高一数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题 第1题.已知a∩B=a,B∩y=m,y∩a=b,且m//c,求证:a/b 答案:证明 B∩y=m →m//a →a//b a∩B=a同理→m/b B 第2题.已知:a∩B=b,a//x,a//B,则a与b的位置关系是() A. al/b B.a⊥b C.a,b相交但不垂直 D.a,b异面 答案:A 第3题.如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD 上的点且PE:EA=BF:FD,求证:EF//平面PBC B 答案:证明:连结AF并延长交BC于M.连结PM ∵AD//BC,∴ BF MF FDFA,又由已知 PE BF PE MF 由平面几何知识可得EF∥/PM,又 EF a PBc,PMc平面PBC, EF//平面PBC
高一数学必修 2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题 第 1 题. 已知 = a， = m ， = b ，且 m// ，求证： a b // ． 答案：证明： m m m a a b a m b = = 同理 // // // // ． 第 2 题. 已知： = b ， a// ， a// ，则 a 与 b 的位置关系是（ ） Ａ． a b // Ｂ． a b ⊥ Ｃ． a，b 相交但不垂直 Ｄ． a ，b 异面 答案：Ａ． 第 3 题. 如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点， E ，F 分别是 PA ，BD 上的点且 PE EA BF FD ∶ = ∶ ，求证： EF// 平面 PBC ． 答案：证明：连结 AF 并延长交 BC 于 M ．连结 PM ， ∵AD BC // ， BF MF FD FA ∴ = ，又由已知 PE BF EA FD = ， PE MF EA FA ∴ = ． 由平面几何知识可得 EF// PM ，又 EF PBC ， PM 平面 PBC ， ∴ EF// 平面 PBC ． b a m P E A C B D F
第4题.如图,长方体ABCD-A1BC1D1中,EF是平面AC1上的线段,求证:EF//平 面AC C A E B B 答案:证明:如图,分别在AB和CD上截取AE=AE1,DF=DF,连接EE1,FF1 EF 长方体AC1的各个面为矩形, ∴AE1平行且等于AE,DF平行且等于DF, 故四边形AEEA1,DFFD为平行四边形 ∴EE1平行且等于AA4,FF1平行且等于DD ∵A4平行且等于DD1,∴EE1平行且等于FF1, 四边形EFFE1为平行四边形,EFEF ∵EFc平面ABCD,EFq平面ABCD ∴E1F//平面ABCD D C1 B F E B 第5题.如图,在正方形ABCD中,BD的圆心是A,半径为AB,BD是正方形ABCD的
第 4 题. 如图，长方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中， EF1 1 是平面 AC1 1 上的线段，求证： EF1 1// 平 面 AC ． 答案：证明：如图，分别在 AB 和 CD 上截取 AE A E = 1 1， DF D F = 1 1 ，连接 EE1， FF1， EF ． ∵ 长方体 AC1 的各个面为矩形， ∴AE1 1 平行且等于 AE ， DF1 1 平行且等于 DF ， 故四边形 AEE A1 1， DFF D1 1 为平行四边形． ∴EE1 平行且等于 AA1， FF1 平行且等于 DD1． ∵AA1 平行且等于 DD1，∴EE1 平行且等于 FF1， 四边形 EFF E1 1 为平行四边形， E F EF 1 1// ． ∵EF 平面 ABCD， EF1 1 平面 ABCD， ∴ EF1 1// 平面 ABCD． 第 5 题. 如图，在正方形 ABCD 中， BD 的圆心是 A ，半径为 AB ，BD 是正方形 ABCD 的 A B C D A1 D1 B1 C1 F1 E1 A B C D A1 D1 B1 C1 F1 E1 E F
对角线,正方形以AB所在直线为轴旋转一周.则图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分旋转所得几何体的 体积之比为 Ⅲ 答案:1:1:1 第6题.如图,正方形ABCD的边长为13,平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离 都是13,M,N分别是PA,DB上的点,且PM:MA=BN:ND=5:8 (1)求证:直线MN//平面PBC (2)求线段MN的长 P E B (1)答案:证明:连接AN并延长交BC于E,连接PE, 则由AD∥BC,祖BNNE ND AN PM NE PM ND MA AN MA MNPE,又PEc平面PBC,MNa平面PBC, ∴MN//平面PBC (2)解:由PB=BC=PC=13,得∠PBC=6;
