3.3直线的交点坐标与距离公式 331两条直线的交点坐标 332两点间的距离 分层训练解疑·纠偏,检测 、基础达标 C 1.已知A-1,0),B(5.6),C3,4),则的值为 C.3 D.2 答案D 解析由两点间的距离公式, 得C=√3-(-1)1+(4-0)=4 CB=V(3-5)2+(4-6 B 2.(2014曲靖高一检测)两直线2x+3y-k=0和x-k+12=0的交点在y轴上, 那么k的值为 B.6 答案C 解析在2x+3y-k=0中,令x=0得y=2,将(0,5代入x-k+12=0, 解得k=±6 3.以A(5,5),B(14),C(4,1)为顶点的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案B 解析∵AB=√17,μCl=Vl17,|BC=32 角形为等腰三角形.故选B. 4.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互为垂直,垂足为(1,p),则m-n 第1页
第1页 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 一、基础达标 1．已知 A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则|AC| |CB| 的值为 ( ) A. 1 3 B. 1 2 C．3 D．2 答案 D 解析 由两点间的距离公式， 得|AC|＝ [3－(－1) 2 ]＋(4－0) 2＝4 2， |CB|＝ (3－5) 2＋(4－6) 2＝2 2，故 |AC| |CB| ＝ 4 2 2 2 ＝2. 2．(2014·曲靖高一检测)两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0 的交点在 y 轴上， 那么 k 的值为 ( ) A．－24 B．6 C．±6 D．24 答案 C 解析 在 2x＋3y－k＝0 中，令 x＝0 得 y＝ k 3 ，将 0， k 3 代入 x－ky＋12＝0， 解得 k＝±6. 3．以 A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是 ( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案 B 解析 ∵|AB|＝ 17，|AC|＝ 17，|BC|＝3 2， ∴三角形为等腰三角形．故选 B. 4．已知直线 mx＋4y－2＝0 与 2x－5y＋n＝0 互为垂直，垂足为(1，p)，则 m－n
p为 A.24 C.0 答案B 10+4p-2=0 解析由垂直性质可得2m-20=0,m=10.由垂足可得 得 2-5p+n=0, 5.已知点A(-2,-1),Ba,3),且AB=5,则a的值为 答案1或-5 解析由题意得√(a+2}2+(3+1)=5, 解得a=1或a=-5 6.若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则k的取值 范围是 答案 33 解析由 2+3k 得 6k-2y3 由于交点在第一象限,故 2x+3y-6=0, x>0,y>0, 解得3 7.在直线l:3x-y+1=0上求一点P,使点P到两点A(1,-1),B(2,0)的距离 相等 解法一设P点坐标为(x,y), 由P在l上和点P到A,B的距离相等建立方程组 「3x-y+1=0 x-1)2+(+1=√(x-2)2+y, 0=/辞 第2页
第2页 ＋p 为 ( ) A．24 B．20 C．0 D．－4 答案 B 解析 由垂直性质可得 2m－20＝0，m＝10.由垂足可得 10＋4p－2＝0， 2－5p＋n＝0， 得 p＝－2， n＝－12. ∴m－n＋p＝20. 5．已知点 A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则 a 的值为________． 答案 1 或－5 解析 由题意得 (a＋2) 2＋(3＋1) 2＝5， 解得 a＝1 或 a＝－5. 6．若直线 l：y＝kx－ 3与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限，则 k 的取值 范围是________． 答案 3 3 ，＋∞ 解析 由 y＝kx－ 3， 2x＋3y－6＝0， 得 x＝ 3 3＋6 2＋3k ， y＝ 6k－2 3 2＋3k . 由于交点在第一象限，故 x>0，y>0，解得 k> 3 3 . 7．在直线 l：3x－y＋1＝0 上求一点 P，使点 P 到两点 A(1，－1)，B(2,0)的距离 相等． 解 法一 设 P 点坐标为(x，y)， 由 P 在 l 上和点 P 到 A，B 的距离相等建立方程组 3x－y＋1＝0， (x－1) 2＋(y＋1) 2＝ (x－2) 2＋y 2， 解得 x＝0， y＝1
