22直线、平面平行的判定及其性质 221直线与平面平行的判定 222平面与平面平行的判定 分层训练∠解疑·纠偏,检测 、基础达标 1.已知三个平面a,B,y,一条直线l,要得到a∥B,必须满足下列条件中的( A.l∥a,M∥B,且l∥y B.1Cy,且b∥a,∥B C.a∥y,且B∥y D.l与a,B所成的角相等 答案C 解析①y→与?无公共点 B∥y=B与无公共点/a与B无公共点→a∥B 2.下列图形中能正确表示语句“平面a∩B=1,aCa,bCB,a∥B”的是() b C D 答案D 解析A中不能正确表达bCB;B中不能正确表达a∥B;C中也不能正确表 达a∥BD正确 3.(2014郑州高一检测)在正方体ABCD-A1B1CD中,M是棱CD上的动点 则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是 A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行 答案B 第1页
第1页 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 一、基础达标 1．已知三个平面 α，β，γ，一条直线 l，要得到 α∥β，必须满足下列条件中的( ) A．l∥α，l∥β，且 l∥γ B．l⊂γ，且 l∥α，l∥β C．α∥γ，且 β∥γ D．l 与 α，β 所成的角相等 答案 C 解析 α∥γ⇒α与γ无公共点 β∥γ⇒β与γ无公共点 ⇒α 与 β 无公共点⇒α∥β. 2．下列图形中能正确表示语句“平面 α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥β”的是( ) 答案 D 解析 A 中不能正确表达 b⊂β；B 中不能正确表达 a∥β；C 中也不能正确表 达 a∥β.D 正确． 3．(2014·郑州高一检测)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 是棱 CD 上的动点， 则直线 MC1 与平面 AA1B1B 的位置关系是 ( ) A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行 答案 B
解析如图,MC1C平面DDC1C,而平面AA1B1B∥平面DD1C1C,故MC1 ∥平面AA1B1B D DU C B 平面a内有不共线的三点到平面B的距离相等且不为零,则a与B的位置关 系为 A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.可能重合 答案C 解析若三点分布于平面B的同侧,则a与B平行,若三点分布于平面B的 两侧,则a与β相交 5.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点, 则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是 A.0 答案C 解析如图,由线面平行的判定定理可知, BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH 6.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系为 答案平行或相交 第2页
第2页 解析 如图，MC1⊂平面 DD1C1C，而平面 AA1B1B∥平面 DD1C1C，故 MC1 ∥平面 AA1B1B. 4．平面 α 内有不共线的三点到平面 β 的距离相等且不为零，则 α 与 β 的位置关 系为 ( ) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．可能重合 答案 C 解析 若三点分布于平面 β 的同侧，则 α 与 β 平行，若三点分布于平面 β 的 两侧，则 α 与 β 相交． 5．点 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点， 则空间四面体的六条棱中与平面 EFGH 平行的条数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C 解析 如图，由线面平行的判定定理可知， BD∥平面 EFGH，AC∥平面 EFGH. 6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为 ________． 答案 平行或相交
