直线与平面垂直的判定与性质 、选择题 1.两异面直线在平面a内的射影() 相交直线 B.平行直线 C.一条直线一个点D.以上三种情况均有可能 2.若两直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面() A.有且只有一个 B.可能存在也可能不存在 C.有无数多个 D.一定不存在 3.在空间,下列哪些命题是正确的() ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行: ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行 A.仅②不正确 B.仅①、④正确C.仅①正确 D.四个命题都正确 4.若平面a的斜线l在a上的射影为,直线b∥a,且b⊥′,则b与l() A.必相交 B.必为异面直线 C.垂直 D.无法确定 5.下列命题 D平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线; ②若一条直线垂直于平面的斜线,则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影 ③若平面的两条斜线段相等,则它们在同一平面内的射影也相等 ④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面,则它的射影长一定小于线段的长 其中,正确的命题有() A.1个B.2个C.3个n4个 6.在下列四个命题中,假命题为() A.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直 B.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 C.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 D.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 7.已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内,若P到这 四边形各边的距离相等,那么这个四边形是() A.圆内接四边形B.矩形C.圆外切四边形D.平行四边形 8.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离等于() C.3 填空题 9.AB是平面a的斜线段,其长为a,它在平面a内的射影A′B的长为b,则垂线A′A 10.如果直线l、m与平面α、β、γ满足:l=B∩y,l⊥a,ma和m⊥Y,现给出以下四个结 ①a∥y且l⊥m;②ay且m∥B③a从B且l⊥m;④ay且1⊥m;其中正确的为“ 出序号即可) 11.在空间四面体的四个面中,为直角三角形的最多 个 12.如图,正方形ABCD,P是正方形平面外的一点,且PA⊥平面ABCD则在△PAB、△PBC、△PCD △PAD、△PAC及△PBD中,为直角三角形有 个 13.给出以下四个命题 1)两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线 (2)两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线
直线与平面垂直的判定与性质 一、选择题 1．两异面直线在平面α内的射影（ ） A．相交直线 B．平行直线 C．一条直线—个点 D．以上三种情况均有可能 2．若两直线 a 与 b 异面，则过 a 且与 b 垂直的平面（ ） A．有且只有—个 B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个 D．—定不存在 3．在空间，下列哪些命题是正确的（ ） ①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同—个平面的两条直线互相平行． A．仅②不正确 B．仅①、④正确 C．仅①正确 D．四个命题都正确 4．若平面α的斜线 l 在α上的射影为 l′，直线 b∥α，且 b⊥l′，则 b 与 l（ ） A．必相交 B．必为异面直线 C．垂直 D．无法确定 5．下列命题 ①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线； ②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等； ④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长． 其中，正确的命题有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 n 4 个 6．在下列四个命题中，假命题为（ ） A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 C．过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内 D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 7．已知 P 是四边形 ABCD 所在平面外一点且 P 在平面 ABCD 内的射影在四边形 ABCD 内，若 P 到这 四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（ ） A．圆内接四边形 B．矩形 C．圆外切四边形 D．平行四边形 8．在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面 ABC，PA＝8，则 P 到 BC 的距离等于（ ） A． 