2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系,直线与平面的相交 和平行是本节的重点和难点空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的 要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空 间中直线与平面之间的位置关系 三维目标 1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换 3.进一步培养学生的空间想象能力 重点难点 正确判定直线与平面的位置关系 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入) 支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 思路2.(事例导入) 观察长方体(图1),你能发现长方体 ABCD-A′B′C′D′中,线段A′B所在的直线与 长方体ABCD一A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系? 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做直线在平面内? ②什么叫做直线与平面相交? ③什么叫做直线与平面平行? ④直线在平面外包括哪几种情况? ⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系 活动:教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑,对回答正确的学生及时表扬 讨论结果:①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内 ②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交 ③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行 ④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
1 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交 和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的， 要求学生在公理 1 的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空 间中直线与平面之间的位置关系. 三维目标 1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.进一步培养学生的空间想象能力. 重点难点 正确判定直线与平面的位置关系. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(情境导入) 一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 思路 2.(事例导入) 观察长方体（图 1），你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中，线段 A′B 所在的直线与 长方体 ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？ 图 1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做直线在平面内？ ②什么叫做直线与平面相交? ③什么叫做直线与平面平行? ④直线在平面外包括哪几种情况? ⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系. 活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬. 讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. ②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. ③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. ④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. ⑤
直线在平面内 ac d 直线与平面相交 直线与平面平行 a// a 应用示例 思路 例1下列命题中正确的个数是() ①若直线1上有无数个点不在平面a内,则1∥a ②若直线1与平面a平行,则1与平面a内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线1与平面a平行,则1与平面a内的任意一条直线都没有公共点 分析:如图2, D 图2 我们借助长方体模型,棱AA所在直线有无数点在平面ABCD外,但棱A1所在直线与平 面ABCD相交,所以命题①不正确; AB1所在直线平行于平面ABCD,AB1显然不平行于BD,所以命题②不正确 AB1∥AB,AB1所在直线平行于平面ABCD,但直线ABc平面ABCD,所以命题③不正确 1与平面a平行,则1与a无公共点,1与平面a内所有直线都没有公共点,所以命题 ④正确. 谷案:B 变式训练 请讨论下列问题: 若直线1上有两个点到平面a的距离相等,讨论直线1与平面a的位置关系 图3 解:直线1与平面α的位置关系有两种情况(如图3),直线与平面平行或直线与平面相交 点评:判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型,结合图形来考虑,注意考虑问题要 全面