对角线，正方形以 AB 所在直线为轴旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的 体积之比为 ． 答案： 111 ∶ ∶ 第 6 题. 如图，正方形 ABCD 的边长为 13 ，平面 ABCD 外一点 P 到正方形各顶点的距离 都是 13， M ， N 分别是 PA ， DB 上的点，且 PM MA BN ND ∶ = = ∶ 5 8∶ ． （１） 求证：直线 MN// 平面 PBC ； （２） 求线段 MN 的长． （１） 答案：证明：连接 AN 并延长交 BC 于 E ，连接 PE ， 则由 AD BC // ，得 BN NE ND AN = ． BN PM ND MA ∵ = ， NE PM AN MA ∴ = ． ∴MN PE // ，又 PE 平面 PBC ， MN 平面 PBC ， ∴ MN// 平面 PBC ． （２） 解：由 PB BC PC ===13 ，得 = PBC 60þ ； Ⅰ Ⅱ Ⅲ A B C D A B C E N D M P
BE B 5 MD8知BE 由余弦定理可得PE=91,∴MN=8PE=7 第7题.如图,已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点, 求证:PD//平面MAC P 答案:证明:连接AC、BD交点为O,连接MO,则MO为△BDP的中位线, ∴PD//MO ∵PDg平面MAC,MOc平面MAC,∴PD/平面MAC P
由 5 8 BE BN AD ND = = ，知 5 65 13 8 8 BE = = ， 由余弦定理可得 91 8 PE = ， 8 7 13 ∴MN PE = = ． 第 7 题. 如图，已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点， M 为 PB 的中点， 求证： PD// 平面 MAC ． 答案：证明：连接 AC 、 BD 交点为 O ，连接 MO ，则 MO 为 △BDP 的中位线， ∴ PD MO // ． ∵PD 平面 MAC ， MO 平面 MAC ，∴ PD// 平面 MAC ． C D A B M P C D A B M P O
第8题如图,在正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是棱BC,CD1的中点,求证 EF//平面BBDD CL D E B 答案:证明:如图,取DB的中点O,连接OF,OB, OF平行且等于BC1,BE平行且等于BC1, ∴OF平行且等于BE,则OFEB为平行四边形, ∴EF∥/BO ∵EF平面BBDD,BOc平面BBDD, EF//平面BDD O 第9题.如图,在正方体ABCD-ABCD1中,试作出过AC且与直线DB平行的截面
第 8 题. 如图，在正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中， E ，F 分别是棱 BC ，CD1 1 的中点，求证： EF// 平面 BB D D 1 1 ． 答案：证明：如图，取 DB1 1 的中点 O ，连接 OF ，OB ， ∵OF 平行且等于 1 1 1 2 BC ， BE 平行且等于 1 1 1 2 BC ， ∴OF 平行且等于 BE ，则 OFEB 为平行四边形， ∴EF// BO． ∵EF 平面 BB D D 1 1 ， BO 平面 BB D D 1 1 ， ∴ EF// 平面 BB D D 1 1 ． 第 9 题. 如图，在正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中，试作出过 AC 且与直线 DB1 平行的截面， A1 B1 D1 C1 F A E B D C A1 B1 D1 C1 F A E B D C O
并说明理由. D B B 答案:解:如图,连接DB交AC于点O,取DD的中点M,连接MA,M,则截面MAC 即为所求作的截面 A B1 C B ∵MO为△DDB的中位线,∴DB//MO ∵DB￠平面MAC,MOc平面MAC, ∴DB//平面MC,则截面MC为过AC且与直线DB平行的截面 第10题.设a,b是异面直线,ac平面a,则过b与a平行的平面() A.不存在 有1个 C.可能不存在也可能有1个D.有2个以上 答案
并说明理由． 答案：解：如图，连接 DB 交 AC 于点 O ，取 DD1 的中点 M ，连接 MA ，MC ，则截面 MAC 即为所求作的截面． ∵MO 为 △D DB 1 的中位线， ∴D B MO 1 // ． ∵D B1 平面 MAC ， MO 平面 MAC ， ∴D B1 // 平面 MAC ，则截面 MAC 为过 AC 且与直线 DB1 平行的截面． 第 10 题. 设 a，b 是异面直线， a 平面 ，则过 b 与 平行的平面（ ） Ａ．不存在 Ｂ．有 1 个 Ｃ．可能不存在也可能有 1 个 Ｄ．有 2 个以上 答案：Ｃ． A1 D1 B1 C1 A B D C A1 D1 B1 C1 A B C D O M
