2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直缄与平面平行的判定 1、直线和平面的位置关系 条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交直线与平面平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 ac a ana=A a 图形表示 注:直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称此直线L和平面a平行,记作L|1a。 (2)判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行 符号表示:ag∝、bca,a//b→a//a 222平面与平面平行的判定 1、定义:没有公共点的两个平面叫做平行平面。符号表示为:平面a、平面β,若a∩B=,则a∥B 2、判定定理 如果两个平面无公共点,|一个平面内有两条相交如果两个平面同时垂直于一条 文字描述|责成这两个平面平行直觀与另一个平面平行,直线,那么这两个平面垂直。 那么这两个平面平行 图形 a,bcB,a∩b=P ⊥a 条件 a∩B= a∥a,b∥a →B∥a →B∥a 结论 a//B a//B //B 2.2.3直线与平面平行的性质 1.性质定理:如果一条直和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直綴就和交平行 简记为:线面平行,则鐲鐲平行
1 1 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a||α 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行 （1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线 L 和平面 α 平行，记作 L ||α。 （2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行. 符号表示： a b a b a 、 , / / / / . 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。符号表示为：平面 α、平面 β，若 a∩β＝∅，则 a∥β 2、判定定理： 2.2.3 直线与平面平行的性质 1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 简记为：线面平行，则线线平行. 判定 文字描述 如果两个平面无公共点， 责成这两个平面平行 一个平面内有两条相交 直线与另一个平面平行， 那么这两个平面平行． 如果两个平面同时垂直于一条 直线，那么这两个平面垂直。 图形 条件 = α,b⊂β，α∩b＝P α∥α，b∥α ⇒β∥α l⊥α l⊥β ⇒β∥α 结论 // // //
符号表示:若a//a,acB,a∩B=b,则a/b 2.2.4平面与平面平行的性质 性质 如果两个平行平面如果两个平行平面中有 如果两个平面平行,那么其 字描述 同时和第三平面相一个垂直于一条直线,那 交,那么他们的交线么另一个平面也垂直于/中一个平面内的直线平行 这条直线 于另一个平面 图形 a va ∥B ∥B ∥B 条件 βnY=b ⊥a cB any=a 结论 a∥b l⊥β a∥a 1.解题方法 明直线与平面平行的常用方法 2.利用定义,证明直线与平面没有公共点。一般结合反证法来证明; 3.利用直线和平面平行的判定定理,注意定理成立时应满足的条件; 4.利用面面平行的性质定理,把面面平行转化为线面平行; 2、证明平面与平面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义,此法一般与反证法结合 (2)利用面面平行的判定定理; (3)利用两个平面垂直于同一直线 (4)证明两个平面同时平行于第三个平面 基础习题 1.设是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是() A.若∥a,I∥B,则a∥B B.若1∥a,|⊥B,则a⊥B C.若a⊥B,⊥a,则1⊥βD.若a⊥β,⊥a,则1⊥B 1.【解析】B 2.下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【解析】0 【例3】(2011江西)已知a1,a2,a3是三个相互平行的平面.平面a1,a2之间的距离为d1,平面a2,a3之 间的距离为d2·直线/与a1,a2,a3分别相交于,P2,B,那么“PP2=BP”是“d1=d2”的
2 2 符号表示：若 a a b a b / / , , , / / = 则 . 2.2.4 平面与平面平行的性质 性质 文字描述 如果两个平行平面 同时和第三平面相 交，那么他们的交线 平行 如果两个平行平面中有 一个垂直于一条直线，那 么另一个平面也垂直于 这条直线 如果两个平面平行，那么其 中一个平面内的直线平行 于另一个平面 图形 条件 α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β l⊥α α∥β a⊂β 结论 a∥b l⊥β a∥α 1. 解题方法 （1） 证明直线与平面平行的常用方法： 2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。一般结合反证法来证明； 3.利用直线和平面平行的判定定理，注意定理成立时应满足的条件； 4.利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行； 2、证明平面与平面平行的常用方法： （1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； （2）利用面面平行的判定定理； （3）利用两个平面垂直于同一直线； （4）证明两个平面同时平行于第三个平面； 基础习题 1.设 l 是直线， ，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若 l∥ ,l∥β，则 ∥β B.若 l∥ ，l⊥β，则 ⊥β C.若 ⊥β,l⊥ , 则 l⊥β D.若 ⊥β, l⊥ , 则 l⊥β 1.【解析】B 2.下列命题正确的是（ ） A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 2.【解析】C 【例 3】（2011 江西）已知 1 ，2 ， 3 是三个相互平行的平面．平面 1 ，2 之间的距离为 1 d ，平面 2 ， 3 之 间的距离为 2 d ．