归纳与技巧:直线、平面平行的判定及性质 基础知识归纳 、直线与平面平行 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 平面外一条直线与此平 判定定理面内的一条直线平行,则 bca}→a∥a 直线与此平面平行 b∥ 2.性质定理 文字语言图形语言号语言 条直线与一个平面平 行,则过这条直线的任 性质定理 →a∥b 平面与此平面的交线 与该直线平行 平面与平面平行 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 个平面内的两条担交 判定定理 直线与另一个平面平 a∥B 行,则这两个平面平行 b∥B B 2.两平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果两个平行平面同时 性质定理和第三个平面相交,那 么它们的交线平行
归纳与技巧：直线、平面平行的判定及性质 基础知识归纳 一、直线与平面平行 1．判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行，则 直线与此平面平行 a⊄α b⊂α b∥a ⇒a∥α 2．性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平 行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线 与该直线平行 a∥α a⊂β α∩β＝b ⇒a∥b 二、平面与平面平行 1．判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行 a⊂α b⊂α a∩b＝P a∥β b∥β ⇒α∥ β 2．两平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那 么它们的交线平行 α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a∥b
基础题必做 1.(教材习题改编)下列条件中,能作为两平面平行的充分条件的是() A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析:选D由面面平行的定义可知,一平面内所有的直线都平行于另一个平面时,两 平面才能平行,故D正确. 2.已知直线a,b,平面a,则以下三个命题: ①若a∥b,bCa,则a∥(; ②若a∥b,a∥a,则b∥(; ③若a∥a,b∥a,则a∥b 其中真命题的个数是() 解析:选A对于命题①,若a∥b,bCa,则应有a∥a或aca,所以①不正确: 对于命题②,若a∥b,a∥a,则应有b∥a或bCa,因此②也不正确: 对于命题③,若a∥a,b∥a,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③也不正 3.(教材习题改鳊)若一直线上有相异三个点A,B,C到平面a的距离相等,那么直线 与平面a的位置关系是() B.l⊥ C.与a相交且不垂直 D.∥a或lca 解析:选D由于l上有三个相异点到平面a的距离相等,则l与a可以平行,lca时 也成立 4.平面a∥平面B,aCa,b∈B,则直线a,b的位置关系是 解析:由αB可知,a,b的位置关系是平行或异面 答案:平行或异面 5.在正方体ABCD-AB1CD1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系 解析:如图
基础题必做 1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是( ) A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析：选 D 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两 平面才能平行，故 D 正确． 2．已知直线 a，b，平面 α，则以下三个命题： ①若 a∥b，b⊂α，则 a∥α； ②若 a∥b，a∥α，则 b∥α； ③若 a∥α，b∥α，则 a∥b. 其中真命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 A 对于命题①，若 a∥b，b⊂α，则应有 a∥α 或 a⊂α，所以①不正确； 对于命题②，若 a∥b，a∥α，则应有 b∥α 或 b⊂α，因此②也不正确； 对于命题③，若 a∥α，b∥α，则应有 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面，因此③也不正 确． 3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点 A，B，C 到平面 α 的距离相等，那么直线 l 与平面 α 的位置关系是( ) A．l∥α B．l⊥α C．l 与 α 相交且不垂直 D．l∥α 或 l⊂α 解析：选 D 由于 l 上有三个相异点到平面 α 的距离相等，则 l 与 α 可以平行，l⊂α 时 也成立． 4．平面 α∥平面 β，a⊂α，b⊂β，则直线 a，b 的位置关系是________． 解析：由 α∥β 可知，a，b 的位置关系是平行或异面． 答案：平行或异面 5． 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系 为________． 解析：如图．
