“点到直线的距离”教案 教材分析 点到直线的距离公式”是在学习了两直线的位置关系—一平行、垂直、交点、夹角的基础 上,进一步研究如何用点的坐标和直线方程求点到直线距离的重要工具。它是点线位置关系,线线 位置关系的桥梁,是我们以后研究圆锥曲线与直线位置关系的基础 教学目标 1、知识目标:点到直线的距离公式,平行线的距离公式 2、能力目标: (1)掌握点到直线的距离公式及结构特点,能运用公式解题 (2)渗透数形结合、等价转化等数学思想。培养探究能力 3、德育情感目标 (1)培养学生团队合作精神 (2)培养学生个性品质,鼓励学生勇于探索新知 三、教学重难点 重点:点到直线的距离公式d=141+bo+C及应用 A-+B 2、难点:点到直线的距离公式的推导。 推导过程较繁杂,等价观点的应用学生理解较难。 四、教法及学法 (一)、学情分析 1、学生在此之前已经能够充分认识到用代数方法解决几何问题的优越性,学生在学习此节内容时 可能会存在疑问:学习了点到直线的距离能够解决什么样的几何问题?因此在讲课以前要充分激发学 生的学习积极性。再者有可能有的学生已经预习了本节内容,可能会认为本节内容不外乎就是套公式, 故学习前还应充分调学生的探知欲。 2、学生在公式的推导过程中可能对直角三角形等积法求斜边上的高是怎么来的不太清楚,因此在 讲课时要重点强调这是数学上的一种等价转化数学思想 (二)、教学方法 1、学导法:引导学生分析点到直线的距离的求解思路,一起分析探讨解决问题的各种途径。然后 选择一种较好的方法来具体实施 教具:多媒体 (三)、学法指导 1、培养学生动手、动脑的能力,从而更易理解公式的推导过程 2、培养学生以旧引新、以新带旧探索新知的能力。 五、教学过程及设计意图 课题引入7分钟_探索规律20分钟|例题分析10分钟 练习反馈5分钟
“点到直线的距离”教案 一、 教材分析 “点到直线的距离公式”是在学习了两直线的位置关系——平行、垂直、交点、夹角的基础 上，进一步研究如何用点的坐标和直线方程求点到直线距离的重要工具。它是点线位置关系，线线 位置关系的桥梁，是我们以后研究圆锥曲线与直线位置关系的基础。 二、教学目标 1、知识目标：点到直线的距离公式，平行线的距离公式。 2、能力目标： （1） 掌握点到直线的距离公式及结构特点，能运用公式解题。 （2） 渗透数形结合、等价转化等数学思想。培养探究能力。 3、德育情感目标 （1） 培养学生团队合作精神。 （2） 培养学生个性品质，鼓励学生勇于探索新知。 三、教学重难点 1、重点：点到直线的距离公式 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = 及应用。 2、难点：点到直线的距离公式的推导。 推导过程较繁杂，等价观点的应用学生理解较难。 四、教法及学法 （一）、学情分析 1、学生在此之前已经能够充分认识到用代数方法解决几何问题的优越性，学生在学习此节内容时 可能会存在疑问：学习了点到直线的距离能够解决什么样的几何问题？因此在讲课以前要充分激发学 生的学习积极性。再者有可能有的学生已经预习了本节内容，可能会认为本节内容不外乎就是套公式， 故学习前还应充分调学生的探知欲。 2、学生在公式的推导过程中可能对直角三角形等积法求斜边上的高是怎么来的不太清楚，因此在 讲课时要重点强调这是数学上的一种等价转化数学思想。 （二）、教学方法 1、学导法：引导学生分析点到直线的距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径。然后 选择一种较好的方法来具体实施。 2、教具：多媒体 （三）、学法指导 1、培养学生动手、动脑的能力，从而更易理解公式的推导过程。 2、培养学生以旧引新、以新带旧探索新知的能力。 五、教学过程及设计意图 课题引入 7 分钟 探索规律 20 分钟 例题分析 10 分钟 练习反馈 5 分钟