直线 l 与 1 ，2 ， 3 分别相交于 P1 ， P2 ， P3 ，那么“ PP1 2 = PP2 3 ”是“ 1 2 d d = ”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件 G.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】0 【例4】(2011辽宁)如图,四棱锥S一ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是 A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 C 【解析】D 【例5】(2012全国)设平面a与平面B相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m 则“a⊥B”是“a⊥b”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件 【解析】A 【例6】(2012河南)1,l2,1是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是() A.4⊥2,l2⊥l3→l1∥l3 B.4⊥l2,l2∥l3→1⊥l3 l2∥l∥l3→l1,l2,l共面 l1,l2,l共点→l1,l2,1共面 【解析】B 【例7】(2012江苏)如图,在直三棱柱ABC-ABC1中,AB1=AC1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同 于点C),且AD⊥DE,F为BC1的中点 求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B; C1 (2)直线AF∥平面ADE B1 【解析】(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, ∴C1⊥平面ABC ∵ADc平面ABC AD⊥Cc1 又∵AD⊥DE,DE、CC1是平面BC1B1内的相交直线 D⊥平面BCC1B1 ∵ADc平面ADE ∴平面ADE⊥平面BCC1B1 (2)∵△A1B101中,A1B1=A101,F为B101的中点 ∴A1F⊥B1c1 ∵C1⊥平面A1B101,A1Fc平面A1B101, A1F⊥CC1又∵B101、CG1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1, A1F∥AD ∵A1F平面ADE,ADC平面ADE
3 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】C 【例 4】（2011 辽宁）如图，四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形，SD ⊥ 底面 ABCD，则下列结论中不正确 ．．．的是 A．AC⊥SB B．AB∥平面 SCD C．SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D．AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 【解析】D 【例 5】（2012 全国）设平面 与平面 相交于直线 m ，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m⊥ 则“ ⊥ ”是“ a b ⊥ ”的（ ） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 即不充分也不必要条件 【解析】A 【例 6】（2012 河南） 1 l ， 2 l ， 3 l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A． 1 2 l l ⊥ ， 2 3 l l ⊥ 1 3 l l // B． 1 2 l l ⊥ ， 2 3 l l // 1 3 l l ⊥ C． 2 3 3 l l l // // 1 l ， 2 l ， 3 l 共面 D． 1 l ， 2 l ， 3 l 共点 1 l ， 2 l ， 3 l 共面 【解析】B 【例 7】（2012 江苏）如图，在直三棱柱 ABC A B C − 1 1 1 中， A B A C 1 1 1 1 = ，D E， 分别是棱 BC CC ， 1 上的点（点 D 不同 于点 C），且 AD DE F ⊥ ， 为 BC1 1 的中点． 求证：（1）平面 ADE ⊥ 平面 BCC B1 1 ； A1 C1 （2）直线 1 AF // 平面 ADE． B1 【解析】（1）∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱， ∴CC1⊥平面 ABC， ∵AD⊂平面 ABC， ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE，DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴AD⊥平面 BCC1B1， ∵AD⊂平面 ADE ∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1； （2）∵△A1B1C1 中，A1B1=A1C1，F 为 B1C1 的中点 ∴A1F⊥B1C1， ∵CC1⊥平面 A1B1C1，A1F⊂平面 A1B1C1， ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴A1F⊥平面 BCC1B1 又∵AD⊥平面 BCC1B1， ∴A1F∥AD ∵A1F⊄平面 ADE，AD⊂平面 ADE， F D A C B E
