直线、平面平行的判定及其性质 1.下列命题中,正确命题的是④ ①若直线|上有无数个点不在平面a内,则1∥a ②若直线|与平面a平行,则1与平面a内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平 行;④若直线与平面a平行,则|与平面a内的任意一条直线都没有公共点 2.下列条件中,不能判断两个平面平行的是 (填序号) ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③ 3.对于平面a和共面的直线m、n,下列命题中假命题是 (填序号) ①若m⊥a,m⊥n,则n ②若m∥a,n∥a,则m∥n ③若mca,n∥a,则m∥n ④若m、n与a所成的角相等,则m∥n答案①②④ 4.已知直线a,b,平面a,则以下三个命题: ①若a∥b,bca,则a∥a; ②若a∥b,a∥a,则b∥a ③若a∥a,b∥a,则a∥b 其中真命题的个数是 答案0 5.直线a/平面M直线b4M那么a/b是b/M的条件 A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D不充分也不必要 6.能保证直线a与平面平行的条件是 Aaa,bca,a∥bB.bca,a∥b c∥a,a∥b,a∥c Dbca,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b且AC=BD 7.如果直线a平行于平面c,则 A.平面内有且只有一直线与a平行B平面内无数条直线与a平行 C平面内不存在与a平行的直线D.平面C内的任意直线与直线a都平行 8.如果两直线a∥b,且a∥平面a,则b与a的位置关系 A相交Bb/ a c bca D.b∥a或bca 9.下列命题正确的个数是
直线、平面平行的判定及其性质 1. 下列命题中，正确命题的是 ④ . ①若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l∥ ; ②若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平 行；④若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点. 2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③ 3. 对于平面 和共面的直线 m、n，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若 m⊥ ，m⊥n，则 n∥ ②若 m∥ ，n∥ ，则 m∥n ③若 m ，n∥ ，则 m∥n ④若 m、n 与 所成的角相等，则 m∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线 a,b,平面 ，则以下三个命题： ①若 a∥b,b ,则 a∥ ; ②若 a∥b,a∥ ,则 b∥ ; ③若 a∥ ,b∥ ,则 a∥b. 其中真命题的个数是 . 答案 0 5. 直线 a//平面 M,直线 b M,那么 a//b 是 b//M 的 条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要 6. 能保证直线 a 与平面 平行的条件是 A. a ，b ，a// b B. b ，a// b C. b ，c //，a// b，a// c D. b ，Aa，Ba，Cb，Db 且 AC = BD 7. 如果直线 a 平行于平面 ,则 A.平面 内有且只有一直线与a平行 B.平面 内无数条直线与a平行 C.平面 内不存在与a平行的直线 D.平面 内的任意直线与直线a都平行 8. 如果两直线 a∥b,且 a∥平面 ,则 b 与 的位置关系 A.相交 B. b// C. b D. b// 或 b 9. 下列命题正确的个数是
10.(1)若直线1上有无数个点不在平面a内,则∥a (2)若直线/与平面a平行,则/与平面a内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a和平面a内一直线b平行,则a∥a A.0个B.1个C2个D3个 11.b是平面a外的一条直线,下列条件中可得出b∥a是 Ab与a内的一条直线不相交Bb与a内的两条直线不相交 Cb与a内的无数条直线不相交D.b与a内的所有直线不相交 12.已知两条相交直线a、b,a∥平面a,则b与a的位置关系 A.b∥ Bb与a相交 C. bca D.b∥a或b与a相交 13.如图所示,已知S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,SG为△SAB上 的高,D、E、F分别是AC、BC、SC的中点,试判断SG与平面DEF的位置关系,并给 予证明 解SG∥平面DEF,证明如下: 方法一:三角形中位线连接GG交DE于点H,如图所示 ∵DE是△ABC的中位线 ∴DE∥AB. 