2 直线在平面内 a α 直线与平面相交 a∩α=A 直线与平面平行 a∥α 应用示例 思路 1 例 1 下列命题中正确的个数是( ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α ②若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：如图 2, 图 2 我们借助长方体模型，棱 AA1 所在直线有无数点在平面 ABCD 外，但棱 AA1 所在直线与平 面 ABCD 相交，所以命题①不正确； A1B1 所在直线平行于平面 ABCD，A1B1 显然不平行于 BD，所以命题②不正确； A1B1∥AB,A1B1 所在直线平行于平面 ABCD，但直线 AB 平面 ABCD,所以命题③不正确； l 与平面 α 平行,则 l 与 α 无公共点,l 与平面 α 内所有直线都没有公共点,所以命题 ④正确. 答案：B 变式训练 请讨论下列问题： 若直线 l 上有两个点到平面 α 的距离相等，讨论直线 l 与平面 α 的位置关系. 图 3 解：直线 l 与平面 α 的位置关系有两种情况（如图 3），直线与平面平行或直线与平面相交. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要 全面
例2已知一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面 已知直线a∥b∥c,直线l∩a=A,1∩b=B,1∩c=C. 求证:1与a、b、c共面 证明:如图4,“∵a∥b, 图4 ∴a、b确定一个平面,设为 ∵1∩a=A,l∩b=B,∴A∈a,B∈a 又∵A∈1,B∈1,∴ABca,即1ca 同理b、c确定一个平面β,1cB, ∴平面a与β都过两相交直线b与1 ∵两条相交直线确定一个平面 a与β重合.故1与a、b、c共面 变式训练 已知aca,bca,anb=A,P∈b,PQ∥a 求证:PQca 证明:∵PQ∥a,∴PQ、a确定一个平面,设为β. ∴P∈β,acβ,Pa.又P∈a,aca,Pga, 由推论1:过P、a有且只有一个平面 ∴a、β重合.∴PQca 点评:证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法 思路2 例1若两条相交直线中的一条在平面a内,讨论另一条直线与平面a的位置关系 解:如图5,另一条直线与平面a的位置关系是在平面内或与平面相交 图5 用符号语言表示为:若a∩b=A,bca,则aca或a∩a=A. 变式训练 若两条异面直线中的一条在平面a内,讨论另一条直线与平面a的位置关系 分析:如图6,另一条直线与平面a的位置关系是与平面平行或与平面相交 图 用符号语言表示为:若a与b异面,aca,则b∥a或b∩a=A 点评:判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型,结合图形来考虑,注意考虑问题要 全面 例2若直线a不平行于平面a,且aa,则下列结论成立的是(
3 例 2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面. 已知直线 a∥b∥c，直线 l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C. 求证：l 与 a、b、c 共面. 证明：如图 4,∵a∥b, 图 4 ∴a、b 确定一个平面，设为 α. ∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l,∴AB α，即 l α. 同理 b、c 确定一个平面 β，l β, ∴平面 α 与 β 都过两相交直线 b 与 l. ∵两条相交直线确定一个平面, ∴α 与 β 重合.故 l 与 a、b、c 共面. 变式训练 已知 a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a， 求证：PQ α. 证明：∵PQ∥a，∴PQ、a 确定一个平面，设为 β. ∴P∈β，a β，P a.又 P∈α，a α，P a, 由推论 1：过 P、a 有且只有一个平面, ∴α、β 重合.∴PQ α. 点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 思路 2 例 1 若两条相交直线中的一条在平面 α 内，讨论另一条直线与平面 α 的位置关系. 解：如图 5,另一条直线与平面 α 的位置关系是在平面内或与平面相交. 图 5 用符号语言表示为：若 a∩b=A,b α,则 a α 或 a∩α=A. 变式训练 若两条异面直线中的一条在平面 α 内，讨论另一条直线与平面 α 的位置关系. 分析：如图 6,另一条直线与平面 α 的位置关系是与平面平行或与平面相交. 图 6 用符号语言表示为：若 a 与 b 异面,a α,则 b∥α 或 b∩α=A. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要 全面. 例 2 若直线 a 不平行于平面 α,且 a α,则下列结论成立的是( )
A.a内的所有直线与a异面 B.a内的直线与a都相交 C.a内存在唯一的直线与a平行 D.a内不存在与a平行的直线 分析:如图7,若直线a不平行于平面a,且aga,则a与平面a相交 图7 例如直线A′B与平面ABO相交,直线AB、①在平面ABD内,直线AB与直线A′B 相交,直线CD与直线A′B异面,所以A、B都不正确:平面ABCD内不存在与a平行的直线, 所以应选 答案 变式训练 不在同一条直线上的三点A、B、C到平面a的距离相等,且Aa,给出以下三个命题: ①△ABC中至少有一条边平行于a;②△ABC中至多有两边平行于a;③△ABC中只可能有 一条边与a相交 其中真命题是 分析:如图8,三点A、B、C可能在a的同侧,也可能在a两侧, 图8 其中真命题是① 答案:① 变式训练 若直线aga,则下列结论中成立的个数是() (1)a内的所有直线与a异面(2)a内的直线与a都相交(3)a内存在唯一的直线与a 平行(4)a内不存在与a平行的直线 A.0 B.1 C.2 分析:∵直线aga,∴a∥a或a∩a=A 如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A 图9 谷案 点评:判断一个命题是否正确要善于找出空间模型(长方体是常用空间模型),另外考虑问 题要全面即注意发散思维 知能训练 已知a∩β=1,aca且a￠β,bcβ且b￠a,又a∩b=P 求证:a与β相交,b与a相交
