直线、平面平行的判定及其性质习题(含答案 单选题 1.已知直线m和不同的平面a,B,下列命题中正确的是 a⊥B A.m⊥B→m/a 8.a⊥β}→m⊥阝 m c a m/=a//BD.a//B→m//B m caz 2已知直线l1:y=ax+3与l2关于直线y=x对称,l2与l3:x+2y-1=0垂直,则a= 3.已知a,B是两个不同的平面,m,n是异面直线且m⊥n,则下列条件能推出a⊥β的 是( A.m/,nB.m⊥a,n//c.m//a,n⊥BD.m⊥a,n⊥B 4.设m,n是不同的直线,a,β,y是不同的平面,有以下四个命题 a1y=By:②m12=mB③mB=a1B1④71a)=ma 其中正确的命题是( A.①②B.①③C.②④D.③④ 5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截 面PBC1平行的截面,则该截面的面积为() P A A.2B.23C.2V6D.4 6.下列命题正确的是 A.四边形确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.经过三点确定—个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 试卷第1页,总6页
试卷第 1 页，总 6 页 直线、平面平行的判定及其性质 习题（含答案） 一、单选题 1．已知直线 和不同的平面 ，下列命题中正确的是 A． 𝛼 ⊥ 𝛽 𝑚 ⊥ 𝛽 } ⇒ 𝑚//𝛼 B． 𝛼 ⊥ 𝛽 𝑚 ⊂ 𝛼 } ⇒ 𝑚 ⊥ 𝛽 C． 𝑚//𝛼 𝑚//𝛽 } ⇒ 𝛼//𝛽 D． 𝛼//𝛽 𝑚 ⊂ 𝛼 } ⇒ 𝑚//𝛽 2．已知直线 1 l y ax : 3 = + 与 2 l 关于直线 y x = 对称， 2 l 与 3 l x y : 2 1 0 + − = 垂直，则 a = （ ） A． 1 2 − B． 1 2 C． -2 D． 2 3．已知𝛼，𝛽是两个不同的平面，𝑚，𝑛是异面直线且𝑚 ⊥ 𝑛，则下列条件能推出𝛼 ⊥ 𝛽的 是（ ） A． 𝑚//𝛼，𝑛//𝛽 B． 𝑚 ⊥ 𝛼，𝑛//𝛽 C． 𝑚//𝛼，𝑛 ⊥ 𝛽 D． 𝑚 ⊥ 𝛼，𝑛 ⊥ 𝛽 4．设𝑚，𝑛是不同的直线，𝛼，𝛽，𝛾是不同的平面，有以下四个命题： ① 𝛼 ∥ 𝛽 𝛼 ∥ 𝛾 } ⇒ 𝛽 ∥ 𝛾；② 𝛼 ⊥ 𝛽 𝑚 ∥ 𝛼 } ⇒ 𝑚 ⊥ 𝛽；③ 𝑚 ⊥ 𝛼 𝑚 ∥ 𝛽 } ⇒ 𝛼 ⊥ 𝛽；④ 𝑚 ∥ 𝑛 𝑛 ∥ 𝛼 } ⇒ 𝑚 ∥ 𝛼． 其中正确的命题是（ ）． A． ①② B． ①③ C． ②④ D． ③④ 5．如图，在棱长为 2 的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴1𝐵1的中点是𝑃，过点𝐴1作与截 面𝑃𝐵𝐶1平行的截面，则该截面的面积为( ) A． 2√2 B． 2√3 C． 2√6 D． 4 6．下列命题正确的是 A． 四边形确定一个平面 B． 经过一条直线和一个点确定一个平面 C． 经过三点确定 一个平面 D． 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
7.四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形 PA=√5,E为PC的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为() √5 D 8.直三棱柱ABC-A1B1LC1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,则直线A1B与AC1所成角的 大小为 9如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上底面边长为4,下底面边长为8,高为5 点MN分别在A1B1,D1C1上,且A1M=D1N=1.过点M,N的平面a与此四棱台的下底面 会相交,则平面a与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为 b A.18B.30y2C.6√61D.36√3 二、填空题 10.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D2中,底面ABCD是正方形,AA1=√3AB.记异面 直线AB1,与BD所成的角为0,则cos8的值为 A B 11.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形 (把正确图形的序号都填上) 试卷第2页,总6页
