《圆的一般方程》教案 、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而 求出圆心的坐标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程 (二)能力训练点 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待定系数法由已知条件 导出圆的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程,培养学生用配方 法和待定系数法解决实际问题的能力 (三)学科渗透点 通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和 基本方法打下牢固的基础 教材分析 1.重点:(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;(2)能用 待定系数法,由已知条件导出圆的方程. (解决办法:(1)要求学生不要死记配方结果,而要熟练掌握通过配方求圆心 和半径的方法;(2)加强这方面题型训练.) 2.难点:圆的一般方程的特点 (解决办法:引导学生分析得出圆的一般方程的特点,并加以记忆.) 3.疑点:圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F>0 (解决办法:通过对方程配方分三种讨论易得限制条件.) 、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板. 四、教学过程 (一)复习引入新课 前面,我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-2=0.可见,任何一个圆的方程都可以写成 第1页共6页
第 1 页 共 6 页 《圆的一般方程》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而 求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (二)能力训练点 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件 导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方 法和待定系数法解决实际问题的能力． (三)学科渗透点 通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和 基本方法打下牢固的基础． 二、教材分析 1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用 待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心 和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．) 2．难点：圆的一般方程的特点． (解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．) 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件 D2+E2-4F＞0． (解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．) 三、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板． 四、教学过程 (一)复习引入新课 前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成
x2+y2+Dx+Ey+F=0.请大家思考一下:形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不 是圆?下面我们来深入研究这一方面的问题.复习引出课题为“圆的一般方程” (二)圆的一般方程的定义 1.分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得: (x+)2+(+)2D2+E2-4F 4 (1)当D2+E2-4F>0时,方程(1)与标准方程比较,可以看出方程 x2+y2+D+Ey+F=0表示以D,-)为圆心、1√+E2-4为 半径的圆; (2)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dz+Ey+F=0只有实数 E D E 解x=2=2·所以表示一个了2 (3)当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程 (三)圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题 问题:比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy 2+DX+Ey+F=0 (2) 与圆的一般方程 第2页共6页
第 2 页 共 6 页 x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程的曲线是不 是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”． (二)圆的一般方程的定义 1．分析方程 x3+y2+Dx+Ey+F=0 表示的轨迹 将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 左边配方得： (1) (1)当 D2+E2-4F＞0 时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程 半径的圆； (3)当 D2+E2-4F＜0 时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 没有实数解，因而它不表示 任何图形． 这时，教师引导学生小结方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的轨迹分别是圆、 法． 2．圆的一般方程的定义 当 D2+E2-4F＞0 时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程． (三)圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题： 问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0． (2) 与圆的一般方程
2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0) 的系数可得出什么结论?启发学生归纳结论 当二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件: (1)x2和y2的系数相同,不等于零,即A=C≠0 (2)没有xy项,即B=0 (3)D2+E2-4AF>0 它才表示圆.条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出 教师还要强调指出: (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件,但不是充分条件 2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件 (四)应用与举例 同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三 个系数D、E、F,因此必具备三个独立的条件,才能确定一个圆.下面看一看它 们的应用. 例1求下列圆的半径和圆心坐标: (1)x2+y2-8x+6y=0 (2)x2+y2+2by=0 此例由学生演板,教师纠错,并给出正确答案:(1)圆心为(4,-3),半径为 5;(2)圆心为(0,-b),半径为|b|,注意半径不为b 同时强调:由圆的一般方程求圆心坐标和半径,一般用配方法,这要熟练掌 握 例2求过三点0(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由0、A、B在圆上,则有 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解得:D=-8,E=6,F=0, 故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0 例2小结 第3页共6页
第 3 页 共 6 页 x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)． (3) 的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论． 当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 具有条件： (1)x2 和 y2 的系数相同，不等于零，即 A=C≠0； (2)没有 xy 项，即 B=0； (3)D2+E2-4AF＞0． 它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以 A 或 C 配方不难得出． 教师还要强调指出： (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件； (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件． (四)应用与举例 同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 一样，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 也含有三 个系数 D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它 们的应用． 例 1 求下列圆的半径和圆心坐标： (1)x2+y2-8x+6y=0， (2)x2+y2+2by=0． 此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为 5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为 b． 同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌 握． 例 2 求过三点 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，由 O、A、B 在圆上，则有 解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为 x2+y2-8x+6=0． 例 2 小结：
