第五节直线、平面垂直的判定及其性质 考纲下载 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面 垂直的有关性质和判定定理 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的 简单命题.理解直线与平面所成的角、二面角的概念 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线1与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线1与平面a互相垂直 (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言符号语言 条直线与一个平 面内的两条相交直 判定定理 ∩b=0 线都垂直,则该直 线与此平面垂直 垂直于同一个平面 性质定理 →a∥b 的两条直线平行 2.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线 和这个平面所成的角.如图所示,∠PO就是斜线AP与平面a所成的角 (2)线面角0的范围:0∈0, 面角的有关概念
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 考纲下载 1．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面 垂直的有关性质和判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的 简单命题．理解直线与平面所成的角、二面角的概念． 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平 面内的两条相交直 线都垂直，则该直 线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面 的两条直线平行 2.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线 和这个平面所成的角．如图所示，∠PAO 就是斜线 AP 与平面α所成的角． (2)线面角θ的范围：θ∈ 0， π 2 . 3．二面角的有关概念
(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别 作垂直千棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 4.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 个平面过另一个 平面的一条垂线, 判定定理 则这两个平面互相 垂直 两个平面互相垂 直,则一个平面内 性质定理 垂直于交线的直线 与另一个平面垂直 题思考 若两条平行线中的一条垂直于一个平面,那另一条与此平面是否垂直? 提示:垂直 垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗? 提示:平行.可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出. ●●)牛刀小试 1.(教材习题改编)给出下列四个命题: ①垂直于同一平面的两条直线相互平行; ②垂直于同一平面的两个平面相互平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平 ④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于这个 平面. 其中真命题的个数是() 解析:选B①④正确
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 4．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个 平面的一条垂线， 则这两个平面互相 垂直 性质定理 两个平面互相垂 直，则一个平面内 垂直于交线的直线 与另一个平面垂直 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平面是否垂直？ 提示：垂直． 2．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？ 提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出． 1．(教材习题改编)给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②垂直于同一平面的两个平面相互平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平 行； ④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个 平面． 其中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B ①④正确．
2.已知直线a,b和平面a,且a⊥b,a⊥a,则b与a的位置关系为() CaB.b∥a C.bca或b∥aD.b与a相交 解析:选C∵a⊥b,a⊥a,∴b∥a或bCa 3.(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB、PC,PA、 AC、BD,则一定互相垂直的平面有() A.8对B.7对 C.6对D.5对 解析 选B由于PD⊥平面ABCD,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD, 平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PB,平面PAB⊥平 面PAD,平面PBC⊥平面PDC,共7对 4.已知a,B表示两个不同的平面,m为平面a内的一条直线,则“a⊥ B”是“m⊥B”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”) 解析:设a∩B=1,则当Ca,且m⊥1时,有m⊥B,否则m不垂直B, 故a⊥B→/m⊥B;反之,若ma,m⊥B,则a⊥B 答案:必要不充分 5.(教材习题改编)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后,∠DAB= 解析 如图所示,取AC的中点O,连接OD,OB,DB,由条件知,OD⊥OB,设AD= ,则m=m 所以DB=Vm+OF=1