试卷第 2 页，总 6 页 7．四棱锥 P ABCD − 中， PA ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PA = 5 ， E 为 PC 的中点，则异面直线 BE 与 PD 所成角的余弦值为（ ） A． 13 10 B． 15 5 C． 13 39 D． 15 39 8．直三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐶，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐴𝐴1，则直线𝐴1𝐵与𝐴𝐶1所成角的 大小为 A． 30° B． 60° C． 90° D． 120° 9．如图，在正四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，上底面边长为 4，下底面边长为 8，高为 5， 点𝑀, 𝑁分别在𝐴1𝐵1 ,𝐷1𝐶1上，且𝐴1𝑀 = 𝐷1𝑁 = 1.过点𝑀, 𝑁的平面𝛼与此四棱台的下底面 会相交，则平面𝛼与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为 A． 18√7 B． 30√2 C． 6√61 D． 36√3 二、填空题 10．如图,在直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形, 𝐴𝐴1 = √3𝐴𝐵.记异面 直线𝐴𝐵1,与𝐵𝐷所成的角为𝜃,则cos𝜃的值为_________. 11．如图所示的正方体中，P，Q，M，N 分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形 是________（把正确图形的序号都填上）
4小 12.空间四边形ABCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为40°,E、F分别为 BC和AD的中点,则异面直线EF和AB所成角的大小是 13.正方体ABCD-ABCD中,直线BC1与直线AB所成角的大小为 14.在正四面体PABC,已知M为AB的中点,则pA与CM所成角的余弦值为 15.若直线(a+)x-2y=0与直线x-ay=1互相平行,则实数a=若这两条 直线互相垂直,则a= 16.如图,长方体ABCD-ABC1D中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别 是DD、AB、CC1的中点,则异面直线AE与GF所成的角是 D A 力b 17.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C x-y=1(m>0)的一条渐近线与直线 x+2y-1=0垂直,则实数m的值为 18.已知m,n是两条不重合的直线a,B,y是三个两两不重合的平面给出下列四个命题 (1)若m⊥a,m⊥B,则a//B (2)若a⊥y,B⊥y,则a//B (3)若mca,ncB,m//n,则a//B (4)若m//B,B//y,则m//y 其中正确的命题是 填上所有正确命题的序号) 解答题 19.如图,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是正方形,DE/AP,AP=AD=2DE=2 试卷第3页,总6页
试卷第 3 页，总 6 页 12．空间四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵 = 𝐶𝐷，且异面直线𝐴𝐵与𝐶𝐷所成的角为40°，𝐸、𝐹分别为 𝐵𝐶和𝐴𝐷的中点，则异面直线𝐸𝐹和𝐴𝐵所成角的大小是_________________． 13．正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中，直线 BC1 与直线 AB1 所成角的大小为__________ . 14．在正四面体 P-ABC，已知 M 为 AB 的中点，则 PA 与 CM 所成角的余弦值为____. 15．若直线 (a x y + − = 1 2 0 ) 与直线 x ay − =1 互相平行，则实数 a =______,若这两条 直线互相垂直，则 a =______. 16．如图，长方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中， 1 AA AB AD = = = 2, 1 ，点 E F G 、 、 分别 是 DD AB CC 1 1 、 、 的中点，则异面直线 AE1 与 GF 所成的角是__________． 17．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 2 2 : 1( 0) 4 x y C m m − = 的一条渐近线与直线 x y + − = 2 1 0 垂直，则实数 m 的值为__________． 18．已知𝑚, 𝑛是两条不重合的直线𝛼, 𝛽, 𝛾是三个两两不重合的平面给出下列四个命题: (1)若𝑚 ⊥ 𝛼, 𝑚 ⊥ 𝛽,则𝛼//𝛽 (2)若𝛼 ⊥ 𝛾, 𝛽 ⊥ 𝛾,则𝛼//𝛽 (3)若𝑚 ⊂ 𝛼, 𝑛 ⊂ 𝛽, 𝑚//𝑛,则𝛼//𝛽 (4)若𝑚//𝛽， 𝛽//𝛾，则𝑚//𝛾 其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号) 三、解答题 19．如图，𝑃𝐴 ⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐷𝐸//𝐴𝑃,𝐴𝑃 = 𝐴𝐷 = 2𝐷𝐸 = 2