内容 教师活动 学生活动 设计意图 1、课题引入 1、教师提问:点到直线1、学生回答点到直开门见山地引出 定义:点到直线的垂线段长度 的距离是什么? 线距离的定义 课题,一是激发学生 求点P(2、3)到下列直线的距离 2、学生很容易计算好奇心、求知欲促使 l1:x=12:y=6 2、教师给出题组让学生求出P到l,l2的距学生动探索下去 l3x+y-10=0 自己演算 离,P到l3的距 是对后面公式推导将 离就不便于计算 PQ转化为与坐标 平行的线段作铺垫 2、新课内容 1、教师让学生自己动手1、学生动手求解并1、让学生体会由特 在面内设P(x,y)是直线:4x+b+C=用求交点Q坐标的方法团发现此时非常困难到一般的解题差异 外一点,怎样用点的坐标及直线方程求P到直线解点线距离。 的距离。 方案1:设PQ为P到直线L 2、教师点明本方法难在 2、让学生在思路 的垂线段,Q为垂足由 求Q点坐标 自然的方法上遇到 困难并思考其它方法 PQ⊥1知 解决问题。 A≠0 A L 再用点斜线式写出PQ所在直线方程,并由L与3、教师设问:能否将2、学生积极的讨论 PQ的直线方程求出Q点的坐标。最后利用两点转化为与坐标轴平行的思考可能得出方案2 距离公式求出 线来求解?(抽问)并训方案3或更多方案 方案2如图过P点作y轴平行线并交L于 学生积极的去思考讨论 S(x0y2),则 tanb e Ax+ By, +C=0 让学生在活跃 得y2= 4、教师让学生分组实施3、学生分组实施各的氛围中探求更多 各种方案 种方案。并将结果整知识。培养了学生的 理出来 团队合作精神 IPS=lyo-y2l= Ax, Byo B B 5、教师让最先得出结论 的小组把过程整理在纸 +tan2b√A2+B 然后用幻灯机播放 全体学生 Axo+ Pg=PS]. sin 0 A2+B2 4、张扬学生个性培 6、教师对用各种方法得 学生的个性品质 出结论的学生给予表扬 背定。并详细解说方案3
内 容 教师活动 学生活动 设计意图 1、课题引入 定义：点到直线的垂线段长度。 求点 P（2、3）到下列直线的距离 l 1 : x =1 l 2 : y = 6 l 3 : x + y −10 = 0 1、教师提问：点到直线 的距离是什么？ 2、教师给出题组让学生 自己演算 1、学生回答点到直 线距离的定义。 2、学生很容易计算 求出 P 到 1 2 l ,l 的距 离， P 到 3 l 的距 离就不便于计算。 开门见山地引出 课题，一是激发学生 好奇心、求知欲促使 学生动探索下去；二 是对后面公式推导将 PQ 转化为与坐标轴 平行的线段作铺垫。 2、新课内容： 在面内设 ( ) 0 0 P x , y 是直线 l : Ax + By + C = 0 外一点，怎样用点的坐标及直线方程求 P 到直线 L 的距离。 方案 1:设 PQ 为 P 到直线 L 的垂线段，Q 为垂足由 PQ ⊥ l 知 = (A 0) A B kPQ 再用点斜线式写出 PQ 所在直线方程，并由 L 与 PQ 的直线方程求出 Q 点的坐标。最后利用两点 距离公式求出 PQ 方案 2:如图过 P 点作 y 轴平行线并交 L 于 S（x0 y2），则 A B tan = ， Ax0 + By 2 +C = 0 得 B Ax C y − = − 0 2 B Ax By C PS y y + + = − = 2 0 0 2 = + = 2 2 1 tan tan sin 2 2 A B B + PQ = PS sin ＝ 2 2 0 0 A B Ax By c + + + 1、教师让学生自己动手 用求交点 Q 坐标的方法求] 解点线距离。 2、教师点明本方法难在 求 Q 点坐标。 3、教师设问：能否将 PQ 转化为与坐标轴平行的直 线来求解？（抽问）并让 学生积极的去思考讨论。 4、教师让学生分组实施 各种方案。 5、教师让最先得出结论 的小组把过程整理在纸 上，然后用幻灯机播放给 全体学生。 6、教师对用各种方法得 出结论的学生给予表扬和 肯定。并详细解说方案 3。 1、学生动手求解并 发现此时非常困难。 2、学生积极的讨论 思考可能得出方案 2， 方案 3 或更多方案。 3、学生分组实施各 种方案。并将结果整 理出来。 1、让学生体会由特殊 到一般的解题差异。 2、让学生在思路 自然的方法上遇到 困难并思考其它方法 解决问题。 3、让学生在活跃 的氛围中探求更多 知识。培养了学生的 团队合作精神。 4、张扬学生个性培养 学生的个性品质。 S x y P Q P Q L y x O x O
