直线、平面平行的判定及其性质练习题 第1题已知a∩B=a,B∩y=m,r∩a=b,且m/a,求证:al/b 第4题如图,长方体ABCD-ABCD中,EF是平面4C上的线段,求证:EF/平面AC 第2题已知:a∩B=b,a/la,alB,则a与b的位置关系是 F CI A. al/b C.a,b相交但不垂直D.a,b异面 I E B B 第3题如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点且第6题如图,正方形ABCD的边长为13,平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都是13,M, PE:EA=BF:FD,求证:EF平面PBC N分别是PA,DB上的点,且PM:M=BN:ND=5:8 1)求证:直线MN/平面 (2)求线段MN的长
1 直线、平面平行的判定及其性质练习题 第 1 题. 已知 = a， = m， = b ，且 m// ，求证： a b // ． ． 第 2 题. 已知： = b ， a// ， a// ，则 a 与 b 的位置关系是（ ） Ａ． a b // Ｂ． a b ⊥ Ｃ． a，b 相交但不垂直 Ｄ． a，b 异面 第 3 题. 如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点， E ，F 分别是 PA ，BD 上的点且 PE EA BF FD ∶ = ∶ ，求证： EF// 平面 PBC ． 第 4 题. 如图，长方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中， EF1 1 是平面 AC1 1 上的线段，求证： EF1 1// 平面 AC ． 第 6 题. 如图，正方形 ABCD 的边长为 13 ，平面 ABCD 外一点 P 到正方形各顶点的距离都是 13，M ， N 分别是 PA ， DB 上的点，且 PM MA BN ND ∶ = = ∶ 5 8∶ ． （１） 求证：直线 MN// 平面 PBC ； （２） 求线段 MN 的长． b a m P E A C B D F A B C D A1 D1 B1 C1 F1 E1 A B C E N D M P
第9题如图,在正方体ABCD-ABC2中,试作出过AC且与直线DB平行的截面,并说明理由 第7题如图,已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点, 求证:PD//平面MAC B 第10题设a,b是异面直线,ac平面a,则过b与a平行的平面() 不存在 有1个 C.可能不存在也可能有1个D.有2个以上 第8题如图,在正方体ABCD-4BC中,E,F分别是棱BC,CD的中点,求证:EF/平第题如图,在正方体ABCD-4BCD中,求证:平面BD平面CDB 面BBDD D D E
2 第 7 题. 如图，已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点， M 为 PB 的中点， 求证： PD// 平面 MAC ． 第 8 题. 如图，在正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中， E ，F 分别是棱 BC ，CD1 1 的中点，求证： EF// 平 面 BB D D 1 1 ． 第 9 题. 如图，在正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中，试作出过 AC 且与直线 DB1 平行的截面，并说明理由． 第 10 题. 设 a ，b 是异面直线， a 平面 ，则过 b 与 平行的平面（ ） Ａ．不存在 Ｂ．有 1 个 Ｃ．可能不存在也可能有 1 个 Ｄ．有 2 个以上 第 11 题. 如图，在正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中，求证：平面 A BD 1 // 平面 CD B1 1． C D A B M P A1 B1 D1 C1 F A E B D C A1 D1 B1 C1 A B D C D1 A1 C1 B1 A B D C
第14题过平面a外的直线,作一组平面与a相交,如果所得的交线为a,b,C,…,则这些交 线的位置关系为() A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 第12题.如图,M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD上的点,且C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或都交于同一点 AM: MB=CN: NB=CP: PD 求证:(1)AC/平面MNP,BD/平面MNP; (2)平面MNP与平面ACD的交线/AC 第15题.a,b是两条异面直线,A是不在a,b上的点,则下列结论成立的是() A.