆的一般方程的各自特点,灵活选用圆方程的形式.在解题 时注意运用平面几何知识及数形结合的思想 3.使用待定系数法的一般步骤:(1)根据题意,选择标准方 程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的 方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或 般方程. 分层训练 1.能够使得圆x2+y2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线
解：最大值为 7，最小值为 3 四、课堂精练 1.已知圆 C：（x-a）2+(y-2)2=4 (a＞0)及直线 l:x-y+3=0, 当直线 l 被圆 C 截得的弦长为时，则 a=. 答案： 2.直线与轴的交点分别为 A、B，O 为坐标原点，则内切圆的 方程为.答案： 3.过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程 为 .答案：4.已知圆 C1：与圆 C2 相交于 A，B 两点， 则线段 AB 的中垂线方程为.答案：x+y-3=0 五、回顾小结： 1．方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件， 才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程 的转化. 2．在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和 圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式．在解题 时注意运用平面几何知识及数形结合的思想． 3． 使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方 程或一般方程；⑵根据条件列出关于 a,b, r 或 D, E, F 的 方程组；⑶ 解出 a,b, r 或 D, E, F ，代入标准方程或一 般方程. 分层训练 1. 能够使得圆 x2+y2-2x+4y+1=0 上恰有两个点到直线
2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围 为.答案: 2.若圆始终平分圆的周长,则实数应满足 的关系是 解:公共弦所在的直线方程为 圆始终平分圆的周长 圆的圆心在直线上即3.已知两圆相交于两点,两圆圆心都在 直线上,则的值是 解:两点关于直线对称,线段的中点(3,1)在直线上, 4.已知曲线,点及点,以点A观察点B,要使视线不被曲 线C挡住,则a的取值范围是.答案: 5.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴 上的截距的绝对值相等,求此切线的方程 解∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等, ∴切线的斜率是±1,或切线过原点 当切线不过原点时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别 代入圆C的方程得 2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0.或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0, 由于相切,则方程有等根,∴Δ1=0,即[2(b-3)] 2-4×2×(b2-4b+3)=-b2+2b+3=0, ∴b=3或-1,△2=0,即[2(c-1)] 2-4×2×(c2-4c+3)=-c2+6c-5=0
2x+y+c=0 距离等于 1 的 c 的取值范围 为.答案： 2. 若圆始终平分圆的周长,则实数应满足 的关系是. 解：公共弦所在的直线方程为 圆始终平分圆的周长 圆的圆心在直线上即 3.已知两圆相交于两点,两圆圆心都在 直线上,则的值是 解:两点关于直线对称,, 线段的中点(3,1)在直线上, 4.已知曲线，点及点，以点 A 观察点 B，要使视线不被曲 线 C 挡住，则 a 的取值范围是. 答案： 5.已知圆 C：x2+y2+2x-4y+3=0.若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴 上的截距的绝对值相等，求此切线的方程. 解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1，或切线过原点. 当切线不过原点时，设切线方程为 y=-x+b 或 y=x+c,分别 代入圆 C 的方程得 2x2-2（b-3）x+（b2-4b+3）=0.或 2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0, 由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0，即［2(b-3)］ 2-4×2×（b2-4b+3)=-b2+2b+3=0, ∴b=3 或-1,Δ2=0,即［2(c-1)］ 2-4×2×(c2-4c+3)=-c2+6c-5=0
∴c=5或1,当切线过原点时,设切线为y=kx,即kx-y=0 由=,得k=2±,∴y=(2±)x 故所求切线方程为:x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0, x-y+1=0,y=(2±)x 6.已知过点的动直线与圆:相交于、两点,是中点,与直 线:相交于 (1)求证:当与垂直时,必过圆心 (2)当时,求直线的方程 (3)探索是否与直线的倾斜角有关,若无关,请求出其值; 若有关,请说明理由 解:(1)∵与垂直,且,∴, 故直线方程为,即 圆心坐标(0,3)满足直线方程, ∴当与垂直时,必过圆心 (2)①当直线与轴垂直时,易知符合题意 ②当直线与轴不垂直时 设直线的方程为,即, 则由,得,∴直线: 故直线的方程为或 (3) ①当与轴垂直时,易得,则,又,∴当的斜率存在时,设直
∴c=5 或 1,当切线过原点时，设切线为 y=kx,即 kx-y=0. 由=，得 k=2±,∴y=(2±)x. 故所求切线方程为：x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0， x-y+1=0,y=(2±)x. 6. 已知过点的动直线与圆：相交于、两点，是中点，与直 线：相交于. （１）求证：当与垂直时，必过圆心； （２）当时，求直线的方程； （３）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值； 若有关，请说明理由. 解：（１）∵与垂直，且，∴， 故直线方程为，即 ∵圆心坐标（0，3）满足直线方程， ∴当与垂直时，必过圆心 （２）①当直线与轴垂直时, 易知符合题意 ②当直线与轴不垂直时, 设直线的方程为，即， ∵，∴， 则由，得, ∴直线：. 故直线的方程为或 （３）∵,∴ ① 当与轴垂直时，易得，则,又,∴当的斜率存在时，设直
线的方程为, 则由,得(),则 综上所述,与直线的斜率无关,且 六、拓展延伸 1.判断点A(1,2),B(0,1),C(7,-6),D(4,3)是否 在同一个圆上 2.已知的三个顶点的坐标分别为,,以原点为圆心的圆与三 角形有唯一的公共点,求圆的方程 解析:原点到三角形三边的最近距离是1,原点到三角形三 个顶点的最远距离是, 故所求圆的方程为或 3.已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距 离的一半, 求:(1)动点M形成的曲线方程;(2)若N为线段AM的中 点,试求点N形成的曲线 七、课后作业 创新课时训练16课时 八、教学后记:
线的方程为， 则由，得（）,则 ∴= 综上所述，与直线的斜率无关，且. 六、 拓展延伸 1.判断点 A（1,2），B（0,1），C（7，-6），D（4,3）是否 在同一个圆上. 2.已知的三个顶点的坐标分别为，，以原点为圆心的圆与三 角形有唯一的公共点，求圆的方程. 解析：原点到三角形三边的最近距离是 1，原点到三角形三 个顶点的最远距离是， 故所求圆的方程为或 3.已知动点 M 到点 A（2，0）的距离是它到点 B（8，0）的距 离的一半， 求：（1）动点 M 形成的曲线方程；（2）若 N 为线段 AM 的中 点，试求点 N 形成的曲线． 七、课后作业 创新课时训练 16 课时 八、教学后记：