(I)证明:平面DCE//平面ABP; (Ⅱ)求直线CP与平面DCE所成角的余弦值 20.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点 (1)(理科生做)证明:BE⊥CD (文科生做)证明:BE/平面PAD (2)(理科生做)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F一AB-P的余弦值 (文科生做)求点B到平面PCD的距离 21.如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD, 点P为DN的中点,点E为AB的中点 (1)求证:BD⊥MC; (2)求证:AP//平面NEC D A 22.如图,在底面是菱形的四棱锥P一ABCD中,PA⊥平面ABCD, ∠ABC=60°,PA=AB=2,点E、F分别为BC、PD的中点,设直线PC与平面 AEF交于点Q 试卷第4页,总6页
试卷第 4 页，总 6 页 (Ⅰ)证明：平面𝐷𝐶𝐸//平面𝐴𝐵𝑃； (Ⅱ)求直线𝐶𝑃与平面𝐷𝐶𝐸所成角的余弦值. 20．如图，在四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝐵，𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 = 𝐴𝑃 = 2，𝐴𝐵 = 1，点𝐸为棱𝑃𝐶的中点． (1)（理科生做）证明：𝐵𝐸 ⊥ 𝐶𝐷； （文科生做）证明：𝐵𝐸//平面𝑃𝐴𝐷； (2)（理科生做）若𝐹为棱𝑃𝐶上一点，满足𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐶，求二面角𝐹 − 𝐴𝐵 − 𝑃的余弦值． （文科生做）求点𝐵到平面𝑃𝐶𝐷的距离. 21．如图所示的几何体中，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，𝐴𝐷𝑁𝑀是矩形，平面𝐴𝐷𝑁𝑀 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷， 点𝑃为𝐷𝑁的中点，点𝐸为𝐴𝐵的中点. (1)求证：𝐵𝐷 ⊥ 𝑀𝐶； (2)求证：𝐴𝑃//平面𝑁𝐸𝐶. 22 ． 如 图 ， 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥 P ABCD − 中 , PA ⊥ 平 面 ABCD ， = = = ABC PA AB 60 , 2 ，点 E F 、 分别为 BC PD 、 的中点，设直线 PC 与平面 AEF 交于点 Q
D (1)已知平面PAB∩平面PCD=l,求证:AB/ (2)求直线AO与平面PCD所成角的正弦值 23.如图所示,CC11平面ABC,平面ABB1A1⊥平面ABC,四边形ABB1A1⊥为正方形, ∠ABC=60°,BC=CC1=AB=2,点E在棱BB1上 (1)若F为A1B1的中点E为B1的中点,证明:平面EC1F平面A1CB; (2)设BE=AB1,是否存在λ,使得平面A1EC1⊥平面A1EC?若存在,求出λ的值;若不存 在,说明理由 24.如图,在底面边长为a的正三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=VG,D是AC的中点。 (1)求证:AB1//y面DBC1 (2)求正三棱柱ABC-A1B1C1的体积及表面积。 25.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60,PD⊥平 面ABCD,PD=AD=2,点E、F分别为AB和PD的中点 试卷第5页,总6页
试卷第 5 页，总 6 页 （1）已知平面 PAB 平面 PCD l = ，求证： AB l // . （2）求直线 AQ 与平面 PCD 所成角的正弦值. 23．如图所示, 𝐶𝐶1 ⊥平面𝐴𝐵𝐶,平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1 ⊥平面𝐴𝐵𝐶,四边形𝐴𝐵𝐵1𝐴1 ⊥为正方形， ∠𝐴𝐵𝐶 = 60∘, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐶1 = 1 2 𝐴𝐵 = 2,点𝐸在棱𝐵𝐵1上. (1)若𝐹为𝐴1𝐵1的中点𝐸为𝐵𝐵1的中点,证明:平面𝐸𝐶1𝐹 ∥平面𝐴1𝐶𝐵； (2)设𝐵𝐸⃑⃑⃑ = 𝜆𝐵𝐵1 ⃑⃑⃑⃑⃑ ,是否存在𝜆,使得平面𝐴1𝐸𝐶1 ⊥平面𝐴1𝐸𝐶?若存在,求出𝜆的值;若不存 在,说明理由. 24．如图，在底面边长为𝑎的正三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中， 𝐵𝐵1 = √𝑎，D 是 AC 的中点。 （1）求证：𝐴𝐵1//平面𝐷𝐵𝐶1； （2）求正三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1的体积及表面积。 25．如图，在四棱锥 P ABCD − 中，底面 ABCD 为菱形， = DAB 60 ， PD ⊥ 平 面 ABCD， PD AD = = 2 ，点 E 、 F 分别为 AB 和 PD 的中点