4 A.α 内的所有直线与 a 异面 B.α 内的直线与 a 都相交 C.α 内存在唯一的直线与 a 平行 D.α 内不存在与 a 平行的直线 分析：如图 7,若直线 a 不平行于平面 α,且 a α,则 a 与平面 α 相交. 图 7 例如直线 A′B 与平面 ABCD 相交，直线 AB、CD 在平面 ABCD 内，直线 AB 与直线 A′B 相交，直线 CD 与直线 A′B 异面，所以 A、B 都不正确；平面 ABCD 内不存在与 a 平行的直线， 所以应选 D. 答案：D 变式训练 不在同一条直线上的三点 A、B、C 到平面 α 的距离相等，且 A α,给出以下三个命题： ①△ABC 中至少有一条边平行于 α;②△ABC 中至多有两边平行于 α；③△ABC 中只可能有 一条边与 α 相交. 其中真命题是_____________. 分析：如图 8,三点 A、B、C 可能在 α 的同侧，也可能在 α 两侧， 图 8 其中真命题是①. 答案：① 变式训练 若直线 a α,则下列结论中成立的个数是( ) (1)α 内的所有直线与 a 异面 (2)α 内的直线与 a 都相交 (3)α 内存在唯一的直线与 a 平行 (4)α 内不存在与 a 平行的直线 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：∵直线 a α,∴a∥α 或 a∩α=A. 如图 9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选 A. 图 9 答案：A 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问 题要全面即注意发散思维. 知能训练 已知 α∩β=l,a α 且 a β,b β 且 b α,又 a∩b=P. 求证：a 与 β 相交,b 与 α 相交
证明:如图10,anb=P, 图10 ∴P∈a,P∈b 又bcβ,∴P∈β. ∴a与β有公共点P,即a与β相交 同理可证,b与a相交 拓展提升 过空间一点,能否作一个平面与两条异面直线都平行? 解:(1)如图11, C′D′与BD是异面直线,可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行 如图12, D CPC 图11 图13 显然,平面PQ是符合要求的平面 (2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时,不存在过P点的平面与两异 面直线C′D′、BD都平行 点评:判断一个命题是否正确要善于找出空间模型(长方体是常用空间模型),另外考虑问 题要全面即注意发散思维 课堂小结 本节主要学习直线与平面的位置关系,直线与平面的位置关系有三种 ①直线在平面内一一有无数个公共点 ②直线与平面相交一一有且只有一个公共点, ③直线与平面平行一一没有公共点 另外,空间想象能力的培养是本节的重点和难点 作业 课本习题2.1A组7、8 设计感想 本节内容较少,教材没有讨论线面平行的判定和性质,只介绍了直线与平面的位置关系 因此认为本节空洞无物,那就错了.直线与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系,虽 没有严格推理和证明,却正好发挥我们空间想象能力和发散思维能力:本节的设计充分利用 空间模型展现直线与平面的位置关系,提出了一些具有挑战性的问题以激发学生的空间想象 能力和发散思维能力
5 证明：如图 10,∵a∩b=P, 图 10 ∴P∈a,P∈b. 又 b β,∴P∈β. ∴a 与 β 有公共点 P,即 a 与 β 相交. 同理可证,b 与 α 相交. 拓展提升 过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？ 解：(1)如图 11, C′D′与 BD 是异面直线，可以过 P 点作一个平面与两异面直线 C′D′、BD 都平行. 如图 12, 图 11 图 12 图 13 显然，平面 PQ 是符合要求的平面. (2)如图 13,当点 P 与直线 C′D′确定的平面和直线 BD 平行时，不存在过 P 点的平面与两异 面直线 C′D′、BD 都平行. 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问 题要全面即注意发散思维. 课堂小结 本节主要学习直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. 另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. 作业 课本习题 2.1 A 组 7、8. 设计感想 本节内容较少，教材没有讨论线面平行的判定和性质，只介绍了直线与平面的位置关系， 因此认为本节空洞无物，那就错了.直线与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽 没有严格推理和证明，却正好发挥我们空间想象能力和发散思维能力；本节的设计充分利用 空间模型展现直线与平面的位置关系，提出了一些具有挑战性的问题以激发学生的空间想象 能力和发散思维能力