2．已知直线 a，b 和平面α，且 a⊥b，a⊥α，则 b 与α的位置关系为( ) A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或 b∥α D．b 与α相交 解析：选 C ∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或 b⊂α. 3．(教材习题改编)PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连接 PB、PC，PA、 AC、BD，则一定互相垂直的平面有( ) A．8 对 B．7 对 C．6 对 D．5 对 解析： 选 B 由于 PD⊥平面 ABCD，故平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PDB⊥平面 ABCD， 平面 PDC⊥平面 ABCD，平面 PDA⊥平面 PDC，平面 PAC⊥平面 PDB，平面 PAB⊥平 面 PAD，平面 PBC⊥平面 PDC，共 7 对． 4．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥ β”是“m⊥β”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”)． 解析：设α∩β＝l，则当 m⊂α，且 m⊥l 时，有 m⊥β，否则 m 不垂直β， 故α⊥β ⇒/ m⊥β；反之，若 m⊂α，m⊥β，则α⊥β. 答案：必要不充分 5．(教材习题改编)将正方形 ABCD 沿 AC 折成直二面角后，∠DAB＝________. 解析： 如图所示，取 AC 的中点 O，连接 OD，OB，DB，由条件知，OD⊥OB，设 AD＝ 1，则 OD＝OB＝ 2 2 ， 所以 DB＝ OD 2＋OB 2＝1
所以△ADB为正三角形, 故∠DAB=60 答案:60° 1.直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容,题型多为解答题, 难度适中,属中档题. 2.高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个命题角度: (1)同真假命题的判断相结合考查 (2)以多面体为载体,证明线面垂直问题 (3)以多面体为载体,考查与线面垂直有关的探索性问题. [例1](A.浙江高考)设m,n是两条不同的直线,a,B是两个不同的平 A.若m⊥n,n∥a,则m⊥a B.若m∥B,B⊥a,则m⊥a C.若m⊥B,n⊥B,n⊥a,则m⊥a 若m⊥n,n⊥B,B⊥a,则m⊥a (2)(A.湖北高考)如图,在正方体ABCA1BCD中,E,F,P,Q,M,N分别 是棱AB,AD,D,B,AB,AD的中点.求证: ①直线BC∥平面EFPQ ②直线AC⊥平面PQMN [自主解答](1)选项A,B,D中m均可能与平面a平行、垂直、斜交或在 平面a内,故选C (2)①连接AD,由 ABCDABGD是正方体,知AD∥BC,因为F,P分别是 AD,D的中点,所以FP∥AB.从而BC∥FP
所以△ADB 为正三角形， 故∠DAB＝60°. 答案：60° 1．直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题， 难度适中，属中档题． 2．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个命题角度： (1)同真假命题的判断相结合考查； (2)以多面体为载体，证明线面垂直问题； (3)以多面体为载体，考查与线面垂直有关的探索性问题． [例 1] (A.浙江高考)设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平 面( ) A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α (2)(A.湖北高考)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N 分别 是棱 AB，AD，DD1 ，BB1 ，A1B1 ，A1D1 的中点. 求证： ①直线 BC1 ∥平面 EFPQ ； ②直线 AC1⊥平面 PQMN . [自主解答] (1)选项 A，B，D 中 m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在 平面α内，故选 C. (2)①连接 AD1，由 ABCD-A1B1C1D1是正方体，知 AD1∥BC1，因为 F，P 分别是 AD，DD1的中点，所以 FP∥AD1.从而 BC1∥FP
而FPC平面EFPQ,且BC平面EFPQ,故直线BC∥平面EFP ②如图,连接AC,BD,则AC⊥BD 由CC⊥平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC⊥BD 又AC∩CC=C, 所以BD⊥平面ACG 而ACC平面ACC, 所以BD⊥AC 连接BD,因为M,N分别是AB,A1D的中点, 所以MW∥BD,故MMBD,从而M⊥AC. 同理可证PV⊥AC 又PM∩M=M,所以直线AC⊥平面PM [答案](1)C 线面垂直问题的常见类型及解题策略 (1)与命题真假判断有关的问题.解决此类问题的方法是结合图形进行推理, 或者依据条件举出反例否定 2)线面垂直的证明.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直 则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂 直的基本思想 (3)线面垂直的探索性问题.此类问题的解决方法同“线面平行的探索性问 题”的求解方法(见本章第四节的[通关锦囊]) 如图1所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F 为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△ADE的位置,使AF⊥CD,如图2 所示