直线A1F∥平面ADE 【例8】(2012浙江)如图,在四棱锥P一ABCD中,底面是边长为2√3的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD PA=2√6,M,N分别为PB,PD的中点 ()证明:MN∥平面ABCD; (Ⅲ)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值 【解析】()如图连接BD. M,N分别为PB,PD的中点, ∴在ΔPBD中,MN∥BD 又MN￠平面ABCD, ∴MN∥平面ABCD; (m)√0 【例9】(2012北京)如图1,在R△ABC中,∠C=90°,D,E分别为 AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将ΔADE沿DE折起到 △ADE的位置,使AF⊥CD,如图2。 (1)求证:DE∥平面ACB ()求证:AF⊥BE (Ⅲ)线段AB上是否存在点Q,使AC⊥平面DEQ?说明理由。 【解析】解:(1)∵D,E分别为AC,AB的中点 ∴DE∥BC,又DE4平面A1CB DE∥平面ACB (2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC, ∴DE⊥AC, ∴DE⊥平面ADC,而AFc平面ADC ∴DE⊥AF, AF⊥CD ∴AF⊥平面BCDE, ∴A1F⊥BE. (3)线段AB上存在点Q,使AC⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A,AB的中点P,Q,则PQ∥BC ∵DE∥BC, ∴DE∥PQ ∴平面DEQ即为平面DEP.由()知DE⊥平面AD, ∴DE⊥A1C 又∵P是等腰三角形DAC底边AC的中点, ∴AC⊥DP, ∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ
4 4 ∴直线 A1F∥平面 ADE． 【例 8】（2012 浙江）如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面是边长为 2 3 的菱形，且∠BAD＝120°，且 PA⊥平面 ABCD， PA＝ 2 6 ，M，N 分别为 PB，PD 的中点． (Ⅰ)证明：MN∥平面 ABCD； (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC，垂足为点 Q，求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值． 【解析】（Ⅰ）如图连接 BD． ∵M，N 分别为 PB，PD 的中点， ∴在 PBD 中，MN∥BD． 又 MN 平面 ABCD， ∴MN∥平面 ABCD； (Ⅱ) 10 5 ． 【例 9】（2012 北京）如图 1，在 Rt ABC 中， = C 90 ， D E, 分别为 AC AB , 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将 ADE 沿 DE 折起到 A DE 1 的位置，使 A F CD 1 ⊥ ，如图 2。 （Ⅰ）求证： DE // 平面 ACB 1 ； （Ⅱ）求证： A F BE 1 ⊥ ； （Ⅲ）线段 AB1 上是否存在点 Q ，使 AC1 ⊥ 平面 DEQ ？说明理由。 【解析】解：（1）∵D，E 分别为 AC，AB 的中点， ∴DE∥BC，又 DE⊄平面 A1CB， ∴DE∥平面 A1CB， （2）由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC， ∴DE⊥AC， ∴DE⊥A1D，又 DE⊥CD， ∴DE⊥平面 A1DC，而 A1F⊂平面 A1DC， ∴DE⊥A1F，又 A1F⊥CD， ∴A1F⊥平面 BCDE， ∴A1F⊥BE． （3）线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ．理由如下：如图，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，则 PQ∥BC． ∵DE∥BC， ∴DE∥PQ． ∴平面 DEQ 即为平面 DEP．由（Ⅱ）知 DE⊥平面 A1DC， ∴DE⊥A1C， 又∵P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点， ∴A1C⊥DP， ∴A1C⊥平面 DEP，从而 A1C⊥平面 DEQ， 图1 图2 F E B D E C B C D A1 A F
故线段AB上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ 【例10】(2013四川)如图,在三棱柱ABC一AB1C中,侧棱AA⊥底面ABC,AB=AG=2A,∠BAC=120°,D,D 分别是线段BC,B,G的中点,P是线段AD的中点 (1)在平面ABC内,试作出过点P与平面ABC平行的直线1,说明理由,并证明直线丨⊥平面ADDA; (2)设(1)中的直线交AB于点M,交AC于点N,求二面角A一AM-N的余弦值 【解析】 (1)过点P作直线∥BC,因为|在平面ABC外,BC在平面ABC内, 由直线与平面平行的判定定理可知,1∥平面ABC (2)二面角A一AM一N的余弦值为 【例11】(2012河南)如图,在直三棱柱ABC一ABC1中,∠BAC=90°,AB=AC=A1=1,延长AC至点P,使CP=ACG1, 连接AP交棱CC1于D. ()求证:PB1∥平面BDA ()求二面角A一AD-B的平面角的余弦值 【解析】二面角A一AD一B的平面角的余弦值为二 【例12】(2012辽宁)如图,直三棱柱ABC-ABC,∠BAC=90 AB=AC=LAH,点M,N分别为AB和BC的中点 (1)证明:MN∥平面AAC )若二面角A-MN-C为直二面角,求元的值 【解析】(1)连结AB′,AC′,由已知∠BAC=90° AB=AG,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′中点 又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC 又MN平面A′ACC′,AC′C平面A′AcG′, 因此MN∥平面A′AGC (2)以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,A′为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系0xyz,C 设A′=1,则AB=AC=入,于是A(O,0,0),B(A,0,0),C(0,A,0),A′0,0,1),B′(λ,0,1),40小,1 B 以 设=(x1,y1,z)是平面A′MN的法向量,可取=(1,-1,λ) Dy 设=(x,y,z)是平面MNG的法向量,可取=(-3,-1,λ) 为A′-MN-G为直二面角,所以-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ 【课堂练习】 1、(2006陕西)已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是() A.平面ABC必平行于a B.平面ABC必与α相交 C.平面AB必不垂直于αD.存在△ABC的一条中位线平行于a或在a内 2、(2013新课标)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线满足⊥m,⊥n,l￠α,lβ,则
