高一数学《直线、平面垂直的判定及其性质》练习题 第1题.已知直线a,b和平面a,且a⊥b,a⊥a,则b与a的位置关系是 答案:b//a或bca 第2题.已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是() A.3 答案 第3题.已知平面a,B,y且a⊥y,B/y,求证a⊥B 答案:证明:设a∩y=1,在平面a内作直线a⊥l. 因为a⊥y,所以a⊥y 过a作一个平面d与平面B相交于直线b 由a//B,得a/1b 又bcB,所以β⊥y.因为a⊥y,所以b⊥y 第4题.已知平面α,β,y满足a⊥y,B⊥y,a∩β=1,求证:I⊥y 答案:在平面y内做两条相交直线分别垂直于平面a,B与平面y的交线,再利用面面垂 直的性质定理证直线l⊥平面y 第1页共9页
第1页 共9页 高一数学《直线、平面垂直的判定及其性质》练习题 第 1 题. 已知直线 a，b 和平面 ，且 a b ⊥ ， a ⊥ ，则 b 与 的位置关系是 ． 答案： b// 或 b ． 第 2 题. 已知两个平面垂直，下列命题 ① 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面． ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确的个数是（ ） A．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０ 答案：Ｂ． 第 3 题. 已知平面 ， ， 且 ⊥ ， // ，求证 ⊥ ． 答案：证明：设 = l ，在平面 内作直线 a l ⊥ ． 因为 ⊥ ，所以 a ⊥ ． 过 a 作一个平面 与平面 相交于直线 b ， 由 // ，得 a b // ． 又 b ，所以 ⊥ ．因为 a ⊥ ，所以 b ⊥ ． 第 4 题. 已知平面 ， ， 满足 ⊥ ， ⊥ ， = l ，求证： l ⊥ ． 答案：在平面 内做两条相交直线分别垂直于平面 ， 与平面 的交线，再利用面面垂 直的性质定理证直线 l ⊥平面 ．
第5题.如图,已知平面α,B,直线a满足α⊥β,a⊥B,agα,试判断直线a与 平面a的位置关系 b 答案:解:在a内作垂直于a与B交线的直线b,因为a⊥B,所以b⊥B 因为a⊥B,所以a//b.又因为aga,所以a/a 即直线a与平面a平行 第6题.如图所示,ABCD为正方形,S4⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别 交SB,SC,SD于E,F,G 求证:AE⊥SB,AG⊥SD F E 答案:证明:∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥BC 又AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB ∵AEC平面SAB,∴BC⊥AE ∴SC⊥平面AEFG,∴SC⊥AE,AE⊥平面SBC,∴AE⊥S 同理AG⊥SD 第7题.已知直线l⊥平面a,有以下几个判断:①若m⊥l,则m//a;②2若m⊥a 第2页共9页
第2页 共9页 第 5 题. 如图，已知平面 ， ，直线 a 满足 ⊥ ， a ⊥ ，a ，试判断直线 a 与 平面 的位置关系． 答案：解：在 内作垂直于 与 交线的直线 b ，因为 ⊥ ，所以 b ⊥ ． 因为 a ⊥ ，所以 a b // ．又因为 a ，所以 a// ． 即直线 a 与平面 平行． 第 6 题. 如图所示， ABCD 为正方形， SA⊥ 平面 ABCD ，过 A 且垂直于 SC 的平面分别 交 SB ， SC ， SD 于 E ， F ，G ． 求证： AE SB AG SD ⊥ ⊥ ， ． 答案：证明： ∵ SA⊥ 平面 ABCD，∴SA BC ⊥ ． 又 AB BC ⊥ ，∴ BC SAB ⊥ 平面 ． ∵AE SAB 平面 ，∴BC AE ⊥ ， ∵SC AEFG ⊥ 平面 ，∴SC AE AE SBC ⊥ ⊥ ， 平面 ，∴AE SB ⊥ ． 同理 AG SD ⊥ ． 第 7 题. 已知直线 l ⊥ 平面 ，有以下几个判断： ① 若 m l ⊥ ，则 m// ； ② 若 m ⊥ ， b a S A B C F E D G
