高中数学知识点:空间点、直线、平面之间的位 置关系 本周教学内容:空间点、直线、平面之间的位置关 系 重点: 1.公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这 条直线在平面内。 2.公理二:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 3.公理三:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它 们有且只有一条过该点的公共直线。 4.公理四:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 5.两条直线的位置关系:平行、相交、异面 6.直线与平面的位置关系:直线在平面内、相交、平行 7.平面与平面的位置关系:相交、平行 【典型例题 [例1]下列结论中正确的有个 (1)过空间三点的平面有且只有一个 (2)过空间一条直线和直线外一点的平面有且只有一个 (3)过空间两条相交直线的平面有且只有一个 (4)过空间两条平行直线的平面有且只有一个 A.1B.20.3D.4 答案:C 第1页
第 1 页 高中数学知识点：空间点、直线、平面之间的位 置关系 一. 本周教学内容：空间点、直线、平面之间的位置关 系 二. 重点： 1. 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线在平面内。 2. 公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3. 公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线。 4. 公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 5. 两条直线的位置关系：平行、相交、异面 6. 直线与平面的位置关系：直线在平面内、相交、平行 7. 平面与平面的位置关系：相交、平行 【典型例题 [例 1] 下列结论中正确的有个 （1）过空间三点的平面有且只有一个 （2）过空间一条直线和直线外一点的平面有且只有一个 （3）过空间两条相交直线的平面有且只有一个 （4）过空间两条平行直线的平面有且只有一个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：C
解析:(2)(3)(4)正确。 [例2](1)空间三条直线两两相交可确定几个平面? (2)空间四条平行直线可确定几个平面? (3)空间一条直线和直线外三点,可确定几个平面? 答案: (1)1个或3个 (2)1个,4个或6个 (3)1个,3个或4个 [例3]外三边所在直线分别交平面 中E、F为A1、001中点,求证: 证明:延长交AD于M,延长交DG于N E为A1A中点MA=AD 同理CN=CD M、N、B三点共线 [例5]空间不共点的四条直线两两相交,求证四线共面。 证明 (1)有三线共点,如图 A、B、D确定平面同理 (2)无三点共线,如图 A、D、F三点确定平面 证明:D为上一点 确定平面同理A、C、D 第2页
第 2 页 解析：（2）（3）（4）正确。 [例 2]（1）空间三条直线两两相交可确定几个平面？ （2）空间四条平行直线可确定几个平面？ （3）空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面？ 答案： （1）1 个或 3 个 （2）1 个，4 个或 6 个 （3）1 个，3 个或 4 个 [例 3] 外三边所在直线分别交平面 中 E、F 为 AA1、CC1 中点，求证： 证明：延长 交 AD 于 M，延长 交 DC 于 N E 为 A1A 中点 MA=AD 同理 CN=CD M、N、B 三点共线 [例 5] 空间不共点的四条直线两两相交，求证四线共面。 证明： （1）有三线共点，如图 A、B、D 确定平面 同理 （2）无三点共线，如图 A、D、F 三点确定平面 证明：D 为 上一点 确定平面 同理 A、C、D
互相平分MN过EF中点 EF、GH、MN交于一点且互相平分 [例8]正方体成异面关系的棱有条 (3)与BD成异面关系的棱有条; (4)12条棱中异面直线有对。 解:(1)4条(2)6条(3)6条(4)24对 [例9]空间四边形ABCD(A、B、C、D不共面)E、M为AD 的三分点,F、N为BC的三分点,由AB、EF、MN、CD可组成 对异面直线。 答案:六对,任意两条均异面 证明:EF、MN异面(反证法) 假设EF、MN共面 A、B、C、D与已知矛盾假设不成立原命题成立 EF、MN为异面直线 [例10]正方体 解 ∵正异面,B.D.2NN与ACBD无法比较 3.与两条异面直线均相交的两条直线的位置关系为 4. 则,求证所在平面外一点,,D、E、F依次为 的重心,求的面积。 【试题答案】 第3页
第 3 页 互相平分 MN 过 EF 中点 EF、GH、MN 交于一点且互相平分 [例 8] 正方体 成异面关系的棱有 条； （3）与 BD 成异面关系的棱有 条； （4）12 条棱中异面直线有 对。 解：（1）4 条 （2）6 条 （3）6 条 （4）24 对 [例 9] 空间四边形 ABCD（A、B、C、D 不共面）E、M 为 AD 的三分点，F、N 为 BC 的三分点，由 AB、EF、MN、CD 可组成 对异面直线。 答案：六对，任意两条均异面 证明：EF、MN 异面（反证法） 假设 EF、MN 共面 A、B、C、D 与已知矛盾 假设不成立 原命题成立 EF、MN 为异面直线 [例 10] 正方体 解： （1） ∵ 正 异面， B. D. 2MN 与 AC BD 无法比较 3. 与两条异面直线均相交的两条直线的位置关系为 。 4. ，则 ，求证 所在平面外一点， ，D、E、F 依次为 、 的重心，求 的面积。 【试题答案】
1.平行或相交或异面 2.B 3.相交或异面 4.平行或相交或异面 5.∵没有公共点∵ 与无公共点 6.连PD延长交AB于M,连PE延长交BC于N,连结MN 第4页
第 4 页 1. 平行或相交或异面 2. B 3. 相交或异面 4. 平行或相交或异面 5. ∵ 没有公共点 ∵ 与 无公共点 6. 连 PD 延长交 AB 于 M，连 PE 延长交 BC 于 N，连结 MN