过A且平行于a和b的平面可能不存在 B.过A有且只有一个平面平行于a和b C.过A至少有一个平面平行于a和b D.过A有无数个平面平行于a和b 第16题.若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,过AB的中点E且平行于 BD、AC的截面四边形的周长为 C 第17题在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA上的一点,且EFGH 第13题如图,线段AB,CD所在直线是异面直线,E,F,G,H分别是线段AC,CB,BD,为菱形,若AC/平面EFGH,BD∥/平面EFGH,AC=m,BD=n,则 DA的中点 AE: BE (1)求证:EFGH共面且AB∥面EFGH,CD∥面EFGH (2)设P,O分别是AB和CD上任意一点,求证:PO被面 第18题如图,空间四边形ABCD的对棱AD、BC成6的角,且AD=BC=a,平行于AD 与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H EFGH平分 (1)求证:四边形EGFH为平行四边形 (2)E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少? D B D
3 第 12 题. 如图， M 、 N 、 P 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB ， BC ， CD 上的点，且 AM MB CN NB CP PD ∶ = = ∶ ∶ ． 求证：（１） AC// 平面 MNP ， BD// 平面 MNP ； （２）平面 MNP 与平面 ACD 的交线 //AC ． 第 13 题. 如图，线段 AB ，CD 所在直线是异面直线， E ，F ，G ，H 分别是线段 AC ，CB ，BD ， DA 的中点． （１） 求证： EFGH 共面且 AB∥ 面 EFGH ，CD∥ 面 EFGH ； （２） 设 P ， Q 分别是 AB 和 CD 上任意一点，求证： PQ 被平面 EFGH 平分． 第 14 题. 过平面 外的直线 l ，作一组平面与 相交，如果所得的交线为 a ，b ，c ，… ，则这些交 线的位置关系为（ ） Ａ．都平行 Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点 第 15 题. a ，b 是两条异面直线， A 是不在 a ，b 上的点，则下列结论成立的是（ ） Ａ．过 A 且平行于 a 和 b 的平面可能不存在 Ｂ．过 A 有且只有一个平面平行于 a 和 b Ｃ．过 A 至少有一个平面平行于 a 和 b Ｄ．过 A 有无数个平面平行于 a 和 b 第 16 题. 若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC ，BD 的长分别是 8，12，过 AB 的中点 E 且平行于 BD 、 AC 的截面四边形的周长为 ． 第 17 题. 在空间四边形 ABCD 中， E ，F ，G ，H 分别为 AB ，BC ，CD，DA 上的一点，且 EFGH 为 菱 形 ， 若 AC// 平 面 EFGH ， BD// 平 面 EFGH ， AC m= ， BD n = ， 则 AE BE ： = ． 第 18 题. 如图，空间四边形 ABCD 的对棱 AD 、BC 成 60þ 的角，且 AD BC a = = ，平行于 AD 与 BC 的截面分别交 AB 、 AC 、CD、 BD 于 E 、 F 、G 、 H ． （１）求证：四边形 EGFH 为平行四边形； （２） E 在 AB 的何处时截面 EGFH 的面积最大？最大面积是多少？ A M B N C P E D A E H C F B G D M P Q N A E B H F D G
第23题三棱锥A-BCD中,AB=CD=a,截面 MNPO与AB、CD都平行,则截面MNPO的 周长是( D.周长与截面的位置有关 第19题P为△ABC所在平面外一点,平面a/平面ABC,a交线段PA,PB,PC于BP,第27题已知正方体ABCD-ABC2 PA:AA=2:3,则S△BC:S△AC 求证:平面ABD/平面CBD B 第20题如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点 求证:MV平面PAD 第2题已知a∩B=a,B∩y=m,7a=b,且m/a,求证:a/b 第28题.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面 如图,已知直线a,b平面a,且a/b,a/la,a,b都在a外 求证:b/