则m/1:③3若m//a,则m⊥l:④若m//,则m⊥a.上述判断中正确的是( A.①②③B.②③④C.①③4D.①②④ 答案:B 第8题.α,β是两个不同的平面,m,n是平面a及β之外的两条不同的直线,给出四个 论断:①m⊥n;②a⊥B;③m⊥B;④m⊥a.以其中三个论断作为条件,余下的一 个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 答案:②③3④4→①或①③④→② 第9题.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,AE⊥PD EF//CD, AM=EF 求证:MF是异面直线AB与PC的公垂线 P 答案:证明:∵PA⊥底面,∴PA⊥A 已知AB⊥AD,∴AB⊥面PAD BA⊥AE 又AM/CD//EF,且AM=EF ∴AEFM是矩形,∴AM⊥MF 又∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面PCD 又MF∥AE,∴MF⊥平面PCD ∴MF⊥PC ∴MF是异面直线AB与PC的公垂线 第10题.设O为平行四边形ABCD对角线的交点,P为平面AC外一点且有PA=PC PB=PD,则PO与平面ABCD的关系是 答案:垂直 第11题.如图,直角△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中 点 (1)求证:SD⊥平面ABC (2)若AB=BC,求证:BD⊥面SAC 第3页共9页
第3页 共9页 则 m l // ； ③ 若 m// ，则 m l ⊥ ； ④ 若 m l // ，则 m ⊥ ．上述判断中正确的是（ ） Ａ． ①②③ Ｂ． ②③④ Ｃ． ①③④ Ｄ． ①②④ 答案：Ｂ． 第 8 题. ， 是两个不同的平面， m n ， 是平面 及 之外的两条不同的直线，给出四个 论断： ①m n ⊥ ； ② ⊥ ； ③n ⊥ ； ④m ⊥ ．以其中三个论断作为条件，余下的一 个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ． 答案： ②③④ ①或①③④ ②． 第 9 题. 如图所示，四棱锥 P ABCD − 的底面是正方形， PA ⊥ 底面 ABCD， AE PD ⊥ ， EF CD // ， AM EF = ． 求证： MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线． 答案：证明： ∵PA ⊥ 底面， ∴PA AB ⊥ ． 已知 AB AD ⊥ ，∴ AB ⊥ 面 PAD ．∴BA AE ⊥ ． 又 AM CD EF // // ，且 AM EF = ． ∴AEFM 是矩形， ∴AM MF ⊥ ． 又 ∵AE PD ⊥ ， AE CD ⊥ ，∴AE ⊥ 平面 PCD． 又 MF AE // ，∴MF ⊥ 平面 PCD． ∴MF PC ⊥ ． ∴ MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线． 第 10 题. 设 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， P 为平面 AC 外一点且有 PA PC = ， PB PD = ，则 PO 与平面 ABCD 的关系是 ． 答案：垂直 第 11 题. 如图，直角 △ABC 所在平面外一点 S ，且 SA SB SC = = ，点 D 为斜边 AC 的中 点． （１） 求证： SD ⊥ 平面 ABC ； （２） 若 AB BC = ，求证： BD ⊥ 面 SAC ． B A P E F C D M
C 答案:证明:(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC 连结BD 在Rt△ABC中,则AD=DC=BD △ADS≌△BDS,∴SD⊥BD 又AC∩BD=D,∴SD⊥面ABC (2)∵BA=BC,D为AC的中点 ∴BD⊥AC 又由(1)知SD⊥面ABC,∴SD⊥BD 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线 ∴BD⊥面SAC 第12题.在三棱锥P一ABC中,侧面PAC与面ABC垂直,PA=PB=PC=3 (1)求证:AB⊥BC; (2)设AB=BC=2√3,求AC与平面PBC所成角的大小 答案:证明:如图(1)所示,取AC中点D,连结BD,PD ∵:PA=PC,∴PD⊥AC 又平面PAC⊥平面ABC,∴PD⊥面ABC C ∵PA=PB=PC,∵DA=DB=DC 可知AC为△ABC的外接圆直径 B ∴AB⊥BC. 图(1) (2)解:如图(2),作CF⊥PB于F,连结AF,DF ∵△PBC≌△PBA,∴AF⊥PB,AF=CF ∴PB⊥平面AFC ∴面AFC⊥面PBC,交线为CF ∴直线AC在平面PBC内的射影为直线CF ∴∠ACF为AC与平面PBC所成的角 在Rt△ABC中,AB=BC=23,∴BD=√6 在Rt△PDC中,DC=√6,PD=√3 页共9页