5 5 故线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ 【例 10】(2013 四川)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1 分别是线段 BC，B1C1 的中点，P 是线段 AD 的中点． （1）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l⊥平面 ADD1A1； （2）设（1）中的直线 l 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，求二面角 A－A1M－N 的余弦值． 【解析】 （1）过点 P 作直线 l∥BC，因为 l 在平面 A1BC 外，BC 在平面 A1BC 内， 由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面 A1BC. （2）二面角 A－A1M－N 的余弦值为 15 5 . 【例 11】（2012 河南）如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长 A1C1 至点 P，使 C1P＝A1C1， 连接 AP 交棱 CC1 于 D． （Ⅰ）求证：PB1∥平面 BDA1； （Ⅱ）求二面角 A－A1D－B 的平面角的余弦值. 【解析】二面角 A－A1D－B 的平面角的余弦值为 2 3 ． 【 例 12】（ 2012 辽 宁 ）如 图， 直 三棱 柱 / / / ABC A B C − ， = BAC 90 ， / AB AC AA = = , 点 M，N 分别为 / AB 和 / / BC 的中点. (Ⅰ)证明： MN ∥平面 / / A ACC ; (Ⅱ)若二面角 / A MN C − − 为直二面角，求 的值. 【解析】(1)连结 AB′,AC′,由已知∠BAC=90°, AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱，所以 M 为 AB′中点. 又因为 N 为 B′C′的中点，所以 MN∥AC′. 又 MN⊄平面 A′ACC′，AC′⊂平面 A′ACC′, 因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA′为 x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系 O-xyz, 设 AA′=1,则 AB=AC=λ, 于是 A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1). 所以 M λ 2 ，0， 1 2 ,N λ 2 ， λ 2 ，1 . 设=(x1,y1,z1)是平面 A′MN 的法向量，可取=(1,-1,λ). 设=(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量，可取=(-3,-1,λ). 因为 A′-MN-C 为直二面角，所以-3+(-1)×(-1)+λ2 =0，解得 λ= 2. 【课堂练习】 1、（2006 陕西）已知平面α外不共线的三点 A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面 ABC 必平行于α B.平面 ABC 必与α相交 C.平面 ABC 必不垂直于α D.存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 2、（2013 新课标）已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线 l 满足 l⊥m，l⊥n，l α，l β，则
A.a∥B且∥a B.a⊥B且|⊥B C.a与β相交,且交线垂直于1 D.α与β相交,且交线平行于 3、(2013广东)设mn是两条不同的直线,a,B是两个不同的平面,下列命题中正确 A.若a⊥B,mCa,n∈B,则m⊥nB.若a∥/B,mCa,n∈B,则m C.若m⊥n,m∈a,n∈B,则a⊥BD.若m⊥a,m∥1,n∥B,则a 4、(2011烟台)已知m,n是两条不同的直线,a,B为两个不同的平面,有下列四个命|D ⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥B,m⊥n,则a∥β;③若m⊥a,n∥β,m⊥n,夏 β,a∥B,则m⊥n.其中正确命题的个数为() 5、(2013浙江)设m,n是两条不同的直线,a,B是两个不同的平面() A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m∥a,m∥B,则a∥B G.若m∥n,m⊥a,则n⊥a D.若m∥a,a⊥B,则m⊥B 6、(2011福建)如图,正方体ABcD一AB1CD1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在 CD上,若EF∥平面ABC,则线段EF的长度等于 G 7、(2013山东)如图所示,在三棱锥P一ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=B0,D,C,E,F分是相,B0,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,联结GH (1)求证:AB∥GH 2)求二面角D一GH一E的余弦值 8、(2013江苏)如图,在三棱锥S一ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E, G分别是棱SA,S0的中点 求证:(1)平面EFG∥平面ABC:(2)BC⊥SA
6 6 （ ) A．α∥β且 l∥α B．α⊥β且 l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 l D．α与β相交，且交线平行于 l 3、（2013 广东）设 m n, 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A. 若 ⊥ , m , n ,则 m n ⊥ B．若 // ,m , n ,则 m n // C．若 m n ⊥ , m , n ,则 ⊥ D．若 m ⊥ ,m n // , n // ,则 ⊥ 4、(2011 烟台)已知 m，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若 m⊥α，n⊥β，m ⊥n，则α⊥β；②若 m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若 m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若 m⊥α，n∥ β，α∥β，则 m⊥n.