在△ACG中,D是AC的中点, 且DH∥AG 为CG的中点 FH是△SCG的中位线, FH∥SG. 又SGa平面DEF,FH平面DEF ∴SG∥平面DEF 方法二:平面平行的性质 ∴EF为△SBc的中位线,∴EF∥SB. ∴EFg平面SAB,SBc平面SAB ∴EF∥平面SAB 同理可证,DF∥平面SAB,EF∩DF=F, ∴平面SAB∥平面DEF,又SGc平面SAB,∴SG∥平面DEF 14.如图所示,在正方体 ABCD--A,B CID1中,E、F、G、H分别是BC、CC1、 CD1、AA的中点求证: (1)BF∥HD1 (2)EG∥平面BBDD (3)平面BDF∥平面BD1H 证明平行四边形的性质,平行线的传递性 1)如图所示,取BB1的中点M,易证四边形HCD是平行四边形,H HD1∥MC1 Du MC1∥BF,∴BF∥HD
10. （1）若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α （2）若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一直线平行 （3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 （4）若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11. b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出 b∥α是 A.b与α内的一条直线不相交 B.b与α内的两条直线不相交 C.b与α内的无数条直线不相交 D.b与α内的所有直线不相交 12. 已知两条相交直线 a、b，a∥平面α，则 b 与α的位置关系 A.b∥α B.b与α相交 C.b α D.b∥α或b与α相交 13. 如图所示，已知 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，且 SA=SB=SC，SG 为△SAB 上 的高，D、E、F 分别是 AC、BC、SC 的中点，试判断 SG 与平面 DEF 的位置关系，并给 予证明. 解 SG∥平面 DEF，证明如下： 方法一：三角形中位线 连接 CG 交 DE 于点 H，如图所示. ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE∥AB. 在△ACG 中，D 是 AC 的中点， 且 DH∥AG. ∴H 为 CG 的中点. ∴FH 是△SCG 的中位线， ∴FH∥SG. 又 SG 平面 DEF，FH 平面 DEF， ∴SG∥平面 DEF. 方法二： 平面平行的性质 ∵EF 为△SBC 的中位线，∴EF∥SB. ∵EF 平面 SAB，SB 平面 SAB， ∴EF∥平面 SAB. 同理可证，DF∥平面 SAB，EF∩DF=F， ∴平面 SAB∥平面 DEF，又 SG 平面 SAB，∴SG∥平面 DEF. 14. 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别是 BC、CC1、 C1D1、A1A 的中点.求证： （1）BF∥HD1； （2）EG∥平面 BB1D1D； （3）平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明 平行四边形的性质，平行线的传递性 （1）如图所示，取 BB1 的中点 M，易证四边形 HMC1D1 是平行四边形， ∴HD1∥MC1. 又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1
(2)取BD的中点0,连接E0,D0,则0E∠DC, 又DG∠1D,:0E∠DG, C 四边形0EGD1是平行四边形,∴GE∥D10 D0c平面BBDD,∴EG∥平面BBDD 3)由(1)知DH∥BF,又BD∥BD,BD、HD1c平面HBD1,BF、BDc平面BDF,且BD1 ∩HD1=D1,DB∩BF=B,∴平面BDF∥平面BDH 15.如图所示,在三棱柱ABC—ABC中,M、N分别是BC和AB的中点 求证:MN∥平面AACC. 证明方法一:平行四边形的性质 设A1C1中点为F,连接NF,FC, ∵N为AB1中点 ∴NF∥B1C1,且NF=B1C1 又由棱柱性质知BC=BC 又M是BC的中点, ∴四边形NFCM为平行四边形 P ∴MN∥CF,又CFc平面AAG,MNa平面AAC1,∴MN∥平面AACC. 方法二:三角形中位线的性质 连接M交CC于点P,连接AP, ∵M是BC的中点,且M∥BG1 C ∴M是BP的中点, 又∴N为AB1中点 ∴MN∥AP,又APc平面AAG,MNa平面AA1C1,∴MN∥平面AACC 方法三:平面平行的性质 C 设B1C1中点为Q,连接NQ,MQ, ∵M、Q是BC、BC1的中点, C ∴MQ一CC,又C1c平面AACC,MQa平面ACC ∴MQ∥平面AACC ∴N、Q是AB1、BC1的中点, ∴NQ∠AC,又ACc平面AACC,NQ平面AC1C ∴.NQ∥平面AAGC ∴MQ∩NQ=B,∴平面MNQ∥平面AACC, 又MNc平面MNQ∴MN∥平面AAGC 16.如图所示,正方体ABCD—ABCD1中,侧面对角线AB,BC1上分别 有两点E,F,且BE=CF 求证:EF∥平面ABCD