连接AC,BD交于O点,连接OE,因为OEBD,而OEC平面ACE,BD平面ACE, 所以BD1平面ACE 答案:平行 解题方法归纳 1.平行问题的转化关系: 线∥线判定 相线∥面摆面∥面性质 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线 线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在性质定理的应用中,其顺序恰好相反, 但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化” 3.辅助线(面)是求证平行问题的关键,注意平面几何中位线,平行四边形及相似中有 关平行性质的应用 线面平行、面面平行的基本问题 1典题导入 例1]如图,正方体ABCD-AB1C1D1中,AB=2,点E为AD的中 点,点F在CD上.若EF∥平面ABC,则线段EF的长度等于 自主解答]因为直线EF平面AB1C,EFC平面ABCD,且平面 AB1Cn平面ABCD=AC,F以 EFILAC又因为点E是DA的中点,所以F是DC的中点,由 中位线定理可得EF=4C又因为在正方体ABCD-A1BCD1中,AB=2,所以AC=2E 所以EF=V 答案] 题多变 本例条件变为“E是AD中点,F,G,H,N分别是AA1,A1D1,DD1与DC1的中点, 若M在四边形EFGH及其内部运动”,则M满足什么条件时,有MN∥平面A1C1CA 解:如图, GN平面A1C1C, EG平面AA1C1C, 又GN∩EG=G
连接 AC，BD 交于 O 点，连接 OE，因为 OE∥BD1，而 OE⊂平面 ACE，BD1⊄平面 ACE， 所以 BD1∥平面 ACE. 答案：平行 解题方法归纳 1.平行问题的转化关系： 线∥线 判定 判定 性质 线∥面 ――→ 判定 性质 面∥面 性质 2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线 线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反， 但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”． 3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有 关平行性质的应用． 线面平行、面面平行的基本问题 典题导入 [例 1] 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，点 E 为 AD 的中 点，点 F 在 CD 上．若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________． [自主解答] 因为直线 EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ABCD，且平面 AB1C∩平面 ABCD＝AC，所以 EF∥AC.又因为点 E 是 DA 的中点，所以 F 是 DC 的中点，由 中位线定理可得 EF＝ 1 2 AC.又因为在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，所以 AC＝2 2. 所以 EF＝ 2. [答案] 2 本例条件变为“E 是 AD 中点，F，G，H，N 分别是 AA1，A1D1，DD1 与 D1C1 的中点， 若 M 在四边形 EFGH 及其内部运动”，则 M 满足什么条件时，有 MN∥平面 A1C1CA. 解：如图， ∵GN∥平面 AA1C1C， EG∥平面 AA1C1C， 又 GN ∩EG＝G
平面EGN平面AA1C1C 当M在线段EG上运动时,恒有MN平面AA1C1C 2解题方法归纳 解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意 (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽 视. (2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断 (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确 3以题试法 1.(1)已知直线l∥平面a,P∈a,那么过点P且平行于直线l的直线() A.只有一条,不在平面a内 B.有无数条,不一定在平面a内 C.只有一条,且在平面a内 D.有无数条,一定在平面a内 解析:选C由直线l与点P可确定一个平面B,且平面a,B有公共点,因此它们有 条公共直线,设该公共直线为m,因为l∥a,所以l∥m,故过点P且平行于直线l的直 线只有一条,且在平面a内 (2已知m,n,h,h表示直线,a,B表示平面.若mca,na,h1CB,h2cB,hnh2 M,则a∥B的一个充分条件是() A.m∥B且h∥a B.m∥B且n∥B C.m∥B且n∥h D.m∥h1且n∥l2 解析:选D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这 两个平面平行”可得,由选项D可推知a∥B 直线与平面平行的判定与性质 1典题导入 「例2]如图,直三棱柱ABC-A′B′C’,∠BAC=90°, AB=AC=V2,M!=1,点M,N分别为AB和B'C的中 点