其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 5、（2013 浙江）设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥β，则α∥β C．若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α D．若 m∥α，α⊥β，则 m⊥β 6、(2011 福建)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________． 7、(2013 山东)如图所示，在三棱锥 P－ABQ 中，PB⊥平面 ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，AQ＝2BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，联结 GH. (1)求证：AB∥GH； (2)求二面角 D－GH－E 的余弦值． 8、(2013 江苏)如图，在三棱锥 S－ABC 中，平面 SAB⊥平面 SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过 A 作 AF⊥SB，垂足为 F，点 E， G 分别是棱 SA，SC 的中点． 求证：(1)平面 EFG∥平面 ABC；(2)BC⊥SA. G B C H P F E A D Q
9、(2013新课标m)如图所示,直三棱柱AC-ABC中,D,、E分别是AB,B的中点,A=A=0B= (1)证明:BG1∥平面ACD;(2)求二面角D一AC一E的正弦值 10、(2013安徽)如图,圆锥顶点为P,底面圆心为0,其母线与底面所成的角为225°,AB和CD底南圆0上 的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60 (1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面 (2)求cos∠C0D 11、(2013湖北)如图所示,AB是圆0的直径,点C是圆0上异于A,B的点,直线PC PC的中点 (1)记平面BEF与平面AB的交线为,试判断直线丨与平面PAC的位置关系,并加以 (2)设(1)中的直线1与圆0的另一个交点为D,且点Q满足=邵.记直线PQ与平面 直 线PQ与EF所成的角为a,二面角E一1-0的大小为B,求证:sin= sin a sinB. 12、(201北京)如图,在四面体P一ABC中,P⊥AB,PA⊥BC,点 G分另 (1)求证:DE∥平面BCP; (2)求证:四边形DEFG为矩形 (3)是否存在点Q,到四面体PAB六条棱的中点的距离相等?说明理由 13、(2011天津)如图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD为平行四边形∠ADC=45°,AD=AC=1,0为A的中点, P0⊥平面ABCD,P0=2,M为PD的中点 (1)证明:PB∥平面ACM (2)证明:AD⊥平面PAC; (3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值. 7
7 7 9、（2013 新课标Ⅱ）如图所示，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点，AA1＝AC＝CB＝ 2 2 AB. (1)证明：BC1∥平面 A1CD； (2)求二面角 D－A1C－E 的正弦值． 10、（2013 安徽）如图，圆锥顶点为 P，底面圆心为 O，其母线与底面所成的角为 22.5°，AB 和 CD 是底面圆 O 上 的两条平行的弦，轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°. (1)证明：平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面； (2)求 cos∠COD. 11、(2013 湖北)如图所示，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，直线 PC⊥平面 ABC，E，F 分别是 PA， PC 的中点． (1)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l，试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系，并加以证明； (2)设(1)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D，且点 Q 满足DQ→＝ 1 2 CP→.记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为θ，异面直 线 PQ 与 EF 所成的角为α，二面角 E－l－C 的大小为β，求证：sinθ＝sinαsinβ. 12、(2011 北京)如图，在四面体 P－ABC 中，PC⊥AB，PA⊥BC，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC，BC，PB 的中点． (1)求证：DE∥平面 BCP； (2)求证：四边形 DEFG 为矩形； (3)是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由． 13、(2011 天津)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为 AC 的中点， PO⊥平面 ABCD，PO＝2，M 为 PD 的中点． (1)证明：PB∥平面 ACM； (2)证明：AD⊥平面 PAC； (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值．