（2）取 BD 的中点 O，连接 EO，D1O，则 OE 2 1 DC， 又 D1G 2 1 DC，∴OE D1G， ∴四边形 OEGD1 是平行四边形，∴GE∥D1O. 又 D1O 平面 BB1D1D，∴EG∥平面 BB1D1D. （3）由（1）知 D1H∥BF，又 BD∥B1D1，B1D1、HD1 平面 HB1D1，BF、BD 平面 BDF，且 B1D1 ∩HD1=D1，DB∩BF=B，∴平面 BDF∥平面 B1D1H. 15. 如图所示，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，M、N 分别是 BC 和 A1B1 的中点. 求证：MN∥平面 AA1C1C. 证明 方法一：平行四边形的性质 设 A1C1 中点为 F，连接 NF，FC， ∵N 为 A1B1 中点， ∴NF∥B1C1，且 NF= 2 1 B1C1， 又由棱柱性质知 B1C1 BC， 又 M 是 BC 的中点， ∴NF MC， ∴四边形 NFCM 为平行四边形. ∴MN∥CF，又 CF 平面 AA1C1，MN 平面 AA1C1，∴MN∥平面 AA1C1C. 方法二：三角形中位线的性质 连接 AM 交 C1C 于点 P，连接 A1P， ∵M 是 BC 的中点，且 MC∥B1C1， ∴M 是 B1P 的中点， 又∵N 为 A1B1 中点， ∴MN∥A1P，又 A1P 平面 AA1C1，MN 平面 AA1C1，∴MN∥平面 AA1C1C. 方法三：平面平行的性质 设 B1C1 中点为 Q，连接 NQ，MQ， ∵M、Q 是 BC、B1C1 的中点， ∴MQ CC1，又 CC1 平面 AA1C1C， MQ 平面 AA1C1C， ∴MQ∥平面 AA1C1C . ∵N、Q 是 A1B1、B1C1 的中点， ∴NQ A1C1，又 A1C1 平面 AA1C1C，NQ 平面 AA1C1C， ∴NQ∥平面 AA1C1C . 又∵MQ∩NQ=B，∴平面 MNQ∥平面 AA1C1C， 又 MN 平面 MNQ∴MN∥平面 AA1C1C. 16. 如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对角线 AB1，BC1 上分别 有两点 E，F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD
方法一:平行四边形的性质 过E作ES∥BB1交AB于S,过F作FT∥BB1交BC于T 连接ST,则韭EBS,且BF=Fr AB. B, B BE=CF,B1A=CB,∴AE=BF S B B,B CCI 又∵∴ES∥BB∥FT,∴四边形EFTS为平行四边形 ∴EF∥ST,又STc平面ABCD,EFg平面ABCD,∴EF∥平面ABCD 方法二:相似三角形的性质 连接BF交BC于点Q,连接AQ ∵BC1∥BC,∴BF_CF B2 CB ∵BE=CF,B1A=CB BE B,F BD B,2 ∴EF∥AQ,又AQc平面ABCD,EFa平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.A 方法三:平面平行的性质 过E作EG∥AB交BB1于G, Cl 连接GF,则 B1A B1B BE=CIF, BA=C1B CIE B FG∥B1C1∥BC C 又EG∩FG=G,AB∩BC=B A M B ∴平面EFG∥平面ABCD,而EFc平面EFG ∴EF∥平面ABCD 17.如图所示,在正方体ABCD一ABCD中,0为底面ABCD的中心,P是DD的中点,设Q 是CG1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面 PAO? 解面面平行的判定 当Q为CC1的中点时 平面D1BQ∥平面PA0 Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA. ∴P、0为DD1、DB的中点,∴D1B∥P0. ,'DO 又P0∩PA=P,DB∩0B=B, A B DB∥平面PA0,QB∥平面PA0, 平面DBQ∥平面PA0 直线与平面平行的性质定理