∴平面 EGN∥平面 AA1C1C. ∴当 M 在线段 EG 上运动时，恒有 MN∥平面 AA1C1C. 解题方法归纳 解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意： (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽 视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确． 以题试法 1．(1) 已知直线 l∥平面 α，P∈α，那么过点 P 且平行于直线 l 的直线( ) A．只有一条，不在平面 α 内 B．有无数条，不一定在平面 α 内 C．只有一条，且在平面 α 内 D．有无数条，一定在平面 α 内 解析：选 C 由直线 l 与点 P 可确定一个平面 β，且平面 α，β 有公共点，因此它们有 一条公共直线，设该公共直线为 m，因为 l∥α，所以 l∥m，故过点 P 且平行于直线 l 的直 线只有一条，且在平面 α 内． (2 已知 m，n，l1，l2 表示直线，α，β 表示平面．若 m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2 ＝M，则 α∥β 的一个充分条件是( ) A．m∥β 且 l1∥α B．m∥β 且 n∥β C．m∥β 且 n∥l2 D．m∥l1 且 n∥l2 解析：选 D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这 两个平面平行”可得，由选项 D 可推知 α∥β. 直线与平面平行的判定与性质 典题导入 [例 2] 如图，直三棱柱 ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°， AB＝AC＝ 2，AA′＝1，点 M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中 点．
(1)证明:MN∥平面A′ACC; (2)求三棱锥A′-MNC的体积(锥体体积公式=3,其中S为底面面积,h为高) 自主解答](1)证明:法一:连接AB′、AC′,因为点M,N 分别是A′B和B′C′的中点, 所以点M为AB′的中点 又因为点N为B′C的中点 所以MNAC 又MN平面AACC′, AC′c平面A′ACC 因此MN平面A′ACC 法二:取A′B′的中点P连接MP 而点M,N分别为AB′与B′C的中点,所以MPHA!.B PMA′C 所以MP平面A′ACC′,PN平面A′ACC′又MP∩PN=P 因此平面MPN平面AACC′而MNC平面MPN, 因此MN平面A′ACC (2)法一:连接BN,由题意得A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′= B′C′,所以A′N⊥平面NBC 又A"N=B′C′=1, E VA-MNC=VN-A' MC=5VN-4'BC=24.NBc:I 法二:A-MC=V4-NBC-VM-MBC=VA-MBC 2解题方法归纳 利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线,可先直观判断平 面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线
(1)证明：MN∥平面 A′ACC′； (2)求三棱锥 A′－MNC 的体积．(锥体体积公式 V＝ 1 3 Sh，其中 S 为底面面积，h 为高) [自主解答] (1)证明：法一：连接 AB′、AC′，因为点 M，N 分别是 A′B 和 B′C′的中点， 所以点 M 为 AB′的中点． 又因为点 N 为 B′C′的中点， 所以 MN∥AC′. 又 MN⊄平面 A′ACC′， AC′⊂平面 A′ACC′， 因此 MN∥平面 A′ACC′. 法二：取 A′B′的中点 P.连接 MP. 而点 M，N 分别为 AB′与 B′C′的中点，所以 MP∥AA′， PN∥A′C′. 所以 MP∥平面 A′ACC′，PN∥平面 A′ACC′.又 MP∩PN＝P， 因此平面 MPN∥平面 A′ACC′.而 MN⊂平面 MPN， 因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)法一：连接 BN，由题意得 A′N⊥B′C′，平面 A′B′C′∩平面 B′BCC′＝ B′C′，所以 A′N⊥平面 NBC. 又 A′N＝ 1 2 B′C′＝1， 故 VA′－MNC＝VN－A′MC＝ 1 2 VN－A′BC＝ 1 2 VA′－NBC＝ 1 6 . 法二：VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝ 1 2 VA′－NBC＝ 1 6 . 解题方法归纳 利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平 面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线．
3以题试法 2.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别 是BD,BB1的中点 (1)求证:EF∥平面A1B1CD (2)求证:EF⊥AD1 解:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接B1D, 在平面BB1D内,E,F分别为BD,BB1的中点, EF‖!B1D 又∵B1Dc平面AB1CD EF平面A1B1CD EF平面A1B1CD (2).ABCD-A1B1C1D1是正方体 AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1 又A1DnA1B1=A1 AD1⊥平面A1B1D AD1⊥B1D 又由(1)知,EFB1D,∴EF⊥AD 平面与平面平行的判定与性质 1典题导入 「例3如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在C1上,G在B1上,且AE=FC1=B1G=1,H是C B1C1的中点 (1)求证:E,B,F,D1四点共面; (2)求证:平面A1GH∥平面BED1F 自主解答](1)在正方形AA1B1B中 AE=BIG=l BG=AIE=2
