第三节空间点、直线、平面之间的位置关系 时间:45分钟分值:75分 选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.(2013安徽卷)在下列命题中,不是公理的是( A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有 的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 条过该点的公共直线 解析B是公理2,C是公理1,D是公理3,只有A不是公理 答案A 2.已知平面外一点P和平面内不共线三点A,B,C,A′,B C′分别在PA,PB,PC上,若延长A′B′,B′C′,A′C′与平 面分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点() 成钝角三角形 B.成锐角三角形 C.成直角三角形 D.在一条直线上 解析D,E,F为已知平面与平面A′B′C′的公共点,D,E, F共线 答案D 3.已知空间中有不共线的三条线段AB、BC和CD,且∠ABC ∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是() A.AB∥CD B.AB与CD异面 C.AB与CD相交 D.以上情况均有可能 解析若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行;若不共 1/9
1 / 9 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 时间：45 分钟 分值：75 分 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1．(2013·安徽卷)在下列命题中，不是公理的是( ) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有 的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条过该点的公共直线 解析 B 是公理 2，C 是公理 1，D 是公理 3，只有 A 不是公理． 答案 A 2．已知平面外一点 P 和平面内不共线三点 A，B，C，A′，B′， C′分别在 PA，PB，PC 上，若延长 A′B′，B′C′，A′C′与平 面分别交于 D，E，F 三点，则 D，E，F 三点( ) A．成钝角三角形 B．成锐角三角形 C．成直角三角形 D．在一条直线上 解析 D，E，F 为已知平面与平面 A′B′C′的公共点，D，E， F 共线． 答案 D 3．已知空间中有不共线的三条线段 AB、BC 和 CD，且∠ABC ＝∠BCD，那么直线 AB 与 CD 的位置关系是( ) A．AB∥CD B．AB 与 CD 异面 C．AB 与 CD 相交 D．以上情况均有可能 解析 若三条线段共面，则直线 AB 与 CD 相交或平行；若不共
面,则直线AB与CD是异面直线,故选D 答案D 4.若直线l不平行于平面a,且Ka,则() A.a内的所有直线与l异面 B.a内不存在与l平行的直线 C.a内存在唯一的直线与l平行 D.a内的直线与l都相交 解析依题意,直线l∩α=A(如图).∝内的直线若经过点A,则 与直线l相交;若不经过点A,则与直线l是异面直线,故选B. 答案B 5.(2014桂林中学上学期期中)下列四个图是正方体或正四面体 P、Q、R、S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图的个数为() R B.2 2/9
2 / 9 面，则直线 AB 与 CD 是异面直线，故选 D. 答案 D 4．若直线 l 不平行于平面 α，且 l⊄α，则( ) A．α 内的所有直线与 l 异面 B．α 内不存在与 l 平行的直线 C．α 内存在唯一的直线与 l 平行 D．α 内的直线与 l 都相交 解析 依题意，直线 l∩α＝A(如图)．α 内的直线若经过点 A，则 与直线 l 相交；若不经过点 A，则与直线 l 是异面直线，故选 B. 答案 B 5．(2014·桂林中学上学期期中)下列四个图是正方体或正四面体， P、Q、R、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为( ) A．1 B．2
D.4 解析只有第四个图中的四点不共面 答案A 6.(2013江西卷)如下图,正方体的底面与正四面体的底面在同 平面a上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE, EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=( B.9 解析如下图,∵CEC平面ABPQ,CE∥平面AB1PQ,∴CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交,m=4;∵EF∥平面BPPB1, 且EF∥平面AQQ1A1,∴EF与正方体的其余四个面所在平面均相交, n=4,故m+n=8,选A B A 答案A 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 7.设P表示一个点,a,b表示两条直线,∝,B表示两个平面, 给出下列四个命题,其中正确命题的序号是 ①P∈a,P∈a→aCa ②a∩b=P,bCB→aCB 3/9
3 / 9 C．3 D．4 解析 只有第四个图中的四点不共面． 答案 A 6．(2013·江西卷)如下图，正方体的底面与正四面体的底面在同 一平面 α 上，且 AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线 CE， EF 相交的平面个数分别记为 m，n，那么 m＋n＝( ) A．8 B．9 C．10 D．11 解析 如下图，∵CE⊂平面 ABPQ，CE∥平面 A1B1P1Q1，∴CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，m＝4；∵EF∥平面 BPP1B1， 且 EF∥平面 AQQ1A1，∴EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， n＝4，故 m＋n＝8，选 A. 答案 A 二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 7．设 P 表示一个点，a，b 表示两条直线，α，β 表示两个平面， 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________． ①P∈a，P∈α⇒a⊂α ②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β
