直线、平面平行的判定及其性质 知识点一、直线与平面平行的判定 直线和平面的位置关系(一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种) 位置关系直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示aca ∩a=A a//a 图形表 主:直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 思考:如图,设直线b在平面a内,直线a在平面q外,猜想在什么条件下直线a与平面a平 a-b 直线与平面平行的判断 判定 文字描述直线和平面在空间平面永无交点,则平面外的一条直线一次平面内的一条直线 直线和平面平行(定义) 平行,则该直线与此平面平行 图形 条件 a与a无交点 baa b∥a 结论 ∥a b∥a 线线平行,则线面平行〔与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况 ※判定定理的证明
一、直线、平面平行的判定及其性质 知识点一、直线与平面平行的判定 ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种） 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a||α 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 ⅱ.思考：如图，设直线 b 在平面α内，直线 a 在平面α外，猜想在什么条件下直线 a 与平面α平 行.（a||b） 直线与平面平行的判断 判 定 文字描述 直线和平面在空间平面永无交点，则 直线和平面平行（定义） 平面外的一条直线一次平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行 图形 条件 a 与 α 无交点 结论 a∥α b∥α 线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况） ※判定定理的证明
知识点二、直线与平面平行的性质 性质 条直线与一个平面平行,一条直线和一个平面平行,则 文字描述 则这条直线与该平面无交点过这条直线的任一平面与此平 面相交,这条直线和交线平行 图形 条件 ∥/a a∥ aac B a∩B=b 结论 a∩a= a∥b 线面平行,则绲线平行 特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法:①利用直线和平面平行的判定定理,通过“线线 平行,证得“线面”平行:②利用两平面平行的性质定理,通过“面面”平行,证得“线面”平行 知识点三、平面与平面平行的判定 判定 文字描述如果两个平面无公共一个平面内有两条相如果两个平面同时垂直于 点,责成这两个平面平交直线与另一个平面一条直线,那么这两个平 平行,那么这两个平面面垂直 平行 BP by 图形 条件 a, bc B L⊥ a∩B= a∩b=P a∥a b∥ 结论 a∥B a∥B a∥B
知识点二、直线与平面平行的性质 性质 文字描述 一条直线与一个平面平行， 则这条直线与该平面无交点 一条直线和一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平 面相交，这条直线和交线平行． 图形 条件 a∥α a∥αa⊂βα∩β＝b 结论 a∩α＝∅ a∥b 线面平行，则线线平行 特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线” 平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行. 知识点三、平面与平面平行的判定 判定 文字描述 如果两个平面无公共 点，责成这两个平面平 行 一个平面内有两条相 交直线与另一个平面 平行，那么这两个平面 平行． 如果两个平面同时垂直于 一条直线，那么这两个平 面垂直。 图形 条件 α∩β＝∅ a，b⊂β a∩b＝P a∥α b∥α l⊥α l⊥β 结论 α∥β α∥β α∥β
知识点四、平面与平面平行的性质 性质 文字描述 如果两个平行平面同时和第如果两个平面平行,那么其 三平面相交,那么他们的交中一个平面内的直线平行于 线平行 另一个平面 dB a 条件 ∥B ∥B ∩ b cB Y=a 结论 a∥a
知识点四、平面与平面平行的性质 性质 文字描述 如果两个平行平面同时和第 三平面相交，那么他们的交 线平行 如果两个平面平行，那么其 中一个平面内的直线平行于 另一个平面 图形 条件 α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β a⊂β 结论 a∥b a∥α
直线、平面垂直的判定及其性质 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定 语言描述如果直线1和平面a内的任意一条直线都一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直我们就说直线与平面a互相垂直,垂直,则这条直线与该平面垂直 记作1⊥a 图形 条件 b为平面a内的任一直线,而1对这1⊥m,⊥n,m∩n=B,mca, 直线总有1⊥a nca 1⊥a l⊥a 要点诠释:定义中“平面《内的任意一条直线”就是指“平面《内的所有直线”这与“无 数条直线”不同(线线垂直→线面垂直 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于这个平面内的所有直线 图形 条件 l⊥a,mca: l⊥c,m⊥c 结论 ⊥m 知识点三、二面角 I.二面角::从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角( dihedral angle).这条直线叫做二 面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角a-AB-B.(简记P一AB-Q) 二面角的平面角的三个特征:i.点在棱上 i.线在面内 i.与棱垂直 Ⅱl-面角的平面角:在二面角a-1-B的棱/上任取一点O,以点O为垂足,在半平面a,B内分别 作垂直于棱l的射线O4和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角 作用:衡量二面角的大小;范围:00<6<180°