14、(2012浙江)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD- A1 B, C,D,中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=√2,AD=2,BC=4,A=2 E是DD1的中点,F是平面BCE与直线AA1的交点 (1)证明:(i)EF∥AD,(i)BA,⊥平面B1G1EF; (1)求BC1与平面BCEF所成的角的正弦值 15、(2009浙江)如图,平面PAC⊥平面ABC,ΔABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA, PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10 (1)设G是OC的中点,证明:FG//平面BOE; (I)证明:在ΔABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离 G 【课后作业】 1、(2011潍坊)已知m、n是两条不同的直线,α、β、Y是三个不同的平面,则下列命题正确的是() A.若a⊥Y,a⊥β,则Y∥B B.若m∥n,mca,ncB,则a∥B C.若m∥n,m∥a,则n∥a D.若n⊥a,n⊥β,则a∥B 2、(2011日照)若1、m、n为直线,a、β、Y为平面,则下列命题中为真命题的是() A.若m∥a,m∥B,则a∥β B.若m⊥a,n⊥a,则m∥n C.若a⊥Y,B⊥Y,则a⊥B D.若a⊥B,Ica,则⊥β 3、(2011山东)已知直线m、n及平面α,其中m∥n,那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是: ①一条直线;②一个平面;③一个点;④空集.其中正确的是() A.①②③ G.①②④ D.②④ 4、设a、b是两条不同的直线,a、β是两个不同的平面,则下列四个命题正确的命题的个数是( ①若a⊥b,a⊥a,则b∥a ②若a∥a,a⊥B,则a⊥B ③a⊥B,a⊥B,则a∥a ④若a⊥b,a⊥a,b⊥B,则a⊥B
8 8 14、（2012 浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AD∥BC，AD⊥AB，AB= 2 ，AD=2，BC=4,AA1=2， E 是 DD1 的中点，F 是平面 B1C1E 与直线 AA1的交点． （1）证明：（i）EF∥A1D1 （ii）BA1⊥平面 B1C1EF； （1） 求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值． 15、（2009 浙江）如图，平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形， E F O , , 分别为 PA ， PB ， AC 的中点， AC =16， PA PC = =10 ． （I）设 G 是 OC 的中点，证明： FG // 平面 BOE ； （II）证明：在 ABO 内存在一点 M ，使 FM ⊥ 平面 BOE ，并求点 M 到 OA，OB 的距离． 【课后作业】 1、(2011 潍坊)已知 m、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若 m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β C．若 m∥n，m∥α，则 n∥α D．若 n⊥α，n⊥β，则α∥β 2、(2011 日照)若 l、m、n 为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中为真命题的是( ) A．若 m∥α，m∥β，则α∥β B．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n C．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β D．若α⊥β，l⊂α，则 l⊥β 3、(2011 山东)已知直线 m、n 及平面α，其中 m∥n，那么在平面α内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是： ①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是( ) A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②④ 4、设 a、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题正确的命题的个数是（ ） ①若 a ⊥ b,a ⊥,则b// ②若 a //, ⊥ ,则a ⊥ ③ a ⊥ , ⊥ ,则a // ④ 若a ⊥ b,a ⊥,b ⊥ ,则 ⊥
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 、(2011浙江),下列命题中错误的是() A.如果平面a⊥平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面B B.如果平面不垂直于平面B,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面B C.如果平面a⊥平面y,平面B⊥平面y,a∩B=1,那么l⊥平面 D.如果平面a⊥平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面B 6、(2007北京)平面a∥平面B的一个充分条件是() A.存在一条直线a,a∥a,a∥B B.存在一条直线a,aca,a∥B C.存在两条平行直线a,b,aca,bcB,a∥B,b∥a D.存在两条异面直线a,b,aca,a∥B,b∥a 7、设m,n是平面a内的两条不同直线,l,2是平面β内的两条相交直线,则a∥/B的一个充分不必要条件 A.m//B且//a m/且n//l2C.m//B且n/BD.m//B且n//l2 8、(2011琼海)下面给出四个命题 ①若平面α∥平面β,AB,CD是夹在a,B间的线段,若AB∥CD,则AB=CD 2a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c一定是异面直线 ③过空间任一点,可以做两条直线和已知平面a垂直 ④平面a∥平面β,P∈a,PQ∥B,则PQCa; 其中正确的命题是 (只填命题号) 9、(2013江西)如图所示,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六 个面所在的平面相交的平面个数为 10、(2011枣庄)已知α,β,Y是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ→β⊥Y”是真命题,如果把a,B, γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有」 11、已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点 (1)求证:MN∥平面PAD 2)若MN=BC=4,PA=4√3,求异面直线PA与MN所成的角的大小 12、正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点,求证:平面MNP∥平面A1BD
