人教A版高中数学必修2第四章圆与方程4.1 圆的方程习题(3).doc_大学文库

圆的参数方程 1.已知曲线 C 的参数方程为   x＝2cos θ y＝3sin θ ，(θ 为参数，0≤θ<2π)判断点 A(2，0)， B   －  3， 3 2 是否在曲线 C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．解：将点 A(2，0)的坐标代入    x＝2cos θ y＝3sin θ ，得    cos θ＝1， sin θ＝0. 由于 0≤θ<2π，解得 θ＝0，所以点 A(2，0)在曲线 C 上，对应 θ＝0. 将点 B    －  3， 3 2 的坐标代入    x＝2cos θ y＝3sin θ ，得    － 3＝2cos θ， 3 2 ＝3sin θ，即   cos θ＝－ 3 2 ， sin θ＝ 1 2 . 由于 0≤θ<2π，解得 θ＝ 5π 6 ，所以点 B    －  3， 3 2 在曲线 C 上，对应 θ＝ 5π 6 . 2.已知曲线 C 的参数方程是   x＝2t y＝3t 2－1 ，(t为参数)． (1)判断点 M1(0，－1)和 M2(4，10)与曲线 C 的位置关系； (2)已知点 M(2，a)在曲线 C 上，求 a的值． [思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组． [解] (1)把点 M1(0，－1)的坐标代入参数方程    x＝2t， y＝3t 2－1，得    0＝2t －1＝3t 2－1 ，∴t＝ 0. 即点 M1(0，－1)在曲线 C 上．把点 M2(4，10)的坐标代入参数方程    x＝2t， y＝3t 2－1，得    4＝2t 10＝3t 2－1 ，方程组无解．即点 M2(4，10)不在曲线 C 上． (2)∵点 M(2，a)在曲线 C 上， ∴    2＝2t， a＝3t 2－1. ∴t＝1，a＝3×1 2－1＝2. 即 a 的值为 2. 3.已知曲线 C 的参数方程为   x＝t 2＋1 y＝2t ，(t为参数)． ①判断点 A(1，0)，B(5，4)，E(3，2)与曲线 C 的位置关系； ②若点 F(10，a)在曲线 C 上，求实数 a 的值．解：①把点 A(1，0)的坐标代入方程组，解得 t＝0，所以点 A(1，0)在曲线上．把点 B(5，4)的坐标代入方程组，解得 t＝2，所以点 B(5，4)也在曲线上．把点 E(3，2)的坐标代入方程组，得到    3＝t 2＋1， 2＝2t，即   t＝± 2， t＝1. 故 t 不存在，所以点 E 不在曲线上． ②令 10＝t 2＋1，解得 t＝±3，故 a＝2t＝±6. 4.(1)曲线 C：   x＝t y＝t－2 ，(t为参数)与 y 轴的交点坐标是____________．解析：令 x＝0，即 t＝0 得 y＝－2，∴曲线 C 与 y 轴交点坐标是(0，－2)．答案：(0，－2)