第11题.如图,在正方体ABCD-A1BCD1中,求证:平面ABD/平面CDB1 B C 答案:证。JB∠41 →BB∠DD AA∠DD →四边形BBDD是平行四边形 D,B, //DB →{DBc平面ABD DB1￠平面ABD DB//平面A1BD →同理BC/平面ABD DB∩BC=B →平面BCD/平面4BD 第12题.如图,M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD上的点,且 AM: MB=CN: NB=CP: PD 求证:(1)AC/平面MNP,BD/平面MNP; (2)平面MNP与平面ACD的交线//AC B
第 11 题. 如图，在正方体 ABCD A B C D − 1 1 1 1 中，求证：平面 A BD 1 // 平面 CD B1 1． 答案：证明： 1 1 1 1 1 1 B B A A B B D D A A D D ∥ ∥ ∥ 四边形 BB D D 1 1 是平行四边形 1 1 1 1 1 1 D B DB DB A BD D B A BD 平面 平面 // 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D B A BD B C A BD D B B C B = 平面 同理 平面 // // 平面B CD A BD 1 1 1 //平面 ． 第 12 题. 如图， M 、 N 、 P 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB ， BC ，CD 上的点，且 AM MB CN NB CP PD ∶ = = ∶ ∶ ． 求证：（１） AC// 平面 MNP ， BD// 平面 MNP ； （２）平面 MNP 与平面 ACD 的交线 //AC ． D1 A1 C1 B1 A B D C A M B N C P E D
答案:证明:(1) AM CN →MN//AC MB NB ACg平面MNP →AC//平面MNP MNc平面MNP CN CP →PN//BD Nb P BDg平面MNP BD//平面MNP PNc平面MNP 设平面MNP∩平面ACD=PE ACc平面ACD →PE//AC, AC//平面MNP 即平面MNP与平面ACD的交线/AC 第13题.如图,线段AB,CD所在直线是异面直 线,E,F,G,H分别是线段AC,CB,BD, DA的中点 (1)求证:EFGH共面且AB∥面EFGH, CD∥面EFGH (2)设P,Q分别是AB和CD上任意一点,求 >0 证:PQ被平面EFGH平分 答案:证明:(1)∵E,F,G,H分别是AC,CB,BD,DA的中点 ∴EH/CD,FG//CD,∴EH/FG.因此,E,F,G,H共面 CD/EH,CDa平面EFGH,EHc平面EFGH, ∴CD//平面EFGH.同理AB//平面EFGH
答案：证明：（１） AM CN MN AC MB NB AC MNP AC MNP MN MNP = // 平面 //平面 平面 ． CN CP PN BD NB PD BD MNP BD MNP PN MNP = // 平面 //平面 平面 ． （２） MNP ACD PE AC ACD PE AC AC MNP = 设平面 平面 平面 // ， //平面 即平面MNP ACD AC 与平面 的交线// ． 第 13 题. 如图，线段 AB ，CD 所在直线是异面直 线， E ，F ，G ，H 分别是线段 AC ，CB，BD ， DA 的中点． （１） 求证： EFGH 共面且 AB∥ 面 EFGH ， CD∥ 面 EFGH ； （２） 设 P ，Q 分别是 AB 和 CD 上任意一点，求 证： PQ 被平面 EFGH 平分． 答案：证明：（１） ∵ E ， F ，G ， H 分别是 AC ，CB ， BD ， DA 的中点．， ∴EH CD // ， FG CD // ，∴EH FG // ．因此， E ， F ，G ， H 共面． ∵CD EH // ，CD 平面 EFGH ， EH 平面 EFGH ， ∴CD// 平面 EFGH ．同理 AB// 平面 EFGH ． A E H C F B G D M P Q N