解析三条平行线段共面时,两平面可能平行也可能相交,当三条平行线段 不共面时,两平面一定平行 7如图,在底面是矩形的四棱锥P一ABCD中,E、F分别是PC、PD的中点, 求证:EF∥平面PAB A D 证明∵E、F分别是PC,PD的中点,∴EF∥CD,∵:CD∥AB,∴EF∥AB, ∵EF面PAB,ABC平面PAB,∴EF∥平面PAB 、能力提升 8.(2014绍兴高一检测)已知直线l,m,平面a,B,下列命题正确的是() A.∥B,1ca→a∥B B.l∥B,m∥B,lca,mCa→a∥B C.l∥m,lCa,mCB→a∥B D.l∥B,m∥B,1ca,mca,nm=M→a∥B 答案D 解析如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB ∥CD, D C 则AB∥平面DC1,ABC平面AC, A1 但是平面AC与平面DC1不平行, E 所以A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证 D EF∥平面AC, A B1C1∥平面 AC EFO平面BC1,B1C1C平面BC1,但是平面AC与平面BC1 不平行,所以B错误;可证AD∥B1C1,ADC平面AC,B1C1C平面BC1,又 平面AC与平面BC1不平行,所以C错误;很明显D是面面平行的判定定理 所以D正确 9.三棱锥S一ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG 与平面SBC的关系为 答案平行 第3页
第3页 解析 三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段 不共面时，两平面一定平行． 7.如图，在底面是矩形的四棱锥 P－ABCD 中，E、F 分别是 PC、PD 的中点， 求证：EF∥平面 PAB. 证明 ∵E、F 分别是 PC，PD 的中点，∴EF∥CD，∵CD∥AB，∴EF∥AB， ∵EF⊄面 PAB，AB⊂平面 PAB，∴EF∥平面 PAB. 二、能力提升 8．(2014·绍兴高一检测)已知直线 l，m，平面 α，β，下列命题正确的是( ) A．l∥β，l⊂α⇒α∥β B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β C．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β 答案 D 解析 如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB ∥CD， 则 AB∥平面 DC1，AB⊂平面 AC， 但是平面 AC 与平面 DC1 不平行， 所以 A 错误；取 BB1 的中点 E，CC1 的中点 F，则可证 EF∥平面 AC， B1C1∥平面 AC.EF⊂平面 BC1，B1C1⊂平面 BC1，但是平面 AC 与平面 BC1 不平行，所以 B 错误；可证 AD∥B1C1，AD⊂平面 AC，B1C1⊂平面 BC1，又 平面 AC 与平面 BC1 不平行，所以 C 错误；很明显 D 是面面平行的判定定理， 所以 D 正确． 9．三棱锥 S－ABC 中，G 为△ABC 的重心，E 在棱 SA 上，且 AE＝2ES，则 EG 与平面 SBC 的关系为________． 答案 平行
解析如图,延长AG交BC于F,则由G为△ABC的重心知AG:GF=2, 又AE:ES=2,∴EG∥SF,又SFC面SBC,EG平面SBC,∴EG∥平面SBC 10.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中, F ①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE ∥平面NCF 以上四个命题中,正确命题的序号是 答案①②③④ 解析以ABCD为下底面还原正方体,如图 C 则易判定四个命题都是正确的 11.(2014自贡高一检测)如图,在三棱柱ABC一A1B1C1中,D为BC的中点,连 接AD,DC1,A1B,AC1,求证:A1B∥平面ADC1 ,B1 B 第4页
第4页 解析 如图，延长 AG 交 BC 于 F，则由 G 为△ABC 的重心知 AG∶GF＝2， 又 AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又 SF⊂面 SBC，EG⊄平面 SBC，∴EG∥平面 SBC. 10．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①BM∥平面 DE；②CN∥平面 AF；③平面 BDM∥平面 AFN；④平面 BDE ∥平面 NCF. 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案 ①②③④ 解析 以 ABCD 为下底面还原正方体，如图： 则易判定四个命题都是正确的． 11．(2014·自贡高一检测)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 为 BC 的中点，连 接 AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面 ADC1