方案3:设A≠0,B≠0,L与x轴、y轴都相交 过P作x轴的平行线交L点R(x1,y0)过P作y轴 平行线交L于点S(x0,y2) 方案3所用方法有一定 R 技巧着重体现在等面积 5、培养学生用等 上,教师应重点强调等 价转化的数学思 O 价转化数学思想 想解决问题,并 由Ax1+By+C=0 L 学生树立等价转 化数学思想 Axo By,+C=0 得x B PR=lo-xI Bye A Axo+ Byo +C B PS=√PR2+Ps2 Byo+c ∵d·RS|=PR●P 7、为突出点线距离公式4、学生动手检验 d=Ho+ Byo+C 的严密性教师应提醒学A=0或B=0的情 生检验A=0或B=0的情况,并发现这两种 A2+B 情况的满足公式 当A=0时d= B。+C 8、教师归纳点到直线的5、学生观察公式 当B=时d/4 +c 距离公式并请学生观察的结构特征并记 其结构特征 忆公式 A 满足d14xn+Bn+C A2+B
方案 3：设 A≠0，B≠0，L 与 x 轴、y 轴都相交 过 P 作 x 轴的平行线交 L 点 ( ) 1 0 R x , y 过 P 作 y 轴的 平行线交 L 于点 ( ) 0 2 S x , y 由 Ax1 + By 0 +C = 0 Ax0 + By 2 +C = 0 得 A By C x − − = 0 1 B Ax C y − − = 0 2 A Ax By C PR x x + + = − = 0 0 0 1 B Ax By C PS y y + + = − = 0 0 0 2 2 2 PS = PR + PS Ax By C AB A B + + + = 0 0 2 2 ∵ d • RS = PR • PS ∴ 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = 当 A＝0 时 B By C d + = 0 当 B＝0 时 A Ax C d + = 0 满足 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = 方案 3 所用方法有一定 技巧着重体现在等面积 上，教师应重点强调等 价转化数学思想。 7、为突出点线距离公式 的严密性教师应提醒学 生检验 A=0 或 B=0 的情 况。 8、教师归纳点到直线的 距离公式并请学生观察 其结构特征。 4、学生动手检验 A=0 或 B=0 的情 况，并发现这两种 情况的满足公式。 5、学生观察公式 的结构特征并记 忆公式。 5、培养学生用等 价转化的数学思 想解决问题，并让 学生树立等价转 化数学思想。 x y P S R Q L O
3、例题分析 教师点评 学生求解 让学生掌握公式 例1、求点P(-12)到下列直线的距离 但又不能局限于 (1)2x+y-10=0(2)3x=2 公式 例2、求两平行线l1Ax+B+C1=0 教师分析方法 学生解出例题根据点到直线的 距离公式得到平 2、教师归纳平行线距离公 行线距离的求解 l2:Ax+B+C2=0的距离 方法及平行线距 解:设P(x0,y)为L上任意一点,则 离公式 Axo Byo +C1=oH Axo Byo=-Cl l2平行于l2 P到l,的距离即为l1与l,的距离 d=Axo+Byo+Cl_ C2-C A-+B A-+B 4、练习反馈 教师提示并播放影片 学生解题 让学生巩固点线 1、求原点到下列直线的距离。 距离公式的应用 (1)5x+2y-26=0 (2)x=y 及平行线距离的 2、求平行直线l1:2x+3y-8=0 求法 l2:2x+3y+18=0的距离 (二)小结 (1)、点到直线的距离公式的推导过程和应用。 (2)、平行线的距离公式的推导过程和应用 d Axo+ Byo +C d (3)、等价转化的数学思想的应用 教师提问:这节课我们学习了那些知识,那些数学思想方法?(抽问)这样做有利培养学生归纳总 结的能力 (三)、1、课时作业:P5414、16 2、课后思考:已知三角形ABC,A(1,2)B(4,0)C(3,3)D为ABC内角平分线交点, 求三角形ABC的内切圆半径 让学生巩固点线距离公式和平行线距高公式并能在课后能继续探究点线距离公式有那些方面的作用 (四)、板书设计:附后