③a∥b,aCa,P∈b,P∈a→bCa ④a∩B=b,P∈a,P∈B→P∈b 解析当a∩α=P时,P∈a,P∈a,但aa,∴①错;a∩B=P 时,②错;如图,∵a∥b,P∈b,∴Pa,∴由直线a与点P确定唯 一平面a,又a∥b,由a与b确定唯一平面γ,但γ经过直线a与点 P,∴γ与α重合,∴bCα,故③正确;两个平面的公共点必在其交 线上,故④正确 答案③④ 8.在空间中, ①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线 ②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线 以上两个命题中,逆命题为真命题的是 (把符合要求的 命题序号都填上) 解析对于①可举反例,如AB∥CD,A,B,C,D没有三点共 线,但A,B,C,D共面.对于②由异面直线定义知正确,故填② 答案② D C 9.(2013安徽卷)如图,正方体 ABCD--A1BC1D1的棱长为1,P 4/9
4 / 9 ③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α ④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b 解析 当 a∩α＝P 时，P∈a，P∈α，但 a⊄α，∴①错；a∩β＝P 时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线 a 与点 P 确定唯 一平面 α，又 a∥b，由 a 与 b 确定唯一平面 γ，但 γ 经过直线 a 与点 P，∴γ 与 α 重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交 线上，故④正确． 答案 ③④ 8．在空间中， ①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线； ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(把符合要求的 命题序号都填上)． 解析 对于①可举反例，如 AB∥CD，A，B，C，D 没有三点共 线，但 A，B，C，D 共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②. 答案 ② 9．(2013·安徽卷)如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 1，P
为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该 正方体所得的截面记为S则下列命题正确的是 (写出所有正 确命题的编号) ①当0CQ<时,S为四边形 ②当CQ=时,S为等腰梯形 ③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R= ④当CQ<1时,S为六边形 ⑤当CQ=1时,S的面积为2 解析对于①②,如图1,因为正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长 为1,当CQ=2时,PQ=2,这时截面S交棱D1于D,AP=DQ =5,且PQ∥D,截面S为等梯形,当C号时,截而S与棱 DD1相交,截面S为四边形,故①②正确;对于③④⑤,如图2,延 长QR交DD1的延长线于N点,连接AN交A1D1于M, 取AD中点G,作GH∥PO交DD1于H点,可得GH∥AN ND 且GH=AN,设CQ=10≤1≤1),则DN=2,ND=2-1,CQ D,R 2t-1 DIR 2 CIR1-t 当=时,C1R=1,可得GR=3,故③正确, κ<1时,S为五边形,故④错误,当|=1时,M为A1D1的中 S为菱形PCMA,4C1=,MP=5,S的面积为AC1MDP=2 5/9
5 / 9 为 BC 的中点，Q 为线段 CC1上的动点，过点 A，P，Q 的平面截该 正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是________(写出所有正 确命题的编号)． ①当 0<CQ< 1 2 时，S 为四边形 ②当 CQ＝ 1 2 时，S 为等腰梯形 ③当 CQ＝ 3 4 时，S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R＝ 1 3 ④当 3 4 <CQ<1 时，S 为六边形 ⑤当 CQ＝1 时，S 的面积为 6 2 解析 对于①②，如图 1，因为正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长 为 1，当 CQ＝ 1 2 时，PQ＝ 2 2 ，这时截面 S 交棱 DD1于 D1，AP＝D1Q ＝ 5 2 ，且 PQ∥AD1，截面 S 为等腰梯形，当 CQ< 1 2 时，截面 S 与棱 DD1相交，截面 S 为四边形，故①②正确；对于③④⑤，如图 2，延 长 QR 交 DD1的延长线于 N 点，连接 AN 交 A1D1于 M， 取 AD 中点 G，作 GH∥PQ 交 DD1于 H 点，可得 GH∥AN 且 GH＝ 1 2 AN，设 CQ＝t(0≤t≤1)，则 DN＝2t，ND1＝2t－1， ND1 C1Q ＝ D1R C1R ＝ 2t－1 1－t ，当 t＝ 3 4 时，D1R C1R ＝ 2 1 ，可得 C1R＝ 1 3 ，故③正确， 当 3 4 <t<1 时，S 为五边形，故④错误，当 t＝1 时，M 为 A1D1的中 点， S 为菱形 PC1MA，AC1＝ 3，MP＝ 2，S 的面积为1 2 ·AC1·MP＝ 6 2
故⑤正确 图1图2 答案①②③⑤ 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 10.已知正方体ABCD_A1B1CD1中,E,F分别为DC1,C1B1 的中点,AC∩BD=P,A1C1EF=Q求证 (1)D,B,F,E四点共面 (2)若AC交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线 Al D C 证明(1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线, 所以EF∥B1D1 在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD 所以EF,BD确定一个平面 即D,B,F,E四点共面 (2)在正方体AC1中,设平面A1AC1确定的平面为a 又设平面BDEF为B 因为Q∈A1C1,所以Q∈a.又Q∈EF,所以Q∈B 则Q是a与β的公共点, 同理,P点也是a与B的公共点所以a∩B=PQ 又ACnB=R,所以R∈A1C,R∈a且R∈B 则R∈PQ,故P,Q,R三点共线 6/9