而 FP⊂平面 EFPQ，且 BC1⊄平面 EFPQ，故直线 BC1∥平面 EFPQ. ②如图，连接 AC，BD，则 AC⊥BD. 由 CC1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，可得 CC1⊥BD. 又 AC∩CC1＝C， 所以 BD⊥平面 ACC1. 而 AC1⊂平面 ACC1， 所以 BD⊥AC1. 连接 B1D1，因为 M，N 分别是 A1B1，A1D1的中点， 所以 MN∥B1D1，故 MN∥BD，从而 MN⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1. 又 PN∩MN＝N，所以直线 AC1⊥平面 PQMN. [答案] (1)C 线面垂直问题的常见类型及解题策略 (1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问题的方法是结合图形进行推理， 或者依据条件举出反例否定． (2)线面垂直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直 则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂 直的基本思想． (3)线面垂直的探索性问题．此类问题的解决方法同“线面平行的探索性问 题”的求解方法(见本章第四节的[通关锦囊])． 如图 1 所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图 2 所示．
D 图2 (1)求证:DE∥平面ACB; (2)求证:AF⊥ (3)线段AB上是否存在点Q,使AC⊥平面DEQ?说明理由 解:(1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点, 所以DE∥BC 又因为D平面ACB,BC平面ACB, 所以DE∥平面ACB (2)证明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC, 所以DE⊥AC 所以DE⊥AD,DE⊥CD 又AD∩CD=D,ADC平面ADC,CD平面ADC, 所以DE⊥平面ADC 因为AFC平面ADC, 所以DE⊥AF 又因为AF⊥CD,CD∩DE=D,CD平面BCDE,DEC平面BCDE, 所以AF⊥平面BCDE, 又BEC平面BCDE, 所以AF⊥BE (3)线段AB上存在点Q,使AC⊥平面DEQ 理由如下: D_QNE 如图所示,分别取AC,AB的中点P,Q,则PQ∥BC
(1)求证：DE∥平面 A1CB； (2)求证：A1F⊥BE； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由． 解：(1)证明：因为 D，E 分别为 AC，AB 的中点， 所以 DE∥BC. 又因为 DE⊄平面 A1CB，BC⊂平面 A1CB， 所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明：由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC， 所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D，DE⊥CD. 又 A1D∩CD＝D，A1D⊂平面 A1DC，CD⊂平面 A1DC， 所以 DE⊥平面 A1DC. 因为 A1F⊂平面 A1DC， 所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD⊂平面 BCDE，DE⊂平面 BCDE， 所以 A1F⊥平面 BCDE， 又 BE⊂平面 BCDE， 所以 A1F⊥BE. (3)线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ. 理由如下： 如图所示，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，则 PQ∥BC
又因为DE∥BC,所以DE∥PQ 所以平面DEQ即为平面DEP 由(2)知,DE⊥平面ADC, 所以DE⊥AC. 又因为P是等腰三角形DAC底边AC的中点, 所以AC⊥D 又DP∩DE=D,DP平面DEP,DEC平面DEP, 所以AC⊥平面DEP从而AC⊥平面DEQ 故线段AB上存在点Q,使得AC⊥平面DEQ 考点二 面面垂直的判定与性质 [例2](A.绍兴模拟) 如图,四棱锥 PABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M, N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点 求证:(1)CE∥平面PAD (2)平面EFG⊥平面EM [自主解答](1)法一: 取PA的中点H,连接E,DH 因为E为PB的中点, 所以BH∥AB,BH==AB 又AB∥CD,CD=
又因为 DE∥BC，所以 DE∥PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知，DE⊥平面 A1DC， 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点， 所以 A1C⊥DP. 又 DP∩DE＝D，DP⊂平面 DEP，DE⊂平面 DEP， 所以 A1C⊥平面 DEP.从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q，使得 A1C⊥平面 DEQ. [例 2] (A.绍兴模拟) 如图，四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M， N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点． 求证：(1)CE∥平面 PAD； (2)平面 EFG⊥平面 EMN. [自主解答] (1)法一： 取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 因为 E 为 PB 的中点， 所以 EH∥AB，EH＝ 1 2 AB. 又 AB∥CD，CD＝ 1 2 AB