以题试法 2． 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别 是 BD，BB1 的中点． (1)求证：EF∥平面 A1B1CD； (2)求证：EF⊥AD1. 解：(1)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，连接 B1D， 在平面 BB1D 内，E，F 分别为 BD，BB1 的中点， ∴EF∥B1D. 又∵B1D⊂平面 A1B1CD. EF⊄平面 A1B1CD， ∴EF∥平面 A1B1CD. (2)∵ABCD－A1B1C1D1 是正方体， ∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1. 又 A1D∩A1B1＝A1， ∴AD1⊥平面 A1B1D. ∴AD1⊥B1D. 又由(1)知，EF∥B1D，∴EF⊥AD1. 平面与平面平行的判定与性质 典题导入 [例 3] 如图，已知 ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上，G 在 BB1 上，且 AE＝FC1＝B1G＝1，H 是 B1C1 的中点． (1)求证：E，B，F，D1 四点共面； (2)求证：平面 A1GH∥平面 BED1F. [自主解答] (1)在正方形 AA1B1B 中， ∵AE＝B1G＝1， ∴BG＝A1E＝2
BG絨A1E 四边形A1GBE是平行四边形 .AIGll BE 又CF絨B1G, 四边形C1FGB1是平行四边形 FG絨C1B1絨D1A1 四边形A1GFD是平行四边形 A1G絨D1F D1F絨EB 故E,B,F,D1四点共面 (2)H是B1C1的中点,BH= 又B1G=1.B1G_2 BIH 3 又C=3 且∠FCB=∠GB1H=90°, △B1HG∽△CBF ∠B1GH=∠CFB=∠FBG HGl FB G压面FBED1,FBC面FBED1,:GH面BED1F 由(1)知A1GBE,A1G面FBED,BEC面FBED1, A1G面BED1F 且HGnA1G=G, 平面A1GH平面BED1F 2解题方法归纳 常用的判断面面平行的方法 (1)利用面面平行的判定定理 2)面面平行的传递性(a∥B,B∥y=a∥y);
∴BG 綊 A1E. ∴四边形 A1GBE 是平行四边形． ∴A1G∥BE. 又 C1F 綊 B1G， ∴四边形 C1FGB1 是平行四边形． ∴FG 綊 C1B1 綊 D1A1. ∴四边形 A1GFD1 是平行四边形． ∴A1G 綊 D1F. ∴D1F 綊 EB. 故 E，B，F，D1 四点共面． (2)∵H 是 B1C1 的中点，∴B1H＝ 3 2 . 又 B1G＝1，∴ B1G B1H ＝ 2 3 . 又 FC BC＝ 2 3 ，且∠FCB＝∠GB1H＝90°， ∴△B1HG∽△CBF. ∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG. ∴HG∥FB. ∵GH⊄面 FBED1，FB⊂面 FBED1，∴GH∥面 BED1F. 由(1)知 A1G∥BE，A1G⊄面 FBED1，BE⊂面 FBED1， ∴A1G∥面 BED1F. 且 HG∩A1G＝G， ∴平面 A1GH∥平面 BED1F. 解题方法归纳 常用的判断面面平行的方法 (1)利用面面平行的判定定理； (2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；
(3)利用线面垂直的性质(⊥a,1⊥B=a∥B) 3以题试法 3.如图,矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平人 面互相垂直,MB∥NC,MN⊥MB (1)求证:平面AMB∥平面DNC (2)若MC⊥CB,求证:BC⊥AC 证明:(1)因为MBNC,MB平面DNC,NCC平面DNC 所以MB平面DNC 又因为四边形AMND为矩形,所以MADN 又MA平面DNC,DNC平面DMC 所以MA平面DNC 又MA∩MB=M,且MA,MBC平面AMB, 所以平面AMBM平面DNC (2)因为四边形AMND是矩形, 所以AM⊥MN 因为平面AMND⊥平面MBCN,且平面AMDn平面MBCN=MN, 所以AM⊥平面MBCN. 因为BCc平面MBCN, 所以AM⊥BC 因为MC⊥BC,MC∩AM=M, 所以BC⊥平面AMC 因为ACC平面AMC, 所以BC⊥AC A级全员必做题 已知直线m⊥平面a,直线nc平面,则下列命题正确的是() A.若n∥a,则a∥B 若a⊥B,则m∥
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)． 以题试法 3． 如图，矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平 面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB. (1)求证：平面 AMB∥平面 DNC； (2)若 MC⊥CB，求证：BC⊥AC. 证明：(1)因为 MB∥NC，MB⊄平面 DNC，NC⊂平面 DNC， 所以 MB∥平面 DNC. 又因为四边形 AMND 为矩形，所以 MA∥DN. 又 MA⊄平面 DNC，DN⊂平面 DNC. 所以 MA∥平面 DNC. 又 MA∩MB＝M，且 MA，MB⊂平面 AMB， 所以平面 AMB∥平面 DNC. (2)因为四边形 AMND 是矩形， 所以 AM⊥MN. 因为平面 AMND⊥平面 MBCN，且平面 AMND∩平面 MBCN＝MN， 所以 AM⊥平面 MBCN. 因为 BC⊂平面 MBCN， 所以 AM⊥BC. 因为 MC⊥BC，MC∩AM＝M， 所以 BC⊥平面 AMC. 因为 AC⊂平面 AMC， 所以 BC⊥AC. 1． 已知直线 m⊥平面 α，直线 n⊂平面 β，则下列命题正确的是( ) A．若 n∥α，则 α∥β B．若 α⊥β，则 m∥n