所以P点坐标为(0,1) 法二设P(x,y),两点A(1,-1)、B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为x+ 1=0① 又3x-y+1=0,② 解由①②组成的方程组 x+y-1=0, 所以所求的点为P(,1) 、能力提升 8.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则AB的值 为 答案C 解析直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0,过 定点 由两点间的距离公式,得B 9.直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值是() 答案 2x+3y+8=0 解析由方程组 得直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点 坐标为(-1,-2)代入直线x+ky=0得k= 10.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点的最小值是 答案 解析由距离公式得√x2+(1-x2=y2x2-2x 2x-2P+2…最小值 第3页
第3页 所以 P 点坐标为(0,1)． 法二 设 P(x，y)，两点 A(1，－1)、B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为 x＋ y－1＝0.① 又 3x－y＋1＝0，② 解由①②组成的方程组 3x－y＋1＝0， x＋y－1＝0， 得 x＝0， y＝1， 所以所求的点为 P(0,1)． 二、能力提升 8．两直线 3ax－y－2＝0 和(2a－1)x＋5ay－1＝0 分别过定点 A，B，则|AB|的值 为 ( ) A. 89 5 B. 17 5 C. 13 5 D. 11 5 答案 C 解析 直线 3ax－y－2＝0 过定点 A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0，过 定点 B －1， 2 5 ，由两点间的距离公式，得|AB|＝ 13 5 . 9．直线 x＋ky＝0,2x＋3y＋8＝0 和 x－y－1＝0 交于一点，则 k 的值是 ( ) A. 1 2 B．－ 1 2 C．2 D．－2 答案 B 解析 由方程组 2x＋3y＋8＝0 x－y－1＝0 得直线 2x＋3y＋8＝0 与 x－y－1＝0 的交点 坐标为(－1，－2)代入直线 x＋ky＝0 得 k＝－ 1 2 . 10．若动点 P 的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点 P 到原点的最小值是________． 答案 2 2 解析 由距离公式得 x 2＋(1－x) 2＝ 2x 2－2x＋1＝ 2 x－ 1 2 2＋ 1 2 ，∴最小值
为 11.(1)求过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点且与第一条直线垂直的直 线方程 2)求经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程 解(1)法一由 x+2y-7=0, x=-1 即交点为(-1,4) 第一条直线的斜率为一3,且两直线垂直, 所求直线的斜率为 由点斜式得y-4=3(x+1), 即x-3y+13=0 法二设所求的方程为3x+y-1+(x+2y-7)=0 即(3+4)x+(1+2)y-(1+74)=0, 由题意得3(3+4)+(1+2)=0 A=-2,代入所设方程得x-3y+13=0 (2)设直线方程为3x+2y+6+(2x+5y-7)=0, 即(3+2)x+(2+5)y+6-7=0. 7-6 令x=0,得y=2+5 令y=0,得x=7-6 7-67-6 6 2+53+2 得A=或λ 直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0 三、探究与创新 12.求函数y=√x2-8x+20+√x2+1的最小值 第4页