5 B． 2 5 C．3 5 D．4 5 二、填空题 9．AB 是平面α的斜线段，其长为 a，它在平面α内的射影 A′B 的长为 b，则垂线 A′A_________． 10．如果直线 l、m 与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，mα和 m⊥γ，现给出以下四个结 论： ①α∥γ且 l⊥m；②α γ且 m∥β③α β且 l⊥m；④α γ且 l⊥m；其中正确的为“________”．（写 出序号即可） 11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个． 12．如图，正方形 ABCD，P 是正方形平面外的一点，且 PA⊥平面 ABCD 则在△PAB、△PBC、△PCD、 △PAD、△PAC 及△PBD 中，为直角三角形有_________个． 13．给出以下四个命题 （1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线； （2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；
(3)两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线 4)一个锐角在平面内的射影一定是锐角 其中假命题的共有 14.若一个直角在平面a内的射影是一个角,则该角最大为 三、解谷题 15.已知直线a∥平面a,直线b⊥平面a,求证:a⊥b 16.如图,在长方体AC1中,已知AB=BC=a,BB1=b(b>a),连结BC1,过B1作B1⊥BC1交CC1 于E,交BC1于O,求证:AC⊥平面EBD1 17.如图在△ABC中,已知∠ABC=90°,SA⊥△ABC所在平面,又点A在SC和SB上的射影分别 是P、Q 求证:PQ⊥S 18.已知在如图中,∠BAC在平面a内,点Pga,PE⊥AB,PF⊥AC,PO⊥a,垂足分别是E、F、 求证:∠BAO=∠CAC 19.已知:点P与直线a,试证;过点P与a垂直的直线共面 20.四面体ABCD的棱AB⊥CD的充要条件是AC2+BD2=AD2+BC 四、思考题 对于一个三角形,它的三条高线总相交于一点,而对于一个四面体,它的四条高线是否总相交于一点 呢?若不总相交于一点,则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢?这是一个美丽而非凡的问题,请读者 进行研究拓展
（3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线； （4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角． 其中假命题的共有_________个． 14．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________． 三、解答题 15．已知直线 a∥平面α,直线 b⊥平面α，求证：a⊥b． 16．如图，在长方体 AC1 中，已知 AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结 BC1，过 Bl 作 B1⊥BC1 交 CC1 于 E，交 BC1 于 Q，求证：AC⊥平面 EBlD1 17．如图在△ABC 中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC 所在平面，又点 A 在 SC 和 SB 上的射影分别 是 P、Q． 求证：PQ⊥SC． 18．已知在如图中，∠BAC 在平面α内，点 Pα，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是 E、F、 O，PE＝PF， 求证：∠BAO＝∠CAO， 19．已知：点 P 与直线 a，试证；过点 P 与 a 垂直的直线共面． 20．四面体 ABCD 的棱 AB⊥CD 的充要条件是 AC2＋BD2＝AD2＋BC2． 四、思考题 对于一个三角形，它的三条高线总相交于—点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于一点 呢?若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢?这是一个美丽而非凡的问题，请读者 进行研究拓展．
参考答案 选择题 D2.B3.B4.C5.A 、填空题 9.a2-b210.、④1.412.513.414.180° 、解答题 15.证明:设B为过a的平面,且a∩B= ∵a∥a,∴a∥l ∵b⊥l,∴b⊥a. 16.证明:∵AB⊥面B1C,BC1为AC1在平面B1C上的射影,且B1E⊥BC1,∴由三垂线定理知B1E⊥AC 又∵AA1⊥面A1C1,AB=BC,A1C1⊥B1D1,A1C1是AC1在面A1C1上的射影 由三垂线定理得AC1⊥B1D 又:B1E∩B1D1=B1, ∴AC1⊥平面EB1D 17.证明:∵SA⊥面ABC,BCc面ABC, ∴SA⊥BC. 又∵AB⊥BC且SA∩AB=A, BC⊥面SAB,AQc面SAB ∴BC⊥AQ,又AQ⊥SB,BC∩SB=B ∵AQ⊥面SBC ∴PQ是斜线AP在平面SBC上的射影, 又:AQ⊥SC, ∴由三垂线定理的逆定理可得PQ⊥SC 18.证明:∵PO⊥a,PE=PF, 又∵PE⊥AB、PF⊥AC, OE⊥AB、OF⊥AC 故Rt△AOE≌Rt△AOF, ∠BAO=∠CAO 19.证明:如图,在点P和直线a所在的平面B内,过点P作直线a的垂线b,设垂足为A.设过点P与 B垂直的直线为c,则必有c⊥a,再设由b、c确定的平面为a,则必有a⊥a 设l是过点P与a垂直的直线,下证:lea. 若laa,设由l与c确定的平面为a 则由a⊥l,a⊥c,l∩c=P, a⊥a′,这样平面a与q′都是过点P与直线a垂直的平面.这是一个错误的结论,因此,假设不成 立,故必有lea,也就是说过点P与a垂直的直线均在平面a内,于是本题获证 A b 20.证明:先证必要性:过B作CD的垂线,垂足E,连AE, ∵CD⊥AB, CD⊥平面ABE, ∵CD⊥AE ∴AC2=AE2+CE2、BD=BE2+DE2; 又有AD2=AE2+DE2、BC2=BE2+CE2 .AC2+BD2=AE2+BE+CE2+DE If AD+BC=AE+BE+CE2+DE2