(2)在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：    x＝t＋1 y＝1－2t ，(t 为参数)与曲线 C2：    x＝asin θ y＝3cos θ ，(θ 为参数，a>0)有一个公共点在 x 轴，则 a＝________．解析：由 y＝0 知 1－2t＝0，t＝ 1 2 ，所以 x＝t＋1＝ 1 2 ＋1＝ 3 2 .令 3cos θ＝0，则 θ＝ π 2 ＋kπ(k∈Z)，sin θ＝±1，所以3 2 ＝±a.又 a>0，所以 a＝ 3 2 . 答案：3 2 5.已知某条曲线 C 的参数方程为   x＝1＋2t y＝at2 ，(其中 t 为参数，a∈R)．点 M(5，4)在该曲线上，则常数 a＝________．解析：∵点 M(5，4)在曲线 C 上， ∴    5＝1＋2t 4＝at2 ，解得    t＝2， a＝1. ∴a 的值为 1. 答案：1 6.圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4 的一个参数方程为____________．解析：令 x＋1 2 ＝cos θ， y－1 2 ＝sin θ 得    x＝－1＋2cos θ y＝1＋2sin θ (θ 为参数)．答案：    x＝－1＋2cos θ y＝1＋2sin θ (θ 为参数)(注本题答案不唯一) 7.已知圆的普通方程 x 2＋y 2＋2x－6y＋9＝0，则它的参数方程为____________．解析：由 x 2＋y 2＋2x－6y＋9＝0，得(x＋1)2＋(y－3)2＝1. 令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，所以参数方程为    x＝－1＋cos θ y＝3＋sin θ ，(θ 为参数)．答案：    x＝－1＋cos θ y＝3＋sin θ ，(θ 为参数)(注答案不唯一) 8.圆(x＋2)2＋(y－3)2＝16 的参数方程为( ) A.    x＝2＋4cos θ y＝－3＋4sin θ ，(θ 为参数) B.    x＝－2＋4cos θ y＝3＋4sin θ ，(θ 为参数) C.    x＝2－4cos θ y＝3－4sin θ ，(θ 为参数) D.    x＝－2－4cos θ y＝3－4sin θ ，(θ 为参数) 解析：选 B.∵圆(x－a) 2＋(y－b) 2＝r 2 的参数方程为    x＝a＋rcos θ y＝b＋rsin θ ，(θ 为参数) ∴圆(x＋2)2＋(y－3)2＝16 的参数方程为    x＝－2＋4cos θ y＝3＋4sin θ ，(θ 为参数) 9.已知圆的方程为 x 2＋y 2＝2x，则它的一个参数方程是____________．解析：将 x 2＋y 2＝2x 化为(x－1)2＋y 2＝1 知圆心坐标为(1，0)，半径 r＝1，∴它的一个参数方程为    x＝1＋cos θ y＝sin θ (θ 为参数)．答案：    x＝1＋cos θ y＝sin θ (θ 为参数) 10.已知圆 P：   x＝1＋ 10cos θ y＝－3＋ 10sin θ ，(θ 为参数)，则圆心 P 及半径 r 分别是( ) A．P(1，3)，r＝10 B．P(1，3)，r＝ 10 C．P(1，－3)，r＝ 10 D．P(1，－3)，r＝10 解析：选 C.由圆 P 的参数方程可知圆心 P(1，－3)，半径 r＝ 10. 11.圆的参数方程为   x＝2＋2cos θ y＝2sin θ ，(θ 为参数)，则圆的圆心坐标为( ) A．(0，2) B．(0，－2)

C．(－2，0) D．(2，0) 解析：选 D.由    x＝2＋2cos θ y＝2sin θ 得(x－2)2＋y 2＝4，其圆心为(2，0)，半径 r＝2. 12.直线：3x－4y－9＝0 与圆：   x＝2cos θ y＝2sin θ (θ 为参数)的位置关系是( ) A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心解析：选 D.圆心坐标为(0，0)，半径为 2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离 d＝ 9 5 <2，故选 D. 13.已知圆 C：    x＝－3＋2sin θ y＝2cos θ ，(θ∈[0，2π)，θ 为参数)与 x 轴交于 A，B 两点，则 |AB|＝________．解析：令 y＝2cos θ＝0，则 cos θ＝0，因为 θ∈[0，2π)，故 θ＝ π 2 或 3π 2 ，当 θ＝ π 2 时，x＝－3＋2sin π 2 ＝－1，当 θ＝ 3π 2 时，x＝－3＋2sin 3π 2 ＝－5，故|AB|＝|－1＋5|＝4. 答案：4 14.已知动圆 x 2＋y 2－2xcos θ－2ysin θ＝0.求圆心的轨迹方程．解：设 P(x，y)为所求轨迹上任一点．由 x 2＋y 2－2xcos θ－2ysin θ＝0 得： (x－cosθ) 2＋(y－sin θ) 2＝cos2θ＋sin2θ， ∴    x＝cos θ y＝sin θ 这就是所求的轨迹方程． 15.P 是以原点为圆心，r＝2 的圆上的任意一点，Q(6，0)，M 是 PQ 中点， (1)画图并写出⊙O 的参数方程； (2)当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹的参数方程．解：(1)如图所示， ⊙O 的参数方程    x＝2cos θ， y＝2sin θ. (2)设 M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，因 Q(6，0)， ∴M 的参数方程为   x＝ 6＋2cos θ 2 ， y＝ 2sin θ 2 ，即    x＝3＋cos θ， y＝sin θ. 16.已知点 P(2，0)，点 Q 是圆   x＝cos θ y＝sin θ 上一动点，求 PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设 Q(cos θ，sin θ)，PQ 中点 M(x，y)，则由中点坐标公式得 x＝ 2＋cos θ 2 ＝ 1 2 cos θ＋1，y＝ 0＋sin θ 2 ＝ 1 2 sin θ. ∴所求轨迹的参数方程为   x＝ 1 2 cos θ＋1 y＝ 1 2 sin θ (θ 为参数) 消去 θ 可化为普通方程为(x－1)2＋y 2＝ 1 4 ，它表示以(1，0)为圆心、半径为1 2 的圆． 17.设 Q(x1，y1)是单位圆 x 2＋y 2＝1 上一个动点，则动点 P(x 2 1－y 2 1，x1y1)的轨迹方程是