第4页 为 1 2 ＝ 2 2 . 11．(1)求过两直线 3x＋y－1＝0 与 x＋2y－7＝0 的交点且与第一条直线垂直的直 线方程． (2)求经过直线 3x＋2y＋6＝0 和 2x＋5y－7＝0 的交点，且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程． 解 (1)法一 由 3x＋y－1＝0， x＋2y－7＝0， 得 x＝－1， y＝4， 即交点为(－1,4)． ∵第一条直线的斜率为－3，且两直线垂直， ∴所求直线的斜率为1 3 . ∴由点斜式得 y－4＝ 1 3 (x＋1)， 即 x－3y＋13＝0. 法二 设所求的方程为 3x＋y－1＋λ(x＋2y－7)＝0， 即(3＋λ)x＋(1＋2λ)y－(1＋7λ)＝0， 由题意得 3(3＋λ)＋(1＋2λ)＝0， ∴λ＝－2，代入所设方程得 x－3y＋13＝0. (2)设直线方程为 3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0， 即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0. 令 x＝0，得 y＝ 7λ－6 2＋5λ ； 令 y＝0，得 x＝ 7λ－6 3＋2λ . 由 7λ－6 2＋5λ ＝ 7λ－6 3＋2λ ，得 λ＝ 1 3 或 λ＝ 6 7 . 直线方程为 x＋y＋1＝0 或 3x＋4y＝0. 三、探究与创新 12．求函数 y＝ x 2－8x＋20＋ x 2＋1的最小值．
B(0,1) 0rx,0 A'(4,-2) 解原式可化为 (x-4)2+(0-2)2+ (x-0)2+(0-1 考虑两点间的距离公式,如图所示,令4(42),B(O,1),P(x0),则上述问题 可转化为:在x轴上求一点P(x,0), 使得|P4+|PB最小 作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4,-2), 由图可直观得出 PA|+PB=PA′|+|B≥A′B 故P4+PB的最小值为A′B的长度 由两点间的距离公式可得 A′B=V(4-0)2+(-2-1)2=5 所以函数y=V2-8x+20+√2+1的最小值为5 13.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河所在 直线方程为l:x+2y-10=0,若在河边1上建一座供水站P使之到A,B两 镇的管道最省,问供水站P应建在什么地方?此时P|+PB为多少? 解如图所示,过A作直线l的对称点A′,连接A′B4y 交l于P,因为若P(异于P)在直线l上,则P′ BP'|=′P′|+BP′P′B 因此,供水站只能在点P处,才能取得最小值. 设A′(a,b),则AA′的中点在l上,且AA′⊥l, B a+1 2 10=0 第5页
第5页 解 原式可化为 y＝ (x－4) 2＋(0－2) 2＋ (x－0) 2＋(0－1) 2 . 考虑两点间的距离公式，如图所示，令 A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题 可转化为：在 x 轴上求一点 P(x,0)， 使得|PA|＋|PB|最小． 作点 A(4,2)关于 x 轴的对称点 A′(4，－2)， 由图可直观得出 |PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度． 由两点间的距离公式可得 |A′B|＝ (4－0) 2＋(－2－1) 2＝5， 所以函数 y＝ x 2－8x＋20＋ x 2＋1的最小值为 5. 13．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为 A(1,2)，B(4,0)，一条河所在 直线方程为 l：x＋2y－10＝0，若在河边 l 上建一座供水站 P 使之到 A，B 两 镇的管道最省，问供水站 P 应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？ 解 如图所示，过 A 作直线 l的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于 P，因为若 P′(异于 P)在直线 l 上，则|AP′| ＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|. 因此，供水站只能在点 P 处，才能取得最小值． 设 A′(a，b)，则 AA′的中点在 l 上，且 AA′⊥l， 即 a＋1 2 ＋2× b＋2 2 －10＝0， b－2 a－1 · － 1 2 ＝－1
解得{b=6,即4(6 所以直线A′B的方程为 6x+y-24=0 解方程组 +2y-10=0, 38 36 所以P点的坐标(, 故供水站应建在点 P(S 36A 此时P+PB=A'B=V(3-4)2+(6-02 第6页
第6页 解得 a＝3， b＝6， 即 A′(3,6)． 所以直线 A′B 的方程为 6x＋y－24＝0， 解方程组 6x＋y－24＝0， x＋2y－10＝0， 得 x＝ 38 11， y＝ 36 11. 所以 P 点的坐标为 38 11， 36 11 . 故供水站应建在点 P 38 11， 36 11 处， 此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝ (3－4) 2＋(6－0) 2 ＝ 37