6 / 9 故⑤正确． 图1 图2 答案 ①②③⑤ 三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分) 10．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E 四点共面； (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线． 证明 (1)如图所示，因为 EF 是△D1B1C1的中位线， 所以 EF∥B1D1. 在正方体 AC1中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD. 所以 EF，BD 确定一个平面， 即 D，B，F，E 四点共面． (2)在正方体 AC1中，设平面 A1ACC1确定的平面为 α， 又设平面 BDEF 为 β. 因为 Q∈A1C1，所以 Q∈α.又 Q∈EF，所以 Q∈β. 则 Q 是 α 与 β 的公共点， 同理，P 点也是 α 与 β 的公共点．所以 α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，所以 R∈A1C，R∈α 且 R∈β. 则 R∈PQ，故 P，Q，R 三点共线．
11.已知空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E,F分别是BC AD上的点,并且BEEC=AFFD=12,EF=7,求AB和CD 所成角的余弦值 B E C 解如图所示,在BD上取点G,使BGGD=12,连接EG BE BG 1 在△BCD中 ·ECGD-2 ∴EG∥CD,且GECD=13, 同理FG∥AB,且FGAB=23, ∴EG与FG所成的角即为AB与CD所成的角 在△BCD中,∵EG∥CD,CD=3, 且EGCD=13,∴EG=1 在△ABD中,∵FG∥AB,AB=3,FGAB=23 ∵FG=2 在△EFG中,EG=1,FG=2,EF= 由余弦定理得cos∠EGF EG2+FG2-EF2 1 2EG·FG ∵异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°,∴coSθ≥0. ,AB与CD所成角的余弦值为 7/9
7 / 9 11．已知空间四边形 ABCD 中，AB＝CD＝3，E，F 分别是 BC， AD 上的点，并且 BE EC＝AF FD＝1 2，EF＝ 7，求 AB 和 CD 所成角的余弦值． 解 如图所示，在 BD 上取点 G，使 BG GD＝1 2，连接 EG， FG. 在△BCD 中，∵ BE EC＝ BG GD＝ 1 2 ， ∴EG∥CD，且 GE CD＝1 3， 同理 FG∥AB，且 FG AB＝2 3， ∴EG 与 FG 所成的角即为 AB 与 CD 所成的角． 在△BCD 中，∵EG∥CD，CD＝3， 且 EG CD＝1 3，∴EG＝1. 在△ABD 中，∵FG∥AB，AB＝3，FG AB＝2 3， ∴FG＝2. 在△EFG 中，EG＝1，FG＝2，EF＝ 7， 由余弦定理得 cos∠EGF＝ EG2＋FG2－EF2 2EG·FG ＝－ 1 2 ， ∵异面直线所成角 θ 的范围是 0°<θ≤90°，∴cosθ≥0. ∴AB 与 CD 所成角的余弦值为1 2
C A A E B 12.(2013湖南卷)如图,在直棱柱ABC一A1BC1中,∠BAC=90°, AB=AC=V2,AA1=3,D是BC的中点,点E在棱B1上运动 (I)证明:AD⊥C1E; (Ⅱ)当异面直线AC,CE所成的角为60°时,求三棱锥C1一A1B1E 的体积 解(1)证明:因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC 又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,而ADC平面 ABC,所以AD⊥BB1② 由①,②得AD⊥平面BBC1C 由点E在棱BB1上运动,得C1EC平面BB1CC,所以AD⊥CE (1)因为AC∥A1C1,所以∠A1C1E是异面直线AC,CE所成的 角,由题设,∠A1C1E=60° 因为∠B1AC1=∠BAC=90°,所以AC1⊥A1B1,又AA1⊥A1C1, 从而A1C1⊥平面A1ABB1,于是A1C1⊥A1E 故C1E=A1C1 cos60 22,又BC1 41C+A1B=2, 所以B1E=VC1E2-BC=2 从而V三棱锥Cr=A1B1E=3S△A1B1EXAC1= 8/9
8 / 9 12．(2013·湖南卷)如图，在直棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°， AB＝AC＝ 2，AA1＝3，D 是 BC 的中点，点 E 在棱 BB1上运动． (Ⅰ)证明：AD⊥C1E； (Ⅱ)当异面直线 AC，C1E 所成的角为 60°时，求三棱锥 C1－A1B1E 的体积． 解 (Ⅰ)证明：因为 AB＝AC，D 是 BC 的中点，所以 AD⊥BC. ① 又在直三棱柱 ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面 ABC，而 AD⊂平面 ABC，所以 AD⊥BB1.② 由①，②得 AD⊥平面 BB1C1C. 由点 E 在棱 BB1上运动，得 C1E⊂平面 BB1C1C，所以 AD⊥C1E. (Ⅱ)因为 AC∥A1C1，所以∠A1C1E 是异面直线 AC，C1E 所成的 角，由题设，∠A1C1E＝60°. 因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以 A1C1⊥A1B1，又 AA1⊥A1C1， 从而 A1C1⊥平面 A1ABB1，于是 A1C1⊥A1E. 故 C1E＝ A1C1 cos60°＝2 2，又 B1C1＝ A1C2 1＋A1B2 1＝2， 所以 B1E＝ C1E2－B1C2 1＝2. 从而 V 三棱锥 C1—A1B1E＝ 1 3 S△A1B1E×A1C1＝
×2×2××2=3 9/9
9 / 9 1 3 × 1 2 ×2× 2× 2＝ 2 3