(2)设PO∩平面EFGH=N,连接PC,设PC∩EF=M △PCO所在平面∩平面EFGH=MN, CQ/平面EFGH,CQc平面PCQ,∴CQ/MN ∴EF是△ABC是的中位线 M是PC的中点,则N是PQ的中点,即PQ被平面EFGH平分 第14题.过平面a外的直线l,作一组平面与a相交,如果所得的交线为a,b,c 则这些交线的位置关系为() 都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或都交于同一点 答案:D 第15题.a,b是两条异面直线,A是不在a,b上的点,则下列结论成立的是 A.过A且平行于a和b的平面可能不存在 B.过A有且只有一个平面平行于a和b C.过A至少有一个平面平行于a和b D.过A有无数个平面平行于a和b 答案:A 第16题.若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,过AB的中点E 且平行于BD、AC的截面四边形的周长为 答案:20 第17题.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA上的 一点,且EFGH为菱形,若AC//平面EFGH,BD//平面EFGH,AC=m,BD=n, 则AE:BE= 答案:m:n
（２）设 PQ 平面 EFGH ＝ N ，连接 PC ，设 PC EF M= ． △PCQ 所在平面 平面 EFGH ＝ MN ， ∵CQ// 平面 EFGH ，CQ 平面 PCQ ，∴CQ MN // ． ∵EF 是 △ABC 是的中位线， ∴M 是 PC 的中点，则 N 是 PQ 的中点，即 PQ 被平面 EFGH 平分． 第 14 题. 过平面 外的直线 l ，作一组平面与 相交，如果所得的交线为 a ，b ，c ，… ， 则这些交线的位置关系为（ ） Ａ．都平行 Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点 答案：Ｄ． 第 15 题. a，b 是两条异面直线， A 是不在 a ，b 上的点，则下列结论成立的是（ ） Ａ．过 A 且平行于 a 和 b 的平面可能不存在 Ｂ．过 A 有且只有一个平面平行于 a 和 b Ｃ．过 A 至少有一个平面平行于 a 和 b Ｄ．过 A 有无数个平面平行于 a 和 b 答案：Ａ． 第 16 题. 若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC ，BD 的长分别是 8，12，过 AB 的中点 E 且平行于 BD 、 AC 的截面四边形的周长为 ． 答案：20． 第 17 题. 在空间四边形 ABCD 中， E ， F ，G ， H 分别为 AB ， BC ，CD， DA 上的 一点，且 EFGH 为菱形，若 AC// 平面 EFGH ，BD// 平面 EFGH ，AC m= ，BD n = ， 则 AE BE ： = ． 答案： m n ∶ ．
第18题.如图,空间四边形ABCD的对棱AD、BC成6的角,且AD=BC=a,平行 于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H (1)求证:四边形EGFH为平行四边形: (2)E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少? D G 答案:(1)证明:∵BC/平面EFGH,BCc平面ABC, 平面ABC∩平面EFGH=EF ∴BC//EF.同理BC//GH ∴EF/GH,同理EH//FG 四边形EGFH为平行四边形 (2)解:∵AD与BC成6角 ∴∠HGF=6或12,设AE:AB=x,EFAE BC AB EH BE BC=a EF=ax,由 AD AB 得EH=a(1-x) 四边形EFGH EF× EH xsin6 √3 =ax×a(1-x)× 当x=时,S最大值8 即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a
第 18 题. 如图，空间四边形 ABCD 的对棱 AD 、BC 成 60þ 的角，且 AD BC a = = ，平行 于 AD 与 BC 的截面分别交 AB 、 AC 、CD、 BD 于 E 、 F 、G 、 H ． （１）求证：四边形 EGFH 为平行四边形； （２） E 在 AB 的何处时截面 EGFH 的面积最大？最大面积是多少？ 答案：（１）证明： ∵BC// 平面 EFGH ， BC 平面 ABC ， 平面 ABC 平面 EFGH = EF ， ∴BC EF // ．同理 BC GH // ， ∴EF GH // ，同理 EH FG // ， ∴ 四边形 EGFH 为平行四边形． （２）解： ∵ AD 与 BC 成 60þ 角， ∴ = HGF 60þ 或 120þ ，设 AE AB x : = ，∵ EF AE x BC AB = = ， BC a = ，∴ EF ax = ，由 1 EH BE x AD AB = = − ， 得 EH a x = − (1 ) ． ∴ sin 60 EFGH S EF EH 四边形 = þ 3 (1 ) 2 = − ax a x 3 2 2 ( ) 2 = − + a x x 3 1 1 2 2 ( ) 2 2 4 a x = − − + ． 当 1 2 x = 时， 3 2 8 S a 最大值 = ， 即当 E 为 AB 的中点时，截面的面积最大，最大面积为 3 2 8 a ． A E B H F D G C