第4页 共9页 答案：证明：（１） ∵SA SC = ， D 为 AC 的中点， ∴SD AC ⊥ ． 连结 BD ． 在 Rt△ABC 中，则 AD DC BD = = ． ∴△ADS BDS ≌△ ，∴SD BD ⊥ ． 又 AC BD D= ，∴SD ⊥ 面 ABC ． （２） ∵BA BC = ， D 为 AC 的中点， ∴BD AC ⊥ ． 又由（１）知 SD ⊥ 面 ABC ， ∴SD BD ⊥ ． 于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线． ∴ BD ⊥ 面 SAC ． 第 12 题. 在三棱锥 P ABC − 中，侧面 PAC 与面 ABC 垂直， PA PB PC = = = 3． （１） 求证： AB BC ⊥ ； （２） 设 AB BC = = 2 3 ，求 AC 与平面 PBC 所成角的大小． 答案：证明：如图（１）所示，取 AC 中点 D ，连结 BD ， PD ． ∵PA PC = ，∴PD AC ⊥ ． 又平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，∴PD ⊥ 面 ABC ． ∵PA PB PC = = ，∴DA DB DC = = ． 可知 AC 为 △ABC 的外接圆直径． ∴ AB BC ⊥ ． 图（１） （２）解：如图（２），作 CF PB ⊥ 于 F ，连结 AF ， DF ． ∵△PBC PBA ≌△ ，∴AF PB ⊥ ， AF CF = ． ∴PB ⊥ 平面 AFC ． ∴ 面 AFC ⊥ 面 PBC ，交线为 CF ． ∴ 直线 AC 在平面 PBC 内的射影为直线 CF ． ∴ ACF 为 AC 与平面 PBC 所成的角． 在 Rt△ABC 中， AB BC = = 2 3 ，∴BD = 6 ． 在 Rt△PDC 中， DC = 6 ， PD = 3 ． A S C B D A P D C B
在Rt△PDB中,DF、PDDB√3 PB 在Rt△FDC中,tan∠DCF √2√3 √63 ∴∠ACF=3 即AC与平面PBC所成角为3 图(2) 第13题.在正方形ABCD中,E,F分别是AB及BC的中点,M是EF的中点,沿DE DF及EF把△DAE,△DFC,△EBF折起使A,B,C三点重合,重合后的点记作 P,那么在四面体P-DEF中必有() A.DP⊥面PEF B.DM⊥面PEF C.PM⊥面DEF D.PF⊥面DEF 答案 第14题.直线a不垂直于平面a,则内与a垂直的直线有() A.0条B.1条C.无数条D.a内所有直线 答案: 第15题.已知三条直线m,n,l,三个平面a,B,y.下面四个命题中,正确的是() B⊥ 7/B / →1⊥B l⊥m D mrI //y n⊥y}→m/n 答案:D 5页共9页
第5页 共9页 在 Rt△PDB 中， 3 6 2 3 PD DB DF PB = = = ． 在 Rt△FDC 中， 2 3 tan 6 3 DF DCF DC = = = ． ∴ = ACF 30þ． 即 AC 与平面 PBC 所成角为 30þ ． 第 13 题. 在正方形 ABCD 中， E ，F 分别是 AB 及 BC 的中点， M 是 EF 的中点，沿 DE ， DF 及 EF 把 △DAE，△DFC ，△EBF 折起使 A ， B ，C 三点重合，重合后的点记作 P ，那么在四面体 P DEF − 中必有（ ） Ａ． DP ⊥ 面 PEF Ｂ． DM ⊥ 面 PEF Ｃ． PM ⊥ 面 DEF Ｄ． PF ⊥ 面 DEF 答案：Ａ． 第 14 题. 直线 a 不垂直于平面 ，则 内与 a 垂直的直线有（ ） Ａ． 0 条 Ｂ． 1 条 Ｃ．无数条 Ｄ． 内所有直线 答案：Ｃ． 第 15 题. 已知三条直线 m ，n，l ，三个平面 ， ， ．下面四个命题中，正确的是（ ） Ａ． ⊥ ⊥ // Ｂ． m l l m ⊥ ⊥ // Ｃ． m m n n // // // Ｄ． m m n n ⊥ ⊥ // 答案：Ｄ． A P D C B F 图（２）