(1)求证:直线AF//平面PEC (2)求点A到平面PEC的距离 26.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形A1C1CA为菱形,∠B1A1A=∠C1A1A 60,AC=4,AB=2,平面ACC1A1⊥平面ABB1A1,Q在线段AC上移动,P为棱AA1的中 点 N三二5 A Al B1 (1)若Q为线段AC的中点,H为BQ中点,延长AH交BC于D,求证:AD/平面B1PQ; (2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为,求点P到平面BQB1的距离 27.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,ABCD, ∠BAD=60°,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点 D (1)证明:BE∥平面PAD; (2)求三棱锥E一PBD的体积 试卷第6页,总6页
试卷第 6 页，总 6 页 （1）求证：直线 AF // 平面 PEC ； （2）求点 A 到平面 PEC 的距离. 26．如图，三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中，四边形𝐴1𝐶1𝐶𝐴为菱形，∠𝐵1𝐴1𝐴 = ∠𝐶1𝐴1𝐴 = 600 ,𝐴𝐶 = 4,𝐴𝐵 = 2，平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1 ⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，𝑄在线段𝐴𝐶上移动，𝑃为棱𝐴𝐴1的中 点. （1）若𝑄为线段𝐴𝐶的中点，𝐻为𝐵𝑄中点，延长𝐴𝐻交𝐵𝐶于𝐷，求证：𝐴𝐷//平面𝐵1𝑃𝑄； （2）若二面角𝐵1 − 𝑃𝑄 − 𝐶1的平面角的余弦值为√13 13 ，求点𝑃到平面𝐵𝑄𝐵1的距离. 27．如图，在四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，底面𝐴𝐵𝐶𝐷 为梯形，𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷， ∠𝐵𝐴𝐷 = 60∘，𝑃𝐷 = 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 = 2，𝐶𝐷 = 4，𝐸为𝑃𝐶的中点． （1）证明：𝐵𝐸∥平面𝑃𝐴𝐷； （2）求三棱锥𝐸 − 𝑃𝐵𝐷的体积．
参考答案 【解析】 【分析】 对各个选项逐一进行分析即可 【详解】 A,若α⊥β,m⊥β,则有可能mcα,故A错误 B,若α⊥B,mcaα,则m与β不一定垂直,可能相交或平行,故B错误 C,若m//a,m//B则推不出a//B,面面平行需要在一个面内找出两条相交线与另一个平面 平行,故C错误 D,若a//B,mca,则有m//B,故D正确 故选D 【点睛】 本题考查了线面平行与面面平行的判断和性质,在对其判定时需要运用其平行的判定定理或 者性质定理,所以要对课本知识掌握牢固,从而判断结果 【解析】直线l关于直线y=x对称的直线,即是交换x,y位置所得,即l2:x=ay+3,l2,l3 相互垂直,故斜率乘积 点睛:本题主要考查了直线关于直线y=x对称直线的方程,考查了直线与直线垂直的概念 与运用点(xy)关于直线y=x的对称点为(yx),故4:y=ax+3关于y=x对称的直线 即是交换x,y的位置得到,也即l2:x=ay+3,再根据l2,l3相互垂直,故斜率乘积为-1可 求得a的值 【解析】分析:根据线面垂直的判定定理求解即可 详解:A.m//x,n//B,此时a,B两平面可以平行,故错误;B.m⊥a,n//B,此时a,β两 平面可以平行,故错误;C.m//α,n⊥β,此时α,β两平面仍可以平行,故错误,故综合 的选D 点睛:考査线面垂直的判定,对答案对角度,多立体的想象摆放图形是解题关键,属于中档 答案第1页,总19页