1.用待定系数法求圆的方程的步骤: (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式 (2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程 (3)解方程组,求出a、b、r或D、E、F的值,代入所设方程,就得要求的 方程 2.关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程:一般说来,如果由已 知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往 设圆的标准方程;如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一 般方程.再看下例: 例3求圆心在直线l:x+y=0上,且过两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和 C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程 解:解方程组+y2-2+10y-24=0 x2+y2+2x+2y-8=0, 得两圆交点为(-4,0) (0,2) 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线 1上所以得方程组为 a+b=0 解得:a=-3,b=3,r=√10. 故所求圆的方程为:(x+3)2+(y-3)2=10 这时,教师指出 (1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的 问题,往往设圆的标准方程. (2)此题也可以用圆系方程来解: 设所求圆的方程为 x2+y2-2x+10y-24+X(x2+y2+2x+2y-8)=0(X≠-1) 整理并配方得 第4页共6页
第 4 页 共 6 页 1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程； (3)解方程组，求出 a、b、r 或 D、E、F 的值，代入所设方程，就得要求的 方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已 知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往 设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一 般方程．再看下例： 例 3 求圆心在直线 l：x+y=0 上，且过两圆 C1∶x2+y2-2x+10y-24=0 和 C2∶x2+y2+2x+2y-8=0 的交点的圆的方程． (0，2)． 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线 l 上所以得方程组为 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． 这时，教师指出： (1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的 问题，往往设圆的标准方程． (2)此题也可以用圆系方程来解： 设所求圆的方程为： x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1) 整理并配方得：
+X。24+8X1 5+入 ++1+x)2=1+X+(1+x)+(1+x) 1-入 圆心为( 由圆心在直线l上得λ=-2. 将入=2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.此法 到圆与圆的位置关系中再介绍,此处为学生留下悬念 例4已知一曲线是与两定点(0,0)、A(3,0距离的比为的点 的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线 此例请两位学生演板,教师巡视,并提示学生: (1)由于曲线表示的图形未知,所以只能用轨迹法求曲线方程,设曲线上任 点M(x,y),由求曲线方程的一般步骤可求得: (2)应将圆的一般方程配方成标准方程,进而得出圆心坐标、半径,画出图 形 (五)小结 1.圆的一般方程的定义及特点; 2.用配方法求出圆的圆心坐标和半径; 用待定系数法,导出圆的方程 五、布置作业 1.求下列各圆的一般方程 (1)过点A(5,1),圆心在点C(8,-3) (2)过三点A(-1,5)、B(5,5)、C(6,-2) 2.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线 xy-4=0上的圆的方程 3.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么 4.A、B、C为已知直线上的三个定点,动点P不在此直线上,且使∠APB ∠BPC,求动点P的轨迹 作业答案 1.(1)x2+y2-16x+6y+48=0 第5页共6页
第 5 页 共 6 页 由圆心在直线 l 上得λ=-2． 将 λ=-2 代入所假设的方程便可得所求圆的方程为 x2+y2+6x-6y+8=0．此法 到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念． 的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线． 此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生： (1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任 一点 M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得； (2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图 形． (五)小结 1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 五、布置作业 1．求下列各圆的一般方程： (1)过点 A(5，1)，圆心在点 C(8，-3)； (2)过三点 A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)． 2．求经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点，并且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程． 3．等腰三角形的顶点是 A(4，2)，底边一个端点是 B(3，5)，求另一个端点 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么． 4．A、B、C 为已知直线上的三个定点，动点 P 不在此直线上，且使∠APB= ∠BPC，求动点 P 的轨迹． 作业答案： 1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0
(2)x2+y2-4x-2y-20=0 2.x2+y2-x+7y-32=0 3.所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3,x≠5),轨迹是以 A为圆心、√10为半径的圆,但除去两点 4.以B为原点,直线ABC为x轴建立直角坐标系,令A(-a,0),C(c,0)(a >0,c>0),P(x,y),可得方程为: (a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0 当a=c时,则得x=0(y≠0),即y轴去掉原点:当a≠c时,则得(x +y2=()2,即以(,0为圆心、为半径的圆去掉它 与x轴的两个交点 六.板书设计 §2.6圓的一般方程 (一)圆的一般方程的定义 三)应用与举例例 例1 x2+y2+Dx+Ey+=0表示的轨 例2 2.定义 小结 (四)小结 (二圆的一般方程的特点 第6页共6页
第 6 页 共 6 页 (2)x2+y2-4x-2y-20=0 2．x2+y2-x+7y-32=0 3．所求的轨迹方程为 x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以 4．以 B 为原点，直线 ABC 为 x 轴建立直角坐标系，令 A(-a，0)，C(c，0)(a ＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为： (a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0． 当 a=c 时，则得 x=0(y≠0)，即 y 轴去掉原点；当 a≠c 时，则得(x- 与 x 轴的两个交点． 六．板书设计