4 第 19 题. P 为 △ABC 所在平面外一点，平面 // 平面 ABC ， 交线段 PA ， PB ，PC 于 ABC ' ' ' ， PA AA ' ' ∶ = 2 3∶ ，则 AB C ABC S S △ ' ' '∶ △ = ． 第 20 题. 如图，在四棱锥 P ABCD − 中， ABCD 是平行四边形， M ， N 分别是 AB ， PC 的中点． 求证： MN// 平面 PAD ． 第 22 题. 已知 = a， = m， = b ，且 m// ，求证： a b // ． 第 23 题. 三棱锥 A BCD − 中， AB CD a = = ，截面 MNPQ 与 AB 、CD 都平行，则截面 MNPQ 的 周长是（ ）． Ａ． 4a Ｂ． 2a Ｃ． 3 2 a Ｄ．周长与截面的位置有关 第 27 题. 已知正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 ， 求证：平面 AB D1 1// 平面 C BD 1 ． 第 28 题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面． 如图，已知直线 a ，b 平面 ，且 a b // ，a// ，a ，b 都在 外． 求证： b// ． A P D M N B C b a m A B C D A1 B1 C1 D1 c b a
第29题如图,直线AA,BB,CC相交于0,AO=AO,BO=B0,CO=C0 求证:ABC/平面ABC C 第2题答案:A 第3题答案:证明:连结AF并延长交BC于M.连结PM, BF MF AD//BC 又由 PE BF PE MF EA FD EA FA 由平面几何知识可得EFPM,又 EFPBC,PMc平面PBC, ∴EF//平面PB 第4题答案:证明:如图,分别在AB和CD上截取AE=AE,DF=DF,连接E1,FF,EF 长方体AC的各个面为矩形 第30题直线a与平面a平行的充要条件是( ∴AE平行且等于AE,DF平行且等于DF A.直线a与平面a内的一条直线平行 B.直线a与平面a内两条直线不相交 C.直线a与平面a内的任一条直线都不相交 故四边形AEA,DFFD为平行四边形 D.直线a与平面a内的无数条直线平行 D ∴EE平行且等于AA,FF平行且等于DD A4平行且等于DD,∴EE平行且等于F, 四边形EFFE为平行四边形,EF/EF 直线、平面平行的判定及其性质答案 EFc平面ABCD,EF平面ABCD, 第1题答案:证明: ∴EF/平面ABCD m/}→m/a}→a/b 第6题答案:证明:连接AN并延长交BC于E,连接PE, a∩B=a同理→m/b 则由D/BC,得2=E BN PM NE PM MNPE,又PEc平面PBC,MNd平面PBC
5 第 29 题. 如图，直线 AA' ， BB' ，CC' 相交于 O， AO AO = ' ， BO BO = ' ，CO C O = ' ． 求证： ABC// 平面 ABC ' ' '． 第 30 题. 直线 a 与平面 平行的充要条件是（ ） Ａ．直线 a 与平面 内的一条直线平行 Ｂ．直线 a 与平面 内两条直线不相交 Ｃ．直线 a 与平面 内的任一条直线都不相交 Ｄ．直线 a 与平面 内的无数条直线平行 直线、平面平行的判定及其性质答案 第 1 题.答案：证明： m m m a a b a m b = = 同理 // // // // ． 第 2 题.答案：Ａ． 第 3 题答案：证明：连结 AF 并延长交 BC 于 M ．连结 PM ， ∵AD BC // ， BF MF FD FA ∴ = ，又由已知 PE BF EA FD = ， PE MF EA FA ∴ = ． 由平面几何知识可得 EF// PM ，又 EF PBC ， PM 平面 PBC ， ∴ EF// 平面 PBC ． 第 4 题. 答案：证明：如图，分别在 AB 和 CD 上截取 AE A E = 1 1，DF D F = 1 1 ，连接 EE1，FF1，EF ． ∵ 长方体 AC1 的各个面为矩形， ∴AE1 1 平行且等于 AE ， DF1 1 平行且等于 DF ， 故四边形 AEE A1 1， DFF D1 1 为平行四边形． ∴EE1 平行且等于 AA1 ， FF1 平行且等于 DD1． ∵AA1 平行且等于 DD1，∴EE1 平行且等于 FF1， 四边形 EFF E1 1 为平行四边形， E F EF 1 1// ． ∵EF 平面 ABCD， EF1 1 平面 ABCD， ∴ EF1 1// 平面 ABCD． 第 6 题. 答案：证明：连接 AN 并延长交 BC 于 E ，连接 PE ， 则由 AD BC // ，得 BN NE ND AN = ． BN PM ND MA ∵ = ， NE PM AN MA ∴ = ． ∴MN PE // ，又 PE 平面 PBC ， MN 平面 PBC ， O A B C B A' ' C' b a m A B C D A1 D1 B1 C1 F1 E1 E F