第16题.在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点 下列判断正确的是() A.平面ABD⊥平面BDC .平面ABC⊥平面ABD C.平面ABC⊥平面ADC D.平面ABC⊥平面BED 答案:D 第17题.a,β,y,是四个不同平面,若a⊥y,B⊥y,a⊥o,B⊥,则() A.a//B且y/o B.a//B或y//O C.这四个平面中可能任意两个都不平行 D.这四个平面中至多有一对平面平行 答案:B 第18题.设a,b是异面直线,下列命题正确的是() A.过不在a,b上的一点P一定可以作一条直线和a,b都相交 B.过不在a,b上的一点P一定可以作一个平面和a,b垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行 答案:D 第19题.已知a,b是异面直线,a⊥a,b⊥B,a∩B=c,AB是a,b的公垂线, 求证:AB//c 答案:证明:过A作b⊥B,则b/1b ∴AB⊥b,∴AB⊥b 又∵AB⊥a,a∩b=A,设a,b确定平面y,∴AB⊥y 又a⊥a,cca,∴a⊥c.同理b⊥c AB// 第6页共9页
第6页 共9页 第 16 题. 在空间四边形 ABCD 中，若 AB BC = ， AD CD = ， E 为对角线 AC 的中点， 下列判断正确的是（ ） Ａ．平面 ABD ⊥ 平面 BDC Ｂ．平面 ABC ⊥ 平面 ABD Ｃ．平面 ABC ⊥ 平面 ADC Ｄ．平面 ABC ⊥ 平面 BED 答案：Ｄ． 第 17 题. ， ， ， 是四个不同平面，若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则（ ） Ａ． // 且 // Ｂ． // 或 // Ｃ．这四个平面中可能任意两个都不平行 Ｄ．这四个平面中至多有一对平面平行 答案：Ｂ． 第 18 题. 设 a，b 是异面直线，下列命题正确的是（ ） Ａ．过不在 a，b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a ，b 都相交 Ｂ．过不在 a，b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a ，b 垂直 Ｃ．过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 Ｄ．过 a 一定可以作一个平面与 b 平行 答案：Ｄ． 第 19 题. 已知 a，b 是异面直线， a ⊥ ，b ⊥ ， = c ， AB 是 a ，b 的公垂线， 求证： AB c // ． 答案：证明：过 A 作 b' ⊥ ，则 b b '// ． ∵AB b ⊥ ，∴AB b ⊥ '． 又 ∵AB a ⊥ ， a b A ' = ，设 a，b' 确定平面 ，∴AB ⊥ ． 又 a ⊥ ， c ，∴a c ⊥ ．同理 b c ' ⊥ ． ∴c ⊥ ．∴AB c // ．
A 第20题.下面四个命题: ①若直线a//平面a,则a内任何直线都与a平行 ②若直线a⊥平面a,则a内任何直线都与a垂直: ③若平面a//平面B,则B内任何直线都与a平行 ④若平面a⊥平面B,则B内任何直线都与a垂直 其中正确的两个命题是() A.①与② B.②与③ D.②与④ 答案 第21题.设平面a⊥平面β,且a∩B=l,直线aca,直线bcB,且a不与垂直, b不与l垂直,那么a与b() A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直 C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不能垂直 答案:B 第22题.已知:如图所示,平面a⊥平面B,a∩B=l,在上取线段AB=4,AC, BD分别在平面a和平面B内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,求CD长 第7页共9页