答案第 1 页，总 19 页 参考答案 1．D 【解析】 【分析】 对各个选项逐一进行分析即可 【详解】 𝐴，若𝛼 ⊥ 𝛽，𝑚 ⊥ 𝛽，则有可能𝑚 ⊂ 𝛼，故𝐴错误 𝐵，若𝛼 ⊥ 𝛽，𝑚 ⊂ 𝛼，则𝑚与𝛽不一定垂直，可能相交或平行，故𝐵错误 𝐶，若𝑚//𝛼，𝑚//𝛽则推不出𝛼//𝛽，面面平行需要在一个面内找出两条相交线与另一个平面 平行，故𝐶错误 𝐷，若𝛼//𝛽，𝑚 ⊂ 𝛼，则有𝑚//𝛽，故𝐷正确 故选𝐷 【点睛】 本题考查了线面平行与面面平行的判断和性质，在对其判定时需要运用其平行的判定定理或 者性质定理，所以要对课本知识掌握牢固，从而判断结果 2．B 【解析】直线 1 l 关于直线 y x = 对称的直线，即是交换 x y, 位置所得，即 2 l x ay : 3 = + ， 2 3 l l, 相互垂直，故斜率乘积 1 1 1 1, 2 2 a a − = − = . 点睛:本题主要考查了直线关于直线 y x = 对称直线的方程，考查了直线与直线垂直的概念 与运用.点 ( x y, ) 关于直线 y x = 的对称点为 ( y x, ) ，故 1 l y ax : 3 = + 关于 y x = 对称的直线 即是交换 x y, 的位置得到，也即 2 l x ay : 3 = + ，再根据 2 3 l l, 相互垂直，故斜率乘积为−1 可 求得 a 的值. 3．D 【解析】分析：根据线面垂直的判定定理求解即可. 详解：A. 𝑚//𝛼，𝑛//𝛽，此时𝛼，𝛽两平面可以平行，故错误；B. 𝑚 ⊥ 𝛼，𝑛//𝛽，此时𝛼，𝛽两 平面可以平行，故错误；C. 𝑚//𝛼，𝑛 ⊥ 𝛽，此时𝛼，𝛽两平面仍可以平行，故错误，故综合 的选 D. 点睛：考查线面垂直的判定，对答案对角度，多立体的想象摆放图形是解题关键，属于中档
【解析】分析:由题意和线面垂直,平行的定义,对答案逐一验证,即可找出答案 详解 ①.由面面平行的性质可知,aB,ay,则β"y,故①正确; ②.若α⊥B,m"a,则m‖β或m与β相交,故②错误; ③.若m‖B,则存在m’cB,且m!‖m,又m⊥a,得m⊥ 所以a⊥B,故③正确; ④.若m‖n,n‖a,则mcα或m‖α,故④错误. 故选B. 点睛:本题考查了线面垂直和平行的关系,对判定定理的熟悉是解题关键,属于中档题. 5.C 【解析】 【分析】 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截 面,则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形,进而得到答案 【详解】 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截 面,则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形,如下图所示: 则EF=2V2,A1C=2√3,EF⊥A1C 则截面的面积S=EF·A1C=26 故选C 【点睛】 本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断,面面平行性质,四棱柱的结构 答案第2页,总19页
答案第 2 页，总 19 页 题. 4．B 【解析】分析：由题意和线面垂直，平行的定义，对答案逐一验证，即可找出答案． 详解： ①．由面面平行的性质可知，𝛼 ∥ 𝛽，𝛼 ∥ 𝛾，则𝛽 ∥ 𝛾，故①正确； ②．若𝛼 ⊥ 𝛽，𝑚 ∥ 𝛼，则𝑚 ∥ 𝛽或𝑚与𝛽相交，故②错误； ③．若𝑚 ∥ 𝛽，则存在𝑚′ ⊂ 𝛽，且𝑚′ ∥ 𝑚，又𝑚 ⊥ 𝛼，得𝑚′ ⊥ 𝛼， 所以𝛼 ⊥ 𝛽，故③正确； ④．若𝑚 ∥ 𝑛，𝑛 ∥ 𝛼，则𝑚 ⊂ 𝛼或𝑚 ∥ 𝛼，故④错误． 故选B． 点睛：本题考查了线面垂直和平行的关系，对判定定理的熟悉是解题关键，属于中档题． 5．C 【解析】 【分析】 在棱长为 2 的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴1𝐵1的中点是𝑃，过点𝐴1作与截面𝑃𝐵𝐶1平行的截 面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答案 【详解】 在棱长为 2 的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴1𝐵1的中点是𝑃，过点𝐴1作与截面𝑃𝐵𝐶1平行的截 面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下图所示： 则𝐸𝐹 = 2√2，𝐴1𝐶 = 2√3，𝐸𝐹 ⊥ 𝐴1𝐶 则截面的面积𝑆 = 1 2 𝐸𝐹 ⋅ 𝐴1𝐶 = 2√6 故选𝐶 【点睛】 本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构
特征,解答本题的关键是画出截面,并分析其几何特征,属于中档题。 【解析】四边形有可能是空间四边形,故A选项错误如果点在直线上,就不能确定一个平面, 故B选项错误如果三个点在同一条直线上,则无法确定一个平面,故C选学校错误综上所 述,D选项正确 【解析】 如图所示,延长AD到H,使AD=DH,过P作PG‖AH,PG=AH,F为PG的中点, 连接BF,FH,BH, 则∠BFH为异面直线BE与PD所成的角或者补角 √3 在△BFH中,由余弦定理得cos∠BFH_13+9-2列39 2×√13×3 故选C. 点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问 题化归为共面问题来解决,具体步骤如下: ①平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角 ②认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角 ③计算:求该角的值,常利用解三角形 ④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,x,当所作的角为钝角时,应取它的补角 作为两条异面直线所成的角 【解析】 【分析】 作出异面直线所成的角,然后求解即可 【详解】 答案第3页,总19页