MN/平面PBC (1)解:由PB=BC=PC=13,得∠PBC= ∵DB平面MC,MOc平面MC 知BE=-x13 ∴DB/平面MC,则截面MC为过AC且与直线DB平行的截面 91 由余弦定理可得PE=-,MN==PE= 第10题答案: 第1愿答案证明:连接C、BD变点为O,连接M,0则MO△BDP的中位线,∴PD/AO.第1愿题答案:证明:(9B2∠N8B2∠D PD平面MC,MOc平面MAC,∴PD/平面MAC A4∠DD →四边形BBDD是平行四边形 DB//DB DBc平面ABD DB/平面画4BD →何同理BC/平面ABD DB∩BC=B →平面BCD/平面ABD 第12题答案:证明:(1) D AM +MN//C 第8题答案:证明:如图,取DB的中点O,连接OF,OB, MB NB AC平面MNP}→AC/平面MAP OF平行且等于一BC,BE平行且等于一BC1 MNc平面MNP ∴OF平行且等于BE,则OFEB为平行四边形 ∴EF∥B0. ∵EF平面BBDD,BOc平面BEDD, NB PD///BDI BD平面MNP}BD/平面MNP EF/平面BEDD PNc平面MNP 第9题答案:解:如图,连接DB交AC于点O,取DD的中点M,连接MA,MC,则截面MAC 设平面MAP∩平面AD=PE (2)ACc平面ACD MO为△DDB的中位线,∴DB/MO AC/面MNP
6 ∴ MN// 平面 PBC ． （１） 解：由 PB BC PC ===13 ，得 = PBC 60þ ； 由 5 8 BE BN AD ND = = ，知 5 65 13 8 8 BE = = ， 由余弦定理可得 91 8 PE = ， 8 7 13 ∴MN PE = = ． 第 7 题.答案：证明：连接 AC 、BD 交点为 O ，连接 MO ，则 MO 为 △BDP 的中位线， ∴ PD MO // ． ∵PD 平面 MAC ， MO 平面 MAC ，∴ PD// 平面 MAC ． 第 8 题. 答案：证明：如图，取 DB1 1 的中点 O ，连接 OF ，OB ， ∵OF 平行且等于 1 1 1 2 BC ， BE 平行且等于 1 1 1 2 BC ， ∴OF 平行且等于 BE ，则 OFEB 为平行四边形， ∴EF// BO． ∵EF 平面 BB D D 1 1 ， BO 平面 BB D D 1 1 ， ∴ EF// 平面 BB D D 1 1 ． 第 9 题. 答案：解：如图，连接 DB 交 AC 于点 O ，取 DD1 的中点 M ，连接 MA ，MC ，则截面 MAC 即为所求作的截面． ∵MO 为 △D DB 1 的中位线， ∴D B MO 1 // ． ∵D B1 平面 MAC ， MO 平面 MAC ， ∴D B1 // 平面 MAC ，则截面 MAC 为过 AC 且与直线 DB1 平行的截面． 第 10 题. 答案：Ｃ． 第 11 题. 答案：证明： 1 1 1 1 1 1 B B A A B B D D A A D D ∥ ∥ ∥ 四边形 BB D D 1 1 是平行四边形 1 1 1 1 1 1 D B DB DB A BD D B A BD 平面 平面 // 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D B A BD B C A BD D B B C B = 平面 同理 平面 // // 平面B CD A BD 1 1 1 //平面 ． 第 12 题.答案：证明：（１） AM CN MN AC MB NB AC MNP AC MNP MN MNP = // 平面 //平面 平面 ． CN CP PN BD NB PD BD MNP BD MNP PN MNP = // 平面 //平面 平面 ． （２） MNP ACD PE AC ACD PE AC AC MNP = 设平面 平面 平面 // ， //平面 C D A B M P O
axxal-xlx 第13题答案:证明:(1)∵E,F,G,H分别是AC,CB,BD,DA的中点 ∴EH//CD,FGCD,EH/FG.因此,E,F,G,H共面 ∴CD//EH,CD平面EGH,EHc平面EFGH -(x- CD平面EGH.同理AB∥平面EFGH. (2)设PO∩平面EFGH=N,连接PC,设PCEF=M 3 △PCO所在平面∩平面EGH=MN ∵CO/平面EFGH,COc平面PCO,C/MN 即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为ya2 EF是△ABC是的中位线, 第19题答案:4:25 ∵M是PC的中点,则N是PO的中点,即PO被平面EGH平分 第20题答案:证明:如图,取CD的中点E,连接NE,ME ∵M,N分别是AB,PC的中点, 第14题答案:D. ∴NE/PD,ME/AD 可证明NE//平面PAD,ME∥平面PAD 第15题答案:A 又NE∩ME=E, 第16题答案:20. ∴平面ME/平面PAD, 又MNc平面MAE,∴MN/平面PAD 第17题答案:m:n 第22题答案:证明: a 第18題答案:(1)证明:∵BC∥平面EF(GH,BC平面ABC 平面ABC∩平面EFGH=EF, m/l}→m/a BC/EF.同理BC//H ∴,EF/GH,同理EH/FG a∩B=a同理→m/b ∴四边形EGFH为平行四边形 (2)解:∵AD与BC成6角, ∴∠GF=6或1p,设AE:AB=x,Bx, 第23题答案:B. 第27题 BC=0,:BF=;,由B=B=1-x 答案:证明:因为ABCD-ABCD为正方体 得EH=a(1-x) 所以DCAB,DC=4B ∴Sn动形= EFXER xsin 6 又AB/AB,AB=4B1, 所以DCAB,DC= B