方法一：平行四边形的性质 过 E 作 ES∥BB1 交 AB 于 S，过 F 作 FT∥BB1 交 BC 于 T， 连接 ST，则 1 1 AE ES AB B B = ，且 1 1 BF FT BC C C = ∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴AE=BF ∴ 1 1 ES FT B B CC = ，∴ES=FT 又∵ES∥B1B∥FT，∴四边形 EFTS 为平行四边形. ∴EF∥ST，又 ST 平面 ABCD，EF 平面 ABCD，∴EF∥平面 ABCD. 方法二：相似三角形的性质 连接 B1F 交 BC 于点 Q，连接 AQ， ∵B1C1∥BC，∴ 1 1 1 1 B F C F B Q C B = ∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴ 1 1 1 1 B E B F B D B Q = ∴EF∥AQ，又 AQ 平面 ABCD，EF 平面 ABCD，∴EF∥平面 ABCD. 方法三：平面平行的性质 过 E 作 EG∥AB 交 BB1 于 G， 连接 GF，则 B B B G B A B E 1 1 1 1 = ， ∵B1E=C1F，B1A=C1B， ∴ B B B G C B C E 1 1 1 1 = ，∴FG∥B1C1∥BC， 又 EG∩FG=G，AB∩BC=B， ∴平面 EFG∥平面 ABCD，而 EF 平面 EFG， ∴EF∥平面 ABCD. 17. 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO？ 解 面面平行的判定 当 Q 为 CC1 的中点时， 平面 D1BQ∥平面 PAO. ∵Q 为 CC1 的中点，P 为 DD1 的中点，∴QB∥PA. ∵P、O 为 DD1、DB 的中点，∴D1B∥PO. 又 PO∩PA=P，D1B∩QB=B， D1B∥平面 PAO，QB∥平面 PAO， ∴平面 D1BQ∥平面 PAO. 直线与平面平行的性质定理
18.如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABC的一个截面,若 截面为平行四边形 H (1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH (2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围 (1)证明∵四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥HG G HGc平面ABD,∴EF∥平面ABD EFc平面ABC,平面ABD∩平面ABC ∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH. 同理可证,CD∥平面EFGH. (2)解设EF=x(0<x<4),由于四边形EFGH为平行四边形, C=x.则B=B=BC-CF=1-x.从而FG=6-3x.∴四边形EFGH的周长 1=2(x+6-3x)=12-x,又0<x<4,则有8<|<12,∴四边形EFGH周长的取值范围是(8, 19.如图所示,平面a∥平面B,点A∈a,G∈a,点B∈B,D∈B,点E,F分别在线 段AB,CD上,且AE:EB=CF:FD (1)求证:EF∥B (2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求EF 的长 (1)证明两个平行平面同时与第三个平面相交,则交线平行;平行 线分线段成比例 方法①当AB,cD在同一平面内时, F 由a∥B,平面a∩平面ABDC=AC, 平面B∩平面ABDG=BD,∴AC∥BD ∵AE∴EB=CF:FD,∴EF∥BD, 又EFaB,BDcB,∴EF∥B. 方法②当AB与cD异面时 A C 平面ACD∩B=DH,且DH=AC F ∵a∥B,a∩平面ACDH=AC ∴AC∥DH,∴四边形ACDH是平行四边形, H-B 在AH上取一点G,使AG:GH=CF:FD 又∵AE:EB=CF:FD,∴GF∥HD,EG∥BH 又EG∩GF=G,∴平面EFG∥平面B ∴EFc平面EFG,∴EF∥B.综上,EF∥B (2)解三角形中位线 如图所示,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF A ∵E,F分别为AB,CD的中点, ∴ME∥BD,MF∥AC