C.若m⊥n,则a∥B D.若a∥B,则m⊥n 解析:选D由m⊥a,a∥B,ncBm⊥n 2.平面a∥平面B的一个充分条件是() 存在一条直线a,a∥a,a∥B B.存在一条直线a,aCa,a∥B C.存在两条平行直线a,b,aCa,bcB,a∥B,b∥a D.存在两条异面直线a,b,a∈a,b∈B,a∥B,b∥a 解析:选D若anB=l,a∥l,aa,aB,a∥a,a∥B,故排除A.若anB=l,aca a∥l,则a∥B,故排除B.若anB=l,aca,a∥l,bcB,b∥l,则a∥B,b∥a,故排除C. 3.如图,正方体ABCD一A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1 的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线() A.不存在 B.有1条 C.有2条 D.有无数条 解析:选D由题设知平面ADD1A1与平面DEF有公共点D1, 由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有 无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面DEF平行 4.已知a,B,y是三个不重合的平面,a,b是两条不重合的直线,有下列三个条件 ①a∥y,bcB;②a∥y,b∥B;③b∥B,a∈y如果命题“a∩B=a,b∈y,且 a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是() A.①或② B.②或③ C.①或③ D.只有② 解析:选C由定理“一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的 交线与该直线平行”可得,横线处可填入条件①或③,结合各选项知,选C 5.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上 的点,且AE:EB=AF:FD=1:4,又H、G分别为BC,CD的中点 则() A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形 B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形 C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形 D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形 解析:选B由AE:EB=AF:FD=1:4知EF絨BD,∴EF∥面BCD又H,G分别 为BC,CD的中点
C．若 m⊥n，则 α∥β D．若 α∥β，则 m⊥n 解析：选 D 由 m⊥α，α∥β，n⊂β⇒m⊥n. 2．平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( ) A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β B．存在一条直线 a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 解析：选 D 若 α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除 A.若 α∩β＝l，a⊂α， a∥l，则 a∥β，故排除 B.若 α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则 α∥β，b∥α，故排除 C. 3.如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AB，CC1 的中点， 在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( ) A．不存在 B．有 1 条 C．有 2 条 D．有无数条 解析：选 D 由题设知平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1， 由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线 l，在平面 ADD1A1 内与 l 平行的线有 无数条，且它们都不在平面 D1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面 D1EF 平行． 4． 已知 α，β，γ 是三个不重合的平面，a，b 是两条不重合的直线，有下列三个条件： ①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则 a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( ) A．①或② B．②或③ C．①或③ D．