7 即平面MNP ACD AC 与平面 的交线// ． 第 13 题. 答案：证明：（１） ∵ E ， F ，G ， H 分别是 AC ，CB， BD ， DA 的中点．， ∴EH CD // ， FG CD // ，∴EH FG // ．因此， E ， F ，G ， H 共面． ∵CD EH // ， CD 平面 EFGH ， EH 平面 EFGH ， ∴CD// 平面 EFGH ．同理 AB// 平面 EFGH ． （２）设 PQ 平面 EFGH ＝ N ，连接 PC ，设 PC EF M= ． △PCQ 所在平面 平面 EFGH ＝ MN ， ∵CQ// 平面 EFGH ，CQ 平面 PCQ，∴CQ MN // ． ∵EF 是 △ABC 是的中位线， ∴M 是 PC 的中点，则 N 是 PQ 的中点，即 PQ 被平面 EFGH 平分． 第 14 题. 答案：Ｄ． 第 15 题. 答案：Ａ． 第 16 题. 答案：20． 第 17 题.答案： m n ∶ ． 第 18 题. 答案：（１）证明： ∵BC// 平面 EFGH ， BC 平面 ABC ， 平面 ABC 平面 EFGH = EF ， ∴BC EF // ．同理 BC GH // ， ∴EF GH // ，同理 EH FG // ， ∴ 四边形 EGFH 为平行四边形． （２）解： ∵ AD 与 BC 成 60þ 角， ∴ = HGF 60þ 或 120þ ，设 AE AB x : = ，∵ EF AE x BC AB = = ， BC a = ，∴ EF ax = ，由 1 EH BE x AD AB = = − ， 得 EH a x = − (1 )． ∴ sin 60 EFGH S EF EH 四边形 = þ 3 (1 ) 2 = − ax a x 3 2 2 ( ) 2 = − + a x x 3 1 1 2 2 ( ) 2 2 4 a x = − − + ． 当 1 2 x = 时， 3 2 8 S a 最大值 = ， 即当 E 为 AB 的中点时，截面的面积最大，最大面积为 3 2 8 a ． 第 19 题. 答案： 4 25 ∶ 第 20 题.答案：证明：如图，取 CD 的中点 E ，连接 NE ， ME ∵ M ， N 分别是 AB ， PC 的中点， ∴NE PD // ， ME AD // ， 可证明 NE// 平面 PAD ， ME// 平面 PAD ． 又 NE ME E = ， ∴ 平面 MNE// 平面 PAD ， 又 MN 平面 MNE ，∴ MN// 平面 PAD ． 第 22 题.答案：证明： m m m a a b a m b = = 同理 // // // // ． 第 23 题.答案：Ｂ． 第 27 题. 答案：证明：因为 ABCD A B C D − 1 1 1 1 为正方体， 所以 D C A B 1 1 1 1 // ， D C A B 1 1 1 1 = ． 又 AB A B1 1 // ， AB A B = 1 1， 所以 D C AB 1 1// ， D C AB 1 1 = ， b a m A B C D A1 B1 C1 D1
所以DCBA为平行四边形 所以DA∥CB.由直线与平面平行的判定定理得 DA∥/平面CBD 同理DB/平面CBD,又D4nDB=D 所以,平面ABD平面CBD 第28题答案:证明:过a作平面β,使它与平面a相交,交线为c 因为/a,acB,a∩B 所以a/c 因为a/b 所以b/r 又因为cca,bda 所以b/a 第29題答案:提示:容易证明AB/AB,AC/AC 进而可证平面ABC∥平面ABC 第30题答案:C
8 所以 D C BA 1 1 为平行四边形． 所以 D A C B 1 1 // ．由直线与平面平行的判定定理得 D A1 // 平面 C BD 1 ． 同理 DB1 1// 平面 C BD 1 ，又 D A D B D 1 1 1 1 = ， 所以，平面 AB D1 1// 平面 C BD 1 ． 第 28 题. 答案：证明：过 a 作平面 ，使它与平面 相交，交线为 c ． 因为 a// ， a ， = c， 所以 a c // ． 因为 a b // ， 所以 b c // ． 又因为 c ，b ， 所以 b// ． 第 29 题.答案：提示：容易证明 AB AB // ' ' ， AC AC // ' '． 进而可证平面 ABC// 平面 ABC ' ' '． 第 30 题.答案：Ｃ．