答案第 3 页，总 19 页 特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题。 6．D 【解析】四边形有可能是空间四边形,故 A 选项错误.如果点在直线上,就不能确定一个平面, 故 B 选项错误.如果三个点在同一条直线上,则无法确定一个平面,故 C 选学校错误.综上所 述,D 选项正确. 7．C 【解析】 如图所示，延长 AD 到 H，使 AD DH = ，过 P 作 PG AH PG AH ， = ，F 为 PG 的中点， 连接 BF，FH， BH， 则 BFH 为异面直线 BE 与 PD 所成的角或者补角， 在 BFH 中，由余弦定理得 13 9 20 13 cos 2 13 3 39 BFH + − = = ， 故选 C． 点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问 题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0, 2 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角 作为两条异面直线所成的角． 8．B 【解析】 【分析】 作出异面直线所成的角，然后求解即可． 【详解】
BI H B 因为几何体直三棱柱,BC∥B1C1,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,AB⊥AC, 连结A1C,A1CnAC1=0,取BC的中点H,连结OH,则直线A1B与AC1所成的角为就是∠AOH 设AB=AC=AA1=1,BC=V2.易得AO=AH=0H=2,, 三角形AOH是正三角形,异面直线所成角为60° 故选:B 【点睛】 本题考查异面直线所成角的求法,考查计算能力 【解析】 【分析】 由题意可知,当平面α经过BCNM时取得的截面面积最大,此时截面是等腰梯形;根据正 四棱台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高,进而求得等腰梯形的面积。 【详解】 当斜面α经过点BCNM时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大,此时a为等腰梯形, 上底为MN=4,下底为BC=8 此时作正四棱台ABCD-A1B1C1D1俯视图如下 C1 A 则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5 因为正四棱台ABCD-A1B1C1D2的高为5,所以截面等腰梯形的高为√52+52=5V2 答案第4页,总19页
答案第 4 页，总 19 页 因为几何体直三棱柱，BC∥B1C1，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥平面 ABC，𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐶， 连结𝐴1𝐶,𝐴1𝐶 ∩ 𝐴𝐶1 = 𝑂，取 BC 的中点 H,连结 OH，则直线𝐴1𝐵与𝐴𝐶1所成的角为就是∠𝐴𝑂𝐻, ． 设𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐴𝐴1 = 1，𝐵𝐶 = √2．易得𝐴𝑂 = 𝐴𝐻 = 𝑂𝐻 = √2 2 , ， 三角形 AOH 是正三角形，异面直线所成角为 60°． 故选：B． 【点睛】 本题考查异面直线所成角的求法，考查计算能力． 9．B 【解析】 【分析】 由题意可知，当平面 α 经过 BCNM 时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正 四棱台的高及 MN 中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积。 【详解】 当斜面 α 经过点𝐵𝐶𝑁𝑀时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时 α 为等腰梯形， 上底为 MN=4，下底为 BC=8 此时作正四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1俯视图如下： 则 MN 中点在底面的投影到 BC 的距离为 8-2-1=5 因为正四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的高为 5，所以截面等腰梯形的高为√5 2 + 5 2 = 5√2