第7页 共9页 第 20 题. 下面四个命题： ① 若直线 a// 平面 ，则 内任何直线都与 a 平行； ② 若直线 a ⊥ 平面 ，则 内任何直线都与 a 垂直； ③ 若平面 // 平面 ，则 内任何直线都与 平行； ④ 若平面 ⊥ 平面 ，则 内任何直线都与 垂直． 其中正确的两个命题是（ ） Ａ．①与② Ｂ．②与③ Ｃ．③与④ Ｄ．②与④ 答案：Ｂ． 第 21 题. 设平面 ⊥ 平面 ，且 = l ，直线 a ，直线 b ，且 a 不与 l 垂直， b 不与 l 垂直，那么 a 与 b （ ） Ａ．可能垂直，不可能平行 Ｂ．可能平行，不可能垂直 Ｃ．可能垂直，也可能平行 Ｄ．不可能垂直，也不能垂直 答案：Ｂ． 第 22 题. 已知：如图所示，平面 ⊥ 平面 ， = l ，在 l 上取线段 AB = 4 ， AC ， BD 分别在平面 和平面 内，且 AC AB ⊥ ，DB AB ⊥ ，AC = 3，BD =12 ，求 CD 长． a c A B b b
B D 答案:解:连结BC AC⊥AB,∴AC⊥B,AC⊥BD BD⊥AB,∴BD⊥,BD⊥BC.∴△CBD是直角三角形. 在Rt△BC中,BC=√AC+AB2=√32+4=5 在Rt△CBD中,CD=√532+122=13 ∴CD长为13 B 第23题.在正三棱柱ABC-ABC1中,若AB⊥BC1·求证:AB1⊥AC 答案:证明:取AB中点D,AB中点D,连结AD,BD,CD,CD,由正三棱柱 性质知,CD⊥AB,C1D⊥AB1 又正三棱柱侧面与底面垂直,∴CD⊥面ABB4,CD⊥面ABBA ∴AD,BD分别为AC与BC1在面ABB1A上的射影 ∵:AB⊥BC1,∴AB1⊥BD 第8页共9页
第8页 共9页 答案：解：连结 BC ． ∵AC AB ⊥ ，∴AC ⊥ ， AC BD ⊥ ． ∵BD AB ⊥ ，∴BD ⊥ ， BD BC ⊥ ．∴△CBD 是直角三角形． 在 Rt△BAC 中， 2 2 BC AC AB = + 2 2 = + = 3 4 5， 在 Rt△CBD 中， 2 2 CD = + = 5 12 13． ∴CD 长为 13． 第 23 题. 在正三棱柱 ABC A B C − 1 1 1 中，若 AB BC 1 1 ⊥ ．求证： AB AC 1 1 ⊥ ． 答案：证明：取 AB 中点 D ， AB1 1 中点 D1 ，连结 AD1 ， BD1，CD，CD1 1 ，由正三棱柱 性质知， CD AB ⊥ ，C D A B 1 1 1 1 ⊥ ． 又正三棱柱侧面与底面垂直， ∴CD ⊥ 面 ABB A1 1 ，CD1 1 ⊥ 面 ABB A1 1 ， ∴AD1 ， BD1 分别为 AC1 与 BC1 在面 ABB A1 上的射影． ∵AB BC 1 1 ⊥ ，∴AB BD 1 1 ⊥ ． A C B D l A C B D l
又AD∠BD,∴AD/BD1.∴AD⊥AB ∴AB,⊥AC C1 B B 第24题.设三棱锥P一ABC的顶点P在底面ABC内射影O(在△ABC内部,即过P作 PO⊥底面ABC,交于O),且到三个侧面的距离相等,则O是△ABC的() A.外心 B.垂 C.内心 D.重 答案: 第25题.如图所示,AB是圆O的直径,C是异于A,B两点的圆周上的任意一点,PA垂 直于圆O所在的平面,则△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的个数是 P B.2 C.3 D.4 答案:D 第26题.已知直线a,b和平面,有以下四个命题 A B ①若a/a,a/1b,则b//a ②若aCa,b∩a=A,则a与b异面 ③若a//b,b⊥a,则a⊥a ④若a⊥b,a⊥a,则b//a 其中真命题的个数是() 答案 9页共9页
第9页 共9页 又 AD1 1 ∥ BD ，∴A D BD 1 1 // ．∴A D AB 1 1 ⊥ ． ∴ AB AC 1 1 ⊥ ． 第 24 题. 设三棱锥 P ABC − 的顶点 P 在底面 ABC 内射影 O （在 △ABC 内部，即过 P 作 PO ⊥ 底面 ABC ，交于 O ），且到三个侧面的距离相等，则 O 是 △ABC 的（ ） Ａ．外心 Ｂ．垂心 Ｃ．内心 Ｄ．重心 答案：Ｃ． 第 25 题. 如图所示， AB 是圆 O 的直径， C 是异于 A ，B 两点的圆周上的任意一点， PA 垂 直于圆 O 所在的平面，则 △PAB ，△PAC ，△ABC ，△PBC 中，直角三角形的个数是 （ ） Ａ． 1 Ｂ． 2 Ｃ． 3 Ｄ． 4 答案：Ｄ． 第 26 题. 已知直线 a，b 和平面 ，有以下四个命题： ① 若 a// ， a b // ，则 b// ； ② 若 a ，b A = ，则 a 与 b 异面； ③ 若 a b // ，b ⊥ ，则 a ⊥ ； ④ 若 a b ⊥ ， a ⊥ ，则 b// ． 其中真命题的个数是（ ） Ａ． 0 Ｂ． 1 Ｃ． 2 Ｄ． 3 答案：Ｂ． C1 A1 A D1 B1 C B D O P A B C