____________．解析：设 x1＝cos θ，y1＝sin θ，P(x，y)．则    x＝x 2 1－y 2 1＝cos 2θ， y＝x1y1＝ 1 2 sin 2θ. 即    x＝cos 2θ， y＝ 1 2 sin 2θ，为所求．答案：    x＝cos 2θ y＝ 1 2 sin 2θ 18.已知 P 是曲线   x＝2＋cos α y＝sin α ，(α 为参数)上任意一点，则(x－1)2＋(y＋1)2 的最大值为________．解析：将    x＝2＋cos α y＝sin α 代入(x－1)2＋(y＋1)2 得(1＋cos α) 2＋(1＋sin α) 2＝2sin α＋ 2cos α＋3＝ 2 2sin    α＋ π 4 ＋3， ∴当 sin    α＋ π 4 ＝1 时有最大值为 3＋2 2. 答案：3＋2 2 19.已知点 P(x，y)在曲线 C：    x＝1＋cos θ y＝sin θ ，(θ 为参数)上，则 x－2y 的最大值为( ) A．2 B．－2 C．1＋ 5 D．1－ 5 解析：选 C.由题意，得    x＝1＋cos θ， y＝sin θ，所以 x－2y＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ) ＝1－ 5     2 5 sin θ－ 1 5 cos θ ＝1－ 5sin(θ－φ)    其中  tan φ＝ 1 2 ，所以 x－2y 的最大值为 1＋ 5. 20.已知曲线 C 的参数方程为   x＝1＋cos θ y＝sin θ ，(θ 为参数)，求曲线 C 上的点到直线 l：x －y＋1＝0 的距离的最大值．解：点 C(1＋cos θ，sin θ)到直线 l 的距离 d＝ |1＋cos θ－sinθ＋1| 1 2＋1 2 ＝ |2＋cos θ－sin θ| 2 ＝     2＋ 2cos     θ＋ π 4 2 ≤ 2＋ 2 2 ＝ 2＋1，即曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离为 2＋1. 21.(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为   x＝acos t， y＝1＋asin t， (t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ ＝4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0满足 tan α0＝2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3 上，求 a. [解] (1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x 2＋(y－1)2＝a 2 .C1 是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 ρ 2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组    ρ 2－2ρsin θ＋1－a 2＝0， ρ＝4cos θ. 若 ρ≠0，由方程组得 16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知 tan θ＝2，可得 16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而 1－a 2＝0，解得 a＝－1(舍去)或 a＝1