所以BH∥CD,EH=CD, 因此四边形DCEH是平行四边形 所以CE∥DH 又DE平面PAD,CF平面PAD, 所以CE∥平面PAD 法二:连接CF 因为F为AB的中点 所以AF==AB 又CD==AB, 所以AF=CD 又AF∥CD, 所以四边形AFCD为平行四边形 因此CF∥AD 又C平面PAD,AD平面PAD, 所以CF∥平面PAD 因为E,F分别为PB,AB的中点 所以EF∥PA 又EF平面PAD,PC平面PAD, 所以EF∥平面PAD 因为CF∩EF=F, 故平面CEF∥平面PAD 又CEC平面CEF, 所以CE∥平面PAD (2)因为E,F分别为PB,AB的中点
所以 EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形 DCEH 是平行四边形． 所以 CE∥DH. 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD， 所以 CE∥平面 PAD. 法二：连接 CF. 因为 F 为 AB 的中点， 所以 AF＝ 1 2 AB. 又 CD＝ 1 2 AB， 所以 AF＝CD. 又 AF∥CD， 所以四边形 AFCD 为平行四边形． 因此 CF∥AD. 又 CF⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点， 所以 EF∥PA. 又 EF⊄平面 PAD，PA⊂平面 PAD， 所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF＝F， 故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE⊂平面 CEF， 所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点
所以EF∥PA 又AB⊥P, 所以AB⊥EF 同理可证AB⊥FG 又EF∩FG=F,EFC平面EFG,FC平面EFG, 因此AB⊥平面EFG 又M,N分别为PD,PC的中点 所以MW∥CD 又AB∥CD, 所以MW∥AB 所以M⊥平面EFG 又MC平面EMM, 所以平面EFG⊥平面E 互动探究 在本例条件下,证明:平面EMN⊥平面PAC. 证明:圆为AB⊥PA,AB⊥AC,且PA∩AC=A 所以AB⊥平西PAC. 又MN∥CD,CD∥AB, 所以MN⊥平面PAC 又MN二平面EMN, 所以平西EMN⊥平西PAC. 方法·規律 面面垂直的性质应用技巧 (1)两平西垂立,在一个平西内垂直于交线的直线必垂文 于另一个平西,这是把面西垂直转化为线西垂直的依据,运用 时要注意“平西内的直线 (2)两个相交平西同时直于第三个平西,那么它们的交 线也直于第三个平西,此蚀质是在课本习题中出现的,在不 是很复杂的题目中,要对此进行证明 变式训练 如图所示,三棱柱 ABCABC中,侧棱AA⊥底面ABC,且各棱长均相等,D
所以 EF∥PA. 又 AB⊥PA， 所以 AB⊥EF. 同理可证 AB⊥FG. 又 EF∩FG＝F，EF⊂平面 EFG，FG⊂平面 EFG， 因此 AB⊥平面 EFG. 又 M，N 分别为 PD，PC 的中点， 所以 MN∥CD. 又 AB∥CD， 所以 MN∥AB， 所以 MN⊥平面 EFG. 又 MN⊂平面 EMN， 所以平面 EFG⊥平面 EMN. 如图所示，三棱柱 ABC-A1B1C1中， 侧棱 A1A⊥底面 ABC，且各棱长均相等，D
E,F分别为棱AB,BC,AC的中点 求证:(1)EF∥平面ACD; (2)平面ACD⊥平面AABB 证明:(1)如图所示,在三棱柱 ABC-ABC中 AC∥A1C,且AC=AC,连接ED, 在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点, 所以DE==AC,且DE∥AC 又F为AG的中点,所以AF=AC=4C,且AF∥AC∥AC,所以AF=DE, 且AF∥DE, 即四边形ADEF为平行四边形, 所以EF∥DA 又EF平面ACD,DAC平面ACD,所以EF∥平面ACD (2)由于底面ABC是正三角形,D为AB的中点 故CD⊥AB,又侧棱AA⊥底面ABC,C平面ABC, 所以AA1⊥CD, 又AA1∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB 而CD平面ACD,所以平面ACD⊥平面AABB 考点三 垂直关系的综合应用 [例3] 如图所示,在四棱锥 PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB
E，F 分别为棱 AB，BC，A1C1的中点． 求证：(1)EF∥平面 A1CD； (2)平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. 证明：(1)如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， AC∥A1C1，且 AC＝A1C1，连接 ED， 在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DE＝ 1 2 AC，且 DE∥AC. 又 F 为 A1C1的中点，所以 A1F＝ 1 2 A1C＝ 1 2 AC，且 A1F∥A1C1∥AC，所以 A1F＝DE， 且 A1F∥DE， 即四边形 A1DEF 为平行四边形， 所以 EF∥DA1. 又 EF⊄平面 A1CD，DA1⊂平面 A1CD，所以 EF∥平面 A1CD. (2)由于底面 ABC 是正三角形，D 为 AB 的中点， 故 CD⊥AB，又侧棱 A1A⊥底面 ABC，CD⊂平面 ABC， 所以 AA1⊥CD， 又 AA1∩AB＝A，因此 CD⊥平面 A1ABB1， 而 CD⊂平面 A1CD，所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. [例 3] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥平面 PAD，AB∥CD，PD＝AD，E 是 PB