9 9 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 5、（2011 浙江）下列命题中错误的是（ ） A.如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， =l ，那么 l ⊥平面 D.如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 6、（2007 北京）平面 ∥ 平面 的一个充分条件是（ ） A．存在一条直线 ，a a ∥ ， ∥ B．存在一条直线 a a a ， ， ∥ C．存在两条平行直线 a b a b a b ， ， ， ， ∥ ， ∥ D．存在两条异面直线 a b a a b ， ， ， ∥ ， ∥ 7、设 m，n 是平面 内的两条不同直线， 1 l ， 2 l 是平面 内的两条相交直线，则 // 的一个充分不必要条件 （ ） A. m// 且 l// B. m//l 且 n//l 2 C. m// 且 n// D. m // 且 n//l 2 8、(2011 琼海)下面给出四个命题： ①若平面α∥平面β，AB，CD 是夹在α，β间的线段，若 AB∥CD，则 AB＝CD； ②a，b 是异面直线，b，c 是异面直线，则 a，c 一定是异面直线 ③过空间任一点，可以做两条直线和已知平面α垂直； ④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则 PQ⊂α； 其中正确的命题是________(只填命题号) 9、（2013 江西）如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且 AB∥CD，则直线 EF 与正方体的六 个面所在的平面相交的平面个数为________． 10、(2011 枣庄)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β， γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个． 11、已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点 奎屯 王新敞 新疆 （1）求证： MN // 平面 PAD ； （2）若 MN BC = = 4， PA = 4 3 ， 求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小. 12、正方体 ABCD − A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 、N 、P 分别是 C 1 C 、B 1 C 1、C 1 D 1 的中点，求证：平面 M N P ∥ 平面 A 1 B D . A B C D A1 B1 C1 D1 M N P
13、如下图,在正四棱柱ABCD—A1BCD1中,AA1=AB,点E、M分别为AB、CC的中点,过点A、B、M三点的平 ABMN交CD1于点N (1)求证:EM∥平面ABCD1;(2)求二面角B一ANB1的正切值; 14、在直三棱柱ABC一A1B1C1中,AB1⊥BC,AB=CC=a,BC=b (1)设E、F分别为AB1、BC1的中点,求证:EF∥平面ABC (2)求证:AC1⊥AB 15、(2013广东)如图,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点r是BC的中点,A与DE 交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图1-4(2)所示的三棱锥A一BCF,其中BC= (1)证明:DE∥平面BCF;(2)证明:CF⊥平面ABF 3)当AD=时,求三棱锥F一DEG的体积 16、(2013福建)在四棱锥P一ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥D0,AB⊥AD,BC=5,DG=3,AD=4,∠PAD=60° (1)当正视方向与向量陷的方向相同时,画出四棱锥卩一ABD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程) (2)若M为PA的中点,求证:DM∥平面PBC; (3)求三棱锥D一PBC的体积 17、(2013北京)如图,在四棱锥P一ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和
10 10 13、如下图，在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1= 2 1 AB，点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中点，过点 A1、B、M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N. （1）求证：EM∥平面 A1B1C1D1；（2）求二面角 B—A1N—B1 的正切值； 14、 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b. （1）设 E、F 分别为 AB1、BC1 的中点，求证：EF∥平面 ABC； （2）求证：A1C1⊥AB； 15、（2013 广东） 如图，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G，将△ABF 沿 AF 折起，得到如图 1－4(2)所示的三棱锥 A－BCF，其中 BC＝ 2 2 . (1)证明：DE∥平面 BCF；(2)证明：CF⊥平面 ABF； (3)当 AD＝ 2 3 时，求三棱锥 F－DEG 的体积．[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 16、（2013 福建）在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝6 0°. (1)当正视方向与向量AD→的方向相同时，画出四棱锥 P－ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)； (2)若 M 为 PA 的中点，求证：DM∥平面 PBC； (3)求三棱锥 D－PBC 的体积． 17、（2013 北京） 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 A A D D B B C C 1 1 1 1 M N E