a＝1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，在 C3 上．所以 a＝1. 22.若 P(x，y)是曲线   x＝2＋cos α y＝sin α ，(α 为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2 的最大值为( ) A．36 B．6 C．26 D．25 解析：选 A.依题意 P(2＋cos α，sin α)， ∴(x－5)2＋(y＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－ φ)(其中 cos φ＝ 4 5 ，sin φ＝ 3 5 ) ∴当 sin(α－φ)＝1，即 α＝2kπ＋ π 2 ＋φ(k∈Z)时，有最大值为 36. 23.已知点 P    1  2 ， 3 2 ，Q 是圆   x＝cos θ y＝sin θ ，(θ 为参数)上的动点，则|PQ|的最大值是 ________．解析：由题意，设点 Q(cos θ，sin θ)，则|PQ|＝     cos θ－ 1 2 2 ＋    sin θ－ 3 2 2 ＝ 2－ 3sin θ－cos θ ＝ 2－2sin     θ＋ π 6 故|PQ|max＝ 2＋2＝2. 答案：2 24.已知曲线方程   x＝1＋cos θ y＝sin θ ，(θ 为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．解析：设曲线上动点为 P(x，y)，定点为 A，则|PA|＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2 ＝ 9＋4 2sin     θ＋ π 4 ，故|PA|min＝ 9－4 2＝2 2－1. 答案：2 2－1 25.已知圆 C    x＝cos θ y＝－1＋sin θ ，与直线 x＋y＋a＝0 有公共点，求实数 a 的取值范围．解：法一：∵    x＝cos θ， y＝－1＋sin θ 消去 θ，得 x 2＋(y＋1)2＝1. ∴圆 C 的圆心为(0，－1)，半径为 1. ∴圆心到直线的距离 d＝ |0－1＋a| 2 ≤1. 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2. 法二：将圆 C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0，即 a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－ 2sin    θ＋ π 4 . ∵－1≤sin    θ＋ π 4 ≤1，∴1－ 2≤a≤1＋ 2. 26.设 P(x，y)是圆 x 2＋y 2＝2y 上的动点． ①求 2x＋y 的取值范围； ②若 x＋y＋c≥0 恒成立，求实数 c 的取值范围．解：圆的参数方程为    x＝cos θ y＝1＋sin θ ，(θ 为参数)． ①2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝ 5sin(θ＋φ)＋1(φ 由 tan φ＝2 确定)，∴1－ 5≤2x＋ y≤1＋ 5. ②若 x＋y＋c≥0 恒成立，即 c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切 θ∈R 成立．

且－(cos θ＋sin θ＋1)＝－ 2sin    θ＋ π 4 －1 的最大值是 2－1，则当 c≥ 2－1 时，x＋y＋c≥0 恒成立． 27.已知圆的极坐标方程为 ρ 2－4 2ρcos    θ－ π 4 ＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点 P(x，y)在该圆上，求 x＋y 的最大值和最小值． [解] (1)由 ρ 2－4 2ρcos    θ－ π 4 ＋6＝0，得 ρ 2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即 x 2＋y 2－4x－4y＋6＝0， ∴圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，3 分令 x－2＝ 2cos α，y－2＝ 2sin α，得圆的参数方程为  x＝2＋ 2cos α y＝2＋ 2sin α ，(α 为参数)6 分 (2)由(1)知 x＋y＝4＋ 2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin    α＋ π 4 ，9 分又－1≤sin    α＋ π 4 ≤1，故 x＋y 的最大值为 6，最小值为 2.12 分 28.圆的直径 AB上有两点 C，D，且|AB|＝10，|AC|＝|BD|＝4，P 为圆上一点，求|PC| ＋|PD|的最大值．解：如图所示，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．圆的参数方程为    x＝5cos θ， y＝5sin θ (θ 为参数)．易知点 C(－1，0)，D(1，0)．因为点 P 在圆上，所以可设 P(5cos θ，5sin θ)．所以|PC|＋|PD| ＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2 ＝ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ ＝（ 26＋10cos θ＋ 26－10cos θ）2 ＝ 52＋2 262－100cos2θ. 当 cos θ＝0 时，|PC|＋|PD|有最大值为 2 26. 29.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，θ∈    0， π 2 . (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D在 C上，C 在 D处的切线与直线 l：y＝ 3x＋2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x－1)2＋y 2＝1(0≤y≤1)．可得 C 的参数方程为    x＝1＋cos t， y＝sin t (t 为参数，0≤t≤π)． (2)设 D(1＋cos t，sin t)，由(1)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆．因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同，tan t＝ 3，t＝ π 3 . 故 D 的直角坐标为    1＋cos π 3 ，sin π 3 ，即   3  2 ， 3 2

人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程习题(3)

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