证明连接AC,设 AICnAC1=O,再连接OD.由题意A1 B1 知,A1ACC1是平行四边形,所以O是AC的中点,又D Cu 是CB的中点,因此OD是△A1CB的中位线,即OD∥ B A1B.又A1B平面ADC1,ODC平面ADC1,所以A1B∥平 面ADC1 、探究与创新 12如图在正方体ABCD-A1B1CD1中,E,F,M,N分别为棱AB,CC1,AA1 C1D1的中点.求证:平面CEM∥平面BFN Bi C B 证明因为E,F,M,N分别为其所在各棱的中点,如图连接CD1,A1B, 易知FN∥CD 同理,ME∥A1B D C1 Al BNF D A E B 易证四边形A1BCD1为平行四边形,所以ME∥NF 连接MD1,同理可得MD1∥BF 又BF,NF为平面BFN中两相交直线,ME,MD1为平面CEM中两相交直线, 故平面CEM∥平面BFN 13如图所示,在正方体ABCD一A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1 D1D、CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动, 第5页
第5页 证明 连接 A1C，设 A1C∩AC1＝O，再连接 OD.由题意 知，A1ACC1 是平行四边形，所以 O 是 A1C 的中点，又 D 是 CB 的中点，因此 OD 是△A1CB 的中位线，即 OD∥ A1B.又 A1B⊄平面 ADC1，OD⊂平面 ADC1，所以 A1B∥平 面 ADC1. 三、探究与创新 12.如图在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，M，N 分别为棱 AB，CC1，AA1， C1D1 的中点．求证：平面 CEM∥平面 BFN. 证明 因为 E，F，M，N 分别为其所在各棱的中点，如图连接 CD1，A1B， 易知 FN∥CD1. 同理，ME∥A1B. 易证四边形 A1BCD1 为平行四边形，所以 ME∥NF. 连接 MD1，同理可得 MD1∥BF. 又 BF，NF 为平面 BFN 中两相交直线，ME，MD1 为平面 CEM 中两相交直线， 故平面 CEM∥平面 BFN. 13.如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、 D1D、CD 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动
则M满足什么条件时,有MN∥平面B1BDD1(不必考虑所有可能情况,只要 写出一个即可,并说明理由) D1 C B E 、可 解①若M为H点时,连接HN, H、N为边DC,BC中点,∴HN∥BD ∴BDC平面BDD1B1,N平面BDD1B1, HN∥平面B1BDD1, 即MN∥平面B1BDD1 ②若M为F点时,取BD中点P 连接PN、FN、D1P, N为BC中点,F为D1C1中点, 结合中位线及正方体的性质可知PN绣D1F, 四边形D1PNF为平行四边形,∴FN∥D1P, FN平面B1BDD1, D1PC平面B1BDD1, FN∥平面B1BDD1 即MN∥平面B1BDD1 ③连接FH,若M为FH上任一点, 作MQ∥D1C1交D1D于点Q, 取BD中点P,并连接PO,PN 易知MQPN为平行四边形,∴MN∥PQ, ∵MN平面B1BDD1, PQC平面B1BDD1,∴MN∥平面B1BDD 综上知M在线段FH上时,MN∥平面B1BDD1 第6页
第6页 则 M 满足什么条件时，有 MN∥平面 B1BDD1.(不必考虑所有可能情况，只要 写出一个即可，并说明理由) 解 ①若 M 为 H 点时，连接 HN， ∵H、N 为边 DC，BC 中点，∴HN∥BD. ∵BD⊂平面 BDD1B1，HN⊄平面 BDD1B1， ∴HN∥平面 B1BDD1， 即 MN∥平面 B1BDD1. ②若 M 为 F 点时，取 BD 中点 P， 连接 PN、FN、D1P， ∵N 为 BC 中点，F 为 D1C1 中点， 结合中位线及正方体的性质可知 PN 綉 D1F， ∴四边形 D1PNF 为平行四边形，∴FN∥D1P， ∵FN⊄平面 B1BDD1， D1P⊂平面 B1BDD1， ∴FN∥平面 B1BDD1， 即 MN∥平面 B1BDD1. ③连接 FH，若 M 为 FH 上任一点， 作 MQ∥D1C1 交 D1D 于点 Q， 取 BD 中点 P，并连接 PQ，PN， 易知 MQPN 为平行四边形，∴MN∥PQ， ∵MN⊄平面 B1BDD1， PQ⊂平面 B1BDD1，∴MN∥平面 B1BDD1. 综上知 M 在线段 FH 上时，MN∥平面 B1BDD1