二、直线、平面垂直的判定及其性质 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定 语言描述 如果直线 l 和平面α内的任意一条直线都 垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l⊥α 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件 b 为平面α内的任一直线，而 l 对这 一直线总有 l⊥α l ⊥ m ，l ⊥ n ，m ∩ n ＝B， m ， n 结论 l ⊥ l ⊥ 要点诠释：定义中“平面 内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无 数条直线”不同（线线垂直 线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线 垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形 条件 结论 知识点三、二面角 Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二 面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角 －AB－ . （简记 P AB Q － － ） 二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面内 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角：在二面角 －l－ 的棱 l 上任取一点 O ，以点 O 为垂足，在半平面 , 内分别 作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的 AOB 叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围： 0 0 0 180
·P 知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 定义判定 文字描述两个平面相交,如果它们所成的二面角是一个平面过另一个平面的垂线,则这两个 直二面角,就说这两个平面垂直 平面垂直 图形 结果 a∩B=1a-1-B=90°a⊥B l⊥a,ca→a⊥6 (垂直问题中要注意题目中的文字表述,特别是“任何”“随意”“无数”等字眼) 知识点五、平面和平面垂直的性质 面面垂直匚线面垂直(如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与 一个面平垂直) 例题 1.如图,若Ω是长方体 ABCD-ALBICD1被平面EFGH截去几何体 EFGHB,C1后得到的几何 体,其中E为线段AB1上异于B的点,F为线段BB1上异于B的点,且EH∥A1D 则下列结论中不正确的是 A.EH∥FG B.四边形EFGH是矩形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台 2能保证直线a与平面a平行的条件是(A A.ada,bca,a∥b B.bca,a∥b C.bca,c∥a,a∥b,a∥ (第6题图) D.bca,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b且AC=BD 3下列命题正确的是(DF A.平行于同一平面的两条直线平行 B.若直线a∥a,则平面a内有且仅有一条直线与a平行 C.若直线a∥a,则平面a内任一条直线都与a平行 D.若直线a∥a,则平面a内有无数条直线与a平行 E.如果a、b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面 F.如果直线a、b和平面a满足a∥b,a∥a,bga,那么b∥a 4在空间,下列命题正确的是 (A)平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行
知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 定义 判定 文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面垂直. 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直 图形 结果 α∩β=l α-l-β=90o α⊥β （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼） 知识点五、平面和平面垂直的性质 面面垂直 线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与 一个面平垂直） 例题 1.如图，若 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何 体，其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点，F 为线段 BB1 上异于 B1 的点，且 EH∥A1 D1， 则下列结论中不正确的是 A. EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台 2 能保证直线 a 与平面α平行的条件是（ A ） A.a α,b α,a∥b B .b α,a∥b C. b α,c∥α,a∥b,a∥c D. b α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b 且 AC＝BD 3 下列命题正确的是（ D F ） A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 若直线 a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与 a 平行 C. 若直线 a∥α,则平面α内任一条直线都与 a 平行 D. 若直线 a∥α,则平面α内有无数条直线与 a 平行 E. 如果 a、b 是两条直线，且 a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 F. 如果直线 a、b 和平面α满足 a∥b，a∥α,b α，那么 b∥α 4 在空间，下列命题正确的是 （A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行 （C）垂直于同一平面的两个平面平行