18. 如图所示，四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面，若 截面为平行四边形. （1）求证：AB∥平面 EFGH，CD∥平面 EFGH. （2）若 AB=4，CD=6，求四边形 EFGH 周长的取值范围. （1）证明 ∵四边形 EFGH 为平行四边形，∴EF∥HG. ∵HG 平面 ABD，∴EF∥平面 ABD. ∵EF 平面 ABC，平面 ABD∩平面 ABC=AB， ∴EF∥AB.∴AB∥平面 EFGH. 同理可证，CD∥平面 EFGH. (2)解 设 EF=x（0＜x＜4），由于四边形 EFGH 为平行四边形， ∴ 4 x CB CF = .则 6 FG = BC BF = BC BC −CF =1- 4 x .从而 FG=6- x 2 3 .∴四边形 EFGH 的周长 l=2(x+6- x 2 3 )=12-x.又 0＜x＜4,则有 8＜l＜12,∴四边形 EFGH 周长的取值范围是（8， 12）. 19. 如图所示，平面 ∥平面 ，点 A∈ ，C∈ ，点 B∈ ，D∈ ,点 E，F 分别在线 段 AB，CD 上，且 AE∶EB=CF∶FD. （1）求证：EF∥ ; （2）若 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC=4，BD=6，且 AC，BD 所成的角为 60°，求 EF 的长. （1）证明 两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行；平行 线分线段成比例 方法① 当 AB，CD 在同一平面内时， 由 ∥ ，平面 ∩平面 ABDC=AC， 平面 ∩平面 ABDC=BD，∴AC∥BD， ∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD， 又 EF ,BD ,∴EF∥ . 方法② 当 AB 与 CD 异面时， 设平面 ACD∩ =DH，且 DH=AC. ∵ ∥ ， ∩平面 ACDH=AC， ∴AC∥DH，∴四边形 ACDH 是平行四边形， 在 AH 上取一点 G，使 AG∶GH=CF∶FD， 又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH， 又 EG∩GF=G，∴平面 EFG∥平面 . ∵EF 平面 EFG，∴EF∥ .综上，EF∥ . （2）解三角形中位线 如图所示，连接 AD，取 AD 的中点 M，连接 ME，MF. ∵E，F 分别为 AB，CD 的中点， ∴ME∥BD，MF∥AC
且ME=-BD=3,MF=-AC=2 ∴∠EMF为AC与BD所成的角(或其补角), ∴∠EMF=60°或120° ∴在△EFM中由余弦定理得, EF=ME2+MF2-2ME MF COS ZEMF= 32+22+2x3x2x_=/+ 即EF=√7或EF= 20.正方形ABCD与正方形AB所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ 求证:PQ∥平面BCE 证明方法一:平行四边形的性质如图所示,作PM∥AB交BE于M D 作QN∥AB交BC于N,连接MN 正方形ABcD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD 又∵APDQ,∴PE=QB, B 又∵PM∥AB∥QN, M PM E∥QN, AB AE DC BD AB DC ∴四边形PMNQ为平行四边形,∴PQ∥MN 又MNc平面BCE,Pg平面BCE, PQ∥平面BCE 方法二:相似三角形的性质如图所示,连接AQ,并延长交BC于K, 连接EK, B AE=BD, AP=DQ PE BO 又∵AD∥BK, 由①②得=,∴PQ∥EK 又PQg平面BCE,EKc平面BCE, D ∴PQ∥平面BCE M 方法三:平面平行的性质如图所示,在平面ABEF内,过点P作 PM∥BE,交AB于点M 连接QM ∵PM∥BE,PMa平面BCE, 即PM∥平面BCE
且 ME= 2 1 BD=3，MF= 2 1 AC=2， ∴∠EMF 为 AC 与 BD 所成的角（或其补角）， ∴∠EMF=60°或 120°， ∴在△EFM 中由余弦定理得， EF= ME + MF − 2ME • MF • cos EMF 2 2 = 2 1 3 2 2 3 2 2 2 + = 13 6 ， 即 EF= 7 或 EF= 19 . 20. 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE、BD 上各有一点 P、Q，且 AP=DQ. 求证：PQ∥平面 BCE. 证明 方法一：平行四边形的性质 如图所示，作 PM∥AB 交 BE 于 M， 作 QN∥AB 交 BC 于 N，连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，∴AE=BD. 又∵AP=DQ，∴PE=QB， 又∵PM∥AB∥QN， ∴ AE PE AB PM = ， BD BQ DC QN = ， DC QN AB PM = ，∴PM QN， ∴四边形 PMNQ 为平行四边形，∴PQ∥MN. 又 MN 平面 BCE，PQ 平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE. 方法二：相似三角形的性质如图所示，连接 AQ，并延长交 BC 于 K， 连接 EK， ∵AE=BD，AP=DQ， ∴PE=BQ， ∴ PE AP = BQ DQ ① 又∵AD∥BK，∴ BQ DQ = QK AQ ② 由①②得 PE AP = QK AQ ，∴PQ∥EK. 又 PQ 平面 BCE，EK 平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE. 方法三：平面平行的性质 如图所示，在平面 ABEF 内，过点 P 作 PM∥BE，交 AB 于点 M， 连接 QM. ∵PM∥BE，PM 平面 BCE， 即 PM∥平面 BCE