只有② 解析：选 C 由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的 交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选 C. 5. 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，AD 上 的点，且 AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又 H、G 分别为 BC，CD 的中点， 则( ) A．BD∥平面 EFGH，且四边形 EFGH 是矩形 B．EF∥平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形 C．HG∥平面 ABD，且四边形 EFGH 是菱形 D．EH∥平面 ADC，且四边形 EFGH 是平行四边形 解析：选 B 由 AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4 知 EF 綊 1 5 BD，∴EF∥面 BCD.又 H，G 分别 为 BC，CD 的中点
∴HG絨:BD,∴EF∥HG且EF≠HG 四边形EFGH是梯形 在空间内,设l,m,n是三条不同的直线,a,B,y是三个不同的平面,则下列命 题中为假命题的是( A.a⊥y,B⊥y,anB=1,则1⊥y B.D∥a,D∥B,anB=m,则∥m C.anB=l,Bny=m,yna=n,M∥m,则l∥n D.a⊥y,B⊥y,则a⊥B或a∥B 解析:选D对于A,∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直 于第三个平面,∴该命题是真命题:对于B,∵如果一条直线平行于两个相交平面,那么该 直线平行于它们的交线,∴该命题是真命题:对于C,∵如果三个平面两两相交,有三条交 线,那么这三条交线交于一点或相互平行,∴该命题是真命题;对于D,当两个平面同时垂 直于第三个平面时,这两个平面可能不垂直也不平行,∴D不正确. 设a,b为空间的两条直线,a,B为空间的两个平面,给出下列命题 ①若a∥a,a∥B,则a∥B;②若a⊥a,a⊥B,则a∥B ③若a∥a,b∥a,则a∥b;④若a⊥a,b⊥a,则a∥b. 上述命题中,所有真命题的序号是 解析:①错误.因为α与β可能相交;③错误.因为直线a与b还可能异面、相交 答案:②④ 8.已知平面a∥B,Pa且PB,过点P的直线m与a,B分别交于AC,过点P的直 线n与a,B分别交于B,D,且P=6,AC=9,PD=8则BD的长为 解析:如图1,AC∩BD=P 经过直线AC与BD可确定平面PCD aB,a∩平面PCD=AB,B∩平面PCD=CD ABled 图1 8-BD AC BD ∵.BD 如图2,同理可证ABCD
∴HG 綊 1 2 BD，∴EF∥HG 且 EF≠HG. ∴四边形 EFGH 是梯形． 6． 在空间内，设 l，m，n 是三条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命 题中为假命题的是( ) A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则 l⊥γ B．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则 l∥m C．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则 l∥n D．α⊥γ，β⊥γ，则 α⊥β 或 α∥β 解析：选 D 对于 A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直 于第三个平面，∴该命题是真命题；对于 B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该 直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于 C，∵如果三个平面两两相交，有三条交 线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于 D，当两个平面同时垂 直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 不正确． 7．设 a，b 为空间的两条直线，α，β 为空间的两个平面，给出下列命题： ①若 a∥α，a∥β，则 α∥β；②若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β； ③若 a∥α，b∥α，则 a∥b；④若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b. 上述命题中，所有真命题的序号是________． 解析：①错误．因为 α 与 β 可能相交；③错误．因为直线 a 与 b 还可能异面、相交． 答案：②④ 8．已知平面 α∥β，P∉α 且 P∉β，过点 P 的直线 m 与 α，β 分别交于 A.C，过点 P 的直 线 n 与 α，β 分别交于 B，D，且 PA＝6，AC＝9，PD＝8 则 BD 的长为________． 解析：如图 1，∵AC∩BD＝P， ∴经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. ∵α∥β，α∩平面 PCD＝AB，β∩平面 PCD＝CD， ∴AB∥CD. ∴ PA AC＝ PB BD，即6 9 ＝ 8－BD BD . ∴BD＝ 24 5 . 如图 2，同理可证 AB∥CD