3、例题分析 例 1、求点 P（-1,2）到下列直线的距离 (1)2x+y-10=0 （2）3x＝2 教师点评 学生求解 让学生掌握公式 但又不能局限于 公式 例 2、求两平行线 l 1 : Ax + By +C1 = 0 l 2 : Ax + By +C2 = 0 的距离 解：设 ( ) 0 0 P x , y 为 L1上任意一点，则 Ax0 + By 0 +C1 = 0 即 Ax0 + By 0 = −C1 ∵ 2 l 平行于 2 l ∴P 到 2 l 的距离即为 1 l 与 2 l 的距离 2 2 2 1 2 2 0 0 2 A B C C A B Ax By C d + − = + + + = 1、教师分析方法 2、教师归纳平行线距离公 式： 2 2 1 2 A B C C d + − = 学生解出例题 根据点到直线的 距离公式得到平 行线距离的求解 方法及平行线距 离公式 4、练习反馈 1、求原点到下列直线的距离。 （1）5x+2y-26=0 （2）x=y 2、求平行直线 l 1 : 2x + 3y −8 = 0 l 2 : 2x +3y +18 = 0 的距离 教师提示并播放影片 学生解题 让学生巩固点线 距离公式的应用 及平行线距离的 求法 （二）小结 （1）、点到直线的距离公式的推导过程和应用。 （2）、平行线的距离公式的推导过程和应用。 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = 2 2 1 2 A B C C d + − = （3）、等价转化的数学思想的应用 教师提问：这节课我们学习了那些知识，那些数学思想方法？（抽问）这样做有利培养学生归纳总 结的能力。 （三）、1、课时作业：P54 14、16 2、课后思考：已知三角形 ABC ，A（1，2）B（4，0）C（3，3）D 为 ABC 内角平分线交点， 求三角形 ABC 的内切圆半径。 让学生巩固点线距离公式和平行线距离公式并能在课后能继续探究点线距离公式有那些方面的作用。 （四）、板书设计：附后
点到直线的距离 提出问题 3点到直线的距离公式:例 Ax, +By B 2解决方案 4平行直线的距离公式 例2 C 练习12 A2+B 六、教学评价 本节课的重点放在点线距离公式的应用上,难点放在点线距离公式的推导上,并让学生 认识转化思想和等价思想,从而突出重点突破难点 本节教学围绕“设疑一一解疑一一应用”逐一展开,对教材内容进行优化组合。体现知 识的来龙去脉,思路清晰流畅。在教学过程中通过设问、解问、应用逐步递进充分调动学生 学习的主动性、积极性,让学生学会学习,学会探索,学会创新。体现了学生的主体作用, 教师“授之予渔”的主导作用。教学双方的主体、主导作用得到充分发挥。培养了学生探知、 转化等多种能力,较好地实施了素质教育
点到直线的距离 1 提出问题 3 点到直线的距离公式： 例 1 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = 2 解决方案 4 平行直线的距离公式： 例 2 ┇ 2 2 1 2 A B C C d + − = 练习 1 2 ┇ 六、教学评价 本节课的重点放在点线距离公式的应用上，难点放在点线距离公式的推导上，并让学生 认识转化思想和等价思想，从而突出重点突破难点。 本节教学围绕“设疑――解疑――应用”逐一展开，对教材内容进行优化组合。体现知 识的来龙去脉，思路清晰流畅。在教学过程中通过设问、解问、应用逐步递进充分调动学生 学习的主动性、积极性，让学生学会学习，学会探索，学会创新。体现了学生的主体作用， 教师“授之予渔”的主导作用。教学双方的主体、主导作用得到充分发挥。培养了学生探知、 转化等多种能力，较好地实施了素质教育。 P S R x y Q O