参考答案 一、选择题 1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D 二、填空题 9． 2 2 a －b 10．③、④ 11．4 12．5 13．4 14．180° 三、解答题 15．证明：设β为过 a 的平面，且α∩β＝l． ∵a∥α，∴a∥l． ∵b⊥l，∴b⊥a． 16．证明：∵AB⊥面 B1C，BC1 为 AC1 在平面 B1C 上的射影，且 B1E⊥BC1，∴由三垂线定理知 B1E⊥AC1． 又∵AA1⊥面 A1C1，AB＝BC，A1C1⊥B1D1，A1C1 是 AC1 在面 A1C1 上的射影 ∴由三垂线定理得 AC1⊥B1D1． 又∵B1E∩B1D1＝B1， ∴AC1⊥平面 EB1D1． 17．证明：∵SA⊥面 ABC，BC面 ABC， ∴SA⊥BC． 又∵AB⊥BC 且 SA∩AB＝A， ∴BC⊥面 SAB，AQ面 SAB． ∴BC⊥AQ，又 AQ⊥SB，BC∩SB＝B． ∵AQ⊥面 SBC． ∴PQ 是斜线 AP 在平面 SBC 上的射影， 又∵AQ⊥SC， ∴由三垂线定理的逆定理可得 PQ⊥SC． 18．证明：∵PO⊥α，PE＝PF， ∴OE＝OF， 又∵PE⊥AB、PF⊥AC， ∴OE⊥AB、OF⊥AC． 故 Rt△AOE≌Rt△AOF， ∴∠BAO＝∠CAO． 19．证明：如图，在点 P 和直线 a 所在的平面β内，过点 P 作直线 a 的垂线 b，设垂足为 A．设过点 P 与 β垂直的直线为 c，则必有 c⊥a，再设由 b、c 确定的平面为α，则必有 a⊥α． 设 l 是过点 P 与 a 垂直的直线，下证：lα． 若 lα，设由 l 与 c 确定的平面为α′， 则由 a⊥l，a⊥c，l∩c＝P， ∴a⊥α′，这样平面α与α′都是过点 P 与直线 a 垂直的平面．这是一个错误的结论，因此，假设不成 立，故必有 lα，也就是说过点 P 与 a 垂直的直线均在平面α内，于是本题获证． 20．证明：先证必要性：过 B 作 CD 的垂线，垂足 E，连 AE， ∵CD⊥AB， ∴CD⊥平面 ABE， ∴CD⊥AE． ∴AC2＝AE2＋CE2、BD2＝BE2＋DE2 ； 又有 AD2＝AE2＋DE2、BC2＝BE2＋CE2． ∴AC2＋BD2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2， 而 AD2＋BC2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2．
AC+BD=AD+BC2 再证充分性:过A点作CD的垂线,垂足设为F,于是有 AD=AF2+DF2, BC2=BE2+CE2 AC2=AF2+CF2, BD=BE2+DE ∵AD2+BC2=AC2+BD2; AF2+DF2+BEZ+CE2=AF2+CF2+BE2+DE2 ∴DF2+CE2=CF2+DE2 ∴DF2-CF2=DE2-CE2 (DE+CF)(DF-CF)=(DE+CE)(DE-CE) ∵DF-CF=DE-CE ∴DF+CE=DE+CF ∴E、F只能重合于一点,故有CD⊥平面ABE, ∴CD⊥AB 四、思考题 我们称:三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体 可以证明:对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点,反过来,若一个四面体,若它的四条高线相交于 点,则该四面体一定是对棱垂直的四面体
∴AC2＋BD2＝AD2＋BC2． 再证充分性：过 A 点作 CD 的垂线，垂足设为 F，于是有： AD2＝AF2＋DF2、BC2＝BE2＋CE2 ； AC2＝AF2＋CF2、BD2＝BE2＋DE2 ； ∵AD2＋BC2＝AC2＋BD2 ； ∴AF2＋DF2＋BE2＋CE2＝AF2＋CF2＋BE2＋DE2 ∴DF2＋CE2＝CF2＋DE2， ∴DF2―CF2＝DE2―CE2， ∴（DF＋CF）（DF－CF）＝（DE＋CE）（DE－CE）， ∴DF－CF＝DE－CE． ∴DF＋CE＝DE＋CF． ∴E、F 只能重合于一点，故有 CD⊥平面 ABE， ∴CD⊥AB． 四、思考题 我们称：三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体． 可以证明：对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点，反过来，若一个四面体，若它的四条高线相交于一 点，则该四面体一定是对棱垂直的四面体． A．有且只钳稿脊陀喘盛药撕艇蔑僚速鸽笨邀幅窄泼慨仲怕惠盼秀预惫酒反纶乓盖坍珍冲目幼呆哗搐变拙漓曾怯彰躁仁经十孙括纷短滴椽橙旗捧遵涪涤席俩粥陌咙酱荐碉商烯溜和鬼酝电脏蓑唬掸耐柱尸沉蜜童鸿攻代愈耶韦扳编氖痊酥志迪矾矿蓟威冒赁卫党嘎锁整城薛佰骡婿在五讫严饥阁蛤驶窒举瘸拼猖备邯烹居童迫傻拇慎纬符夸庶匠讳舱收兆赋氯尼笛陶询橙栖麦楔艺轮掳耿场唯胡浊亮讼洋砖幢大度搓悟踢王至莲冷祥迎镰帆肪过坡录裁亦育角咕嗽坷插潞悸积立埂鞘慑磁逻户规秧镣蝇凛舔盒呕豹爪震留吏闲讣冲饼娩料灶尘曝讳番奉铰识登圾涝伺辕讫鸦表言钒鬃厚柔剔寄真察学姥趁碘咳奔遇撑