人教A版高中数学必修二第二章《23直线、平面垂直的判定及其性质》 练习题1 231直线与平面垂直的判定 基础练习 1.填空 (1)过直线外一点可作条直线与该直线平行,可作 条直线与该直线垂直 (2)过平面外一点可作条直线与该平面平行,可作 条直线与该平面垂直。 2.一条直线与一个平面垂直的条件是 A.垂直于平面内的一条直线 垂直于平面内的两条直线 C.垂直于平面内的无数条直线D.垂直于平面内的两条相交直线 3.如果平面a外的一条直线a与a内两条直线垂直,那么 A.a⊥aB.a∥aC.a与a斜交D.以上三种均有可能 4.判断题:(对的打“√”,错的打“×”) (3)过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行 (4)过已知平面外一点,有且只有一条直线与已知平面平行 (5)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (6)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (7)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (8)过已知直线外一点,有且只有一个平面与已知直线平行 巩固练习 5.如图2-36:已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径, C是异于A、B的⊙O上任意一点,过A作AE⊥PC于E, 求证:AE⊥平面PBC。 图2-36 6.图2-37:BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,连结PB、PC,作PD⊥BC于D, 连结AD,则图中共有直角三角形 个 图2-37
人教 A 版高中数学必修二第二章 《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》 练习题 1 2.3.1 直线与平面垂直的判定 基础练习 1．填空。 (1) 过直线外一点可作_____条直线与该直线平行，可作______条直线与该直线垂直； (2) 过平面外一点可作_____条直线与该平面平行，可作______条直线与该平面垂直。 2．一条直线与一个平面垂直的条件是 ( ) A. 垂直于平面内的一条直线 B. 垂直于平面内的两条直线 C. 垂直于平面内的无数条直线 D. 垂直于平面内的两条相交直线 3．如果平面α外的一条直线 a 与α内两条直线垂直，那么 ( ) A. a⊥α B. a∥α C. a 与α斜交 D. 以上三种均有可能 4．判断题：（对的打“√”，错的打“×”） (3) 过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ( ) (4) 过已知平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行 ( ) (5) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ( ) (6) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 ( ) (7) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 ( ) (8) 过已知直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行。 ( ) 巩固练习 5．如图 2－36：已知 PA⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径， C 是异于 A、B 的⊙O 上任意一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E ， 求证：AE⊥平面 PBC。 6．图 2－37：BC 是 Rt△ABC 的斜边，AP⊥平面 ABC，连结 PB、PC，作 PD⊥BC 于 D， 连结 AD，则图中共有直角三角形_________个
7.如图2-38:AB是圆O的直径,C是异于A、B的圆周上的任意一点,PA垂直于圆O 所在的平面,则BC和PC 图2-38 能力提高 8.如图2-39:已知ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD 求证:BD⊥AC A 图2-39 如图2-40:P是△ABC所在平面外的一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC,H是垂足。 求证:H是ABC的垂心 图2-40 10.在正方体ABCD-A1B1CD1中,P为DD1中点,O为底面ABCD中心, 求证:B1O⊥平面PAC
7．如图 2－38：AB 是圆 O 的直径，C 是异于 A、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆 O 所在的平面，则 BC 和 PC_____________。 能力提高 8．如图 2－39：已知 ABCD 是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD 求证：BD⊥AC 9．如图 2－40：P 是△ABC 所在平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面 ABC，H 是垂足。 求证：H 是 ABC 的垂心。 10．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 为 DD1 中点，O 为底面 ABCD 中心， 求证：B1O⊥平面 PAC
答案 基础练习 1.1,无数:无数,12.D3.D4.√;×;×;√;√:×。 P 巩固练习 5.证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC, 又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC 而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC 又∵AEc平面PAC,∴BC⊥AE ∵PC⊥AE且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC 图2-36 解:Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP 可证BC⊥平面APD,由BC⊥AD,BC⊥PD 可得Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC 共8个。 7.垂直 解:∵PA⊥平面ABC,而BCc平面ABC PA⊥BC 又∵AB是圆O的直径, AC⊥BC 又∵PA∩AC=A ∴BC⊥平面PAC,且PCc平面PAC 图2-38 BC⊥PC即BC和PC垂直 能力提高 8.证明:设BD的中点为K,连结AK、CK, ∵AB=AD,K为BD中点 ∴AK⊥BD 同理CK⊥BD,且AK∩KC=K 图2-39 ∴BD⊥平面AKC ∴BD垂直于平面AKC内的所有直线 ∴BD⊥AC 9.证明:∵PA⊥PB,PB⊥PC, ∴PA⊥平面PBC,BCc平面PBC ∴BC⊥PA ∵PH⊥平面ABC,BCc平面ABC BC⊥PH A C ∴BC⊥平面PAH,AHc平面PAH AH⊥BC,同理BH⊥AC,CH⊥AB, 因此H是△ABC的垂心 A
答案 基础练习 1．1，无数；无数，1 2．D 3．D 4．√；×；×；√；√；×。 巩固练习 5．证明：∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥BC， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC⊥AC 而 PA∩AC＝A，∴BC⊥平面 PAC 又∵AE 平面 PAC，∴BC⊥AE ∵PC⊥AE 且 PC∩BC＝C，∴AE⊥平面 PBC。 6． 解：Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。 可证 BC⊥平面 APD，由 BC⊥AD，BC⊥PD 可得 Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC 共 8 个。 7．垂直 解：∵PA⊥平面 ABC，而 BC 平面 ABC ∴PA⊥BC 又∵AB 是圆 O 的直径， ∴AC⊥BC 又∵PA∩AC＝A ∴BC⊥平面 PAC，且 PC 平面 PAC ∴BC⊥PC 即 BC 和 PC 垂直 能力提高 8．证明：设 BD 的中点为 K，连结 AK、CK， ∵AB＝AD，K 为 BD 中点 ∴AK⊥BD 同理 CK⊥BD，且 AK∩KC＝K ∴BD⊥平面 AKC ∴BD 垂直于平面 AKC 内的所有直线 ∴BD⊥AC 9．证明：∵PA⊥PB，PB⊥PC， ∴PA⊥平面 PBC，BC 平面 PBC ∴BC⊥PA ∵PH⊥平面 ABC，BC 平面 ABC ∴BC⊥PH ∴BC⊥平面 PAH，AH 平面 PAH ∴AH⊥BC，同理 BH⊥AC，CH⊥AB， 因此 H 是△ABC 的垂心
10.证明:如图:连结AB1,CB1,设AB=1 ∵AB1=CB1=√2,AO=CO,∴BO⊥AC 连结PB,:OB2=OB2+B2=3 PB2=PD+B D2 OP=PD+Do 3 4 ∷OB2+OP2=PB1 ∴B1O⊥PO ∴B1O⊥平面PAC
10．证明：如图：连结 AB1，CB1，设 AB＝1 ∵AB1＝CB1＝ 2 ，AO＝CO，∴B1O⊥AC， 连结 PB1，∵ 2 2 3 1 2 2 OB1 = OB + BB = 4 9 PB PD B D 2 1 1 2 1 2 1 = + = 4 2 2 2 3 OP = PD + DO = ∴ 2 1 2 2 OB1 + OP = PB ∴B1O⊥PO， ∴B1O⊥平面 PAC