AP AM 又∵AP=DQ,∴PE=BQ, 由①②得M=2,∴M∥AD, ∴MQ∥BC,又∵MQa平面BCE,∴MQ∥平面BCE 又∵PM∩MQ=M,∴平面PMQ∥平面BCE PQc平面PMQ,∴PQ∥平面BCE. 21.如图所示,正四棱锥P一ABcD的各棱长均为13,M,N分别为PA,BD上的点,且PM MA=BN. ND=5: 8 (1)求证:直线MN∥平面PBC (2)求线段MN的长 (1)证明:方法一:相似三角形的性质 C 连接AN并延长交BC于Q, 连接PQ,如图所示 ∵AD∥BQ,∴△AND∽△QNB NO NB B0 5 又∵:P=BN=5, Ma nd 8 AMan 8 5,…M∥PQ, 又∵PQc平面PBC,MNa平面PBc ∴MN∥平面PBC 方法二:平行四边形的性质 如图所示,作MQ∥AB交PB于Q,作NR∥AB交BC于R 连接QR ∵MQ∥AB∥NR PM MO NR BN PA AB DC BD 又∵PMBN MA ND ∴四边形MNRQ为平行四边形,∴MN∥QR QRc平面PBC,MNa平面PBC ∥平面 方法三:平面平行的性质 如图所示,在平面ABP内,过点M作MN∥PB,交AB于点0
∴ PE AP = MB AM ① 又∵AP=DQ，∴PE=BQ， ∴ PE AP = BQ DQ ② 由①②得 MB AM = BQ DQ ，∴MQ∥AD， ∴MQ∥BC，又∵MQ 平面 BCE，∴MQ∥平面 BCE. 又∵PM∩MQ=M，∴平面 PMQ∥平面 BCE， PQ 平面 PMQ，∴PQ∥平面 BCE. 21. 如图所示，正四棱锥 P—ABCD 的各棱长均为 13，M，N 分别为 PA，BD 上的点，且 PM∶ MA=BN∶ND=5∶8. （1）求证：直线 MN∥平面 PBC； （2）求线段 MN 的长. （1）证明：方法一： 相似三角形的性质 连接 AN 并延长交 BC 于 Q， 连接 PQ，如图所示. ∵AD∥BQ，∴△AND∽△QNB， ∴ NQ AN = NB DN = BQ AD = 5 8 ， 又∵ MA PM = ND BN = 8 5 ， ∴ MP AM = NQ AN = 5 8 ，∴MN∥PQ， 又∵PQ 平面 PBC，MN 平面 PBC， ∴MN∥平面 PBC. 方法二：平行四边形的性质 如图所示，作 MQ∥AB 交 PB 于 Q，作 NR∥AB 交 BC 于 R， 连接 QR. ∵MQ∥AB∥NR， ∴ PM MQ PA AB = ， NR BN DC BD = ， 又∵ PM BN MA ND = ，∴MQ NR， ∴四边形 MNRQ 为平行四边形，∴MN∥QR. 又 QR 平面 PBC，MN 平面 PBC， ∴MN∥平面 PBC. 方法三：平面平行的性质 如图所示，在平面 ABP 内，过点 M 作 MN∥PB，交 AB 于点 O
连接ON ∵M0∥PB,M0a平面PBC,PBc平面PBC 即M0∥平面PBC ∴AM=AO AP AB MA nd 8 AB DB ∴NO∥AD NO∥BC,又∵Na平面PBC,BCc平面PBC∴NO∥平面PBC 又∵MO∩NO=0,∴平面MNO∥平面PBc MNc平面MN0,∴M∥平面PBC (2)解在等边△PBC中,∠PBC=60° 在△PBQ中由余弦定理知PQ=PB2+8BQ2-2P8· BOcas∠PBQ 134(5-2×13×5×1=8231,:Po=91, ∴MN∥PQ,M:PQ=8:13,∴M=×8=7
连接 ON. ∵MO∥PB，MO 平面 PBC，PB 平面 PBC 即 MO∥平面 PBC， ∴ AM AP = AO AB 又∵ MA PM = ND BN = 8 5 ， ∴ AO AB = DN DB , ∴NO∥AD， ∴NO∥BC，又∵NO 平面 PBC，BC 平面 PBC∴NO∥平面 PBC. 又∵MO∩NO=O，∴平面 MNO∥平面 PBC， MN 平面 MNO，∴MN∥平面 PBC. （2）解 在等边△PBC 中，∠PBC=60°， 在△PBQ 中由余弦定理知 PQ2 =PB2 +BQ2 -2PB·BQcos∠PBQ =132 + 2 8 65 -2×13× 8 65 × 2 1 = 64 8 281 ，∴PQ= 8 91 ， ∵MN∥PQ，MN∶PQ=8∶13，∴MN= 8 91 × 13 8 =7