(D)垂直于同一平面的两条直线平行 5已知m、n为两条不同的直线,a、B为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.mca,nca,m∥B,n∥B→a∥B B.a∥B,mca,ncB→m∥n C.m⊥a,m⊥n→n∥a D.n∥mn⊥a→m⊥a 6.下列命题中错误的是 (A)如果平面a⊥平面β,那么平面a内一定直线平行于平面B (B)如果平面a垂直于平面β,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面B (C)如果平面a⊥平面y,平面B⊥平面y,a∩B=l,那么l⊥平面y (D)如果平面a⊥平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面B 7 设a,b是两条直线,a,B是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是 (A)a⊥a,b∥B,a⊥B(B)a⊥a,b⊥B,a∥B (C)a∈a,b⊥B.,a∥BD)aca,b∥B,a⊥B 8求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面 已知:空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点 求证:EF∥平面BCD B 8题图 9题图 9如图,在椎体 P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形, 且∠DAB=60,PB=2 EF分别是BCPC的中点 (1)证明:AD⊥平面DEF; (2)求二面角PADB的余弦值
（D）垂直于同一平面的两条直线平行 5 已知 m、n 为两条不同的直线，a、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A． m n , , m∥β，n∥β a∥β B．a∥β， m n , m∥n C．m⊥a,m⊥n n∥a D．n∥m,n⊥a m⊥a 6.下列命题中错误的是 （A）如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内一定直线平行于平面 （B）如果平面 垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 （C）如果平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， = l ，那么 l ⊥平面 （D）如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点 求证：EF‖平面 BCD 8 题图 9 题图 9.如图，在椎体 P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面 DEF; (2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值
课堂练习 A组 1已知m,n是两条不同直线,a,B,y是三个不同平面,下列命题中正确的是 A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若a⊥y,B⊥y,则a∥B C.若m∥a,m∥B,则a∥B D.若m⊥a,n⊥a,则m∥n 4.已知两条直线m,n,两个平面a,B,给出下面四个命题:() ①m∥/n,m⊥a→n⊥a ②a∥1B,mca,nCB→m∥n ③m∥1n,m∥→n∥ ④Q∥B,m∥n,m⊥c→n⊥B 其中正确命题的序号是 B.②④ D.②③ 3m、n是空间两条不同的直线,a、B是两个不同的平面,下面四个命题中,真命题的序号是 ①m⊥a,n∥B,a∥B=→m⊥n; ②m⊥n,a∥B,m⊥a=→n∥B ③m⊥n,a∥B,m∥a=→n⊥B; ④m⊥a,m∥n,a∥B=→n⊥B 4如图,在直四棱柱 ABCD-A. B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2, E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点 (1)证明:直线EE1平面FCC1 D 5.在长方体 ABCD-AIBICID1中 (1)作出过直线AC且与直线BD1平行的截面,并说明理由 (2)设E、F分别是A1B和BC的中点,求证直线EF∥平面ABCD 6.在图中所示的一块木料中,棱BC平行于平面A℃C (1)要经过平面AC内的一点P和棱BC将木料据开,应怎样画线?
课堂练习 A 组 3.m、n 是空间两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________． ①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n； ②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β； ④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β. 4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1、F 分别是棱 AD、AA 1、AB 的中点。 （1） 证明：直线 EE 1 //平面 FCC 1 ； 5. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中. （1）作出过直线 AC 且与直线 BD1 平行的截面，并说明理由. （2）设 E、F 分别是 A1B 和 B1C 的中点，求证直线 EF//平面 ABCD. 6. 在图中所示的一块木料中，棱 BC 平行于平面 A’C’ ． （1）要经过平面 AC 内的一点 P 和棱 BC 将木料据开，应怎样画线？ E A B C F E1 A1 B1 D1 C1 D
(2)所画的线和平面AC是什么位置关系?
（2）所画的线和平面 AC 是什么位置关系？