第三章直线与方程 311直线的倾斜角和斜率 教学目标 知识与技能 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念 (2)理解直线的倾斜角的唯一性 (3)理解直线的斜率的存在性 ↓)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式 情感态度与价值观 (1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生 观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力 (2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想, 培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精 重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式 教学用具:计算机 教学方法:启发、引导、讨论. 教学过程: (一)直线的倾斜角的概念 我们知道,经过两点有且只有(确定)条直线.那么,经过一点P的直线1的位置能 确定吗?如图,过一点P可以作无数多条直线abc,…易见答案是否定的这些直线有什 么联系呢? X (1)它们都经过点P(2)它们的倾斜程度不同.怎样描述这种倾斜程度的不同? 引入直线的倾斜角的概念 当直线1与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线I向上方向之间所成的角 a叫做直线1的倾斜角特别地当直线1与x轴平行或重合时,规定a=0° 问:倾斜角a的取值范围是什么?09n<180
第三章直线与方程 3.1.1 直线的倾斜角和斜率 教学目标: 知识与技能 (1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 理解直线的倾斜角的唯一性. (3) 理解直线的斜率的存在性. (4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 情感态度与价值观 (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生 观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力． (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想， 培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精 神． 重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机 教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程： （一） 直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能 确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线 a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什 么联系呢? P c a b Y O X (1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l与 x轴相交时, 取 x轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角 ．．．.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 α= 0°. 问: 倾斜角 α 的取值范围是什么? 0°≤α＜180°
当直线1与x轴垂直时, 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后 我们就可以用倾斜角a来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度 如图,直线a∥b∥c,那么它们 的倾斜角a相等吗?答案是肯定的所以一个倾斜角a不能确定一条直线 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:,个点P和,个倾斜角a (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角o(a+90)的正切值叫做这条直线的斜率斜率常用小写字母k表示, 也就是 k= tand (1)当直线1与x轴平行或重合时,a=0°,k=tan0°=0; (2)当直线1与x轴垂直时,=90°,k不存在 由此可知,一条直线l的倾斜角a一定存在但是斜率k不一定存在 例如,=45°时,k=tan45°=1 =135时,k=tan135°=tan(180°-45°)=-tan459=-1. 学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度 (三)直线的斜率公式 给定两点P1(x12y1),P2(x2y2),x1x2,如何用两点的坐标来表示直线PlP的斜率? 可用计算机作动画演示:直线PIP2的四种情况,并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导(略) y3 y y42 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角a=90°,直线与x轴垂 宜 (2)k与Pl、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但 分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角 α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们 Y X a b c O 的倾斜角 α 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角 α 不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 ．． ．P．和一个倾斜角 ．．．．．．α．. (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角 α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示, 也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点： (1) 当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 α= 90°, 直线与 x 轴垂 直； (2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但 分子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4)当yl=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角a=0°,直线与x轴平行或重合 (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到 四)例题: 例1已知A(3,2,B(-4,1),C(0,-1求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角 是钝角还是锐角(用计算机作直线图略) 分析:已知两点坐标,而且x1x2,由斜率公式代入即可求得k的值;而当k=tana0时,倾斜角a是锐角;而当k=tan=0时,倾 斜角a是0° 略解:直线AB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角a是锐角 直线BC的斜率k=0.50,所以它的倾斜角a是锐角 例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,1,2,及3的直线a,b,c,L 分析要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据 直线a的斜率确定;或者k=tan=1是特殊值所以也可以以原点为角的顶点x轴的正 半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可 略解:设直线a上的另外一点M的坐标为(xy)根据斜率公式有1=(y-0)/(x-0所以 可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1)此时过原点和点M(1,1可作直 线 同理,可作直线b,c,L(用计算机作动画演示画直线过程) (五)练习:P911.2.3.4 (六)小结 (1)直线的倾斜角和斜率的概念(2)直线的斜率公式 (七)课后作业:P94习题3.11.3 (八)板书设计: §3.1 直线倾斜角的概念 3例1…… 练习1练习3 2.直线的斜率 4例2……练习2练习4 312两条直线的平行与垂直 教学目标 知识教学 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直 能力训练 通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结
(4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角 α=0°，直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． (四)例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角 是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得 k的值; 而当 k = tanα0时, 倾斜角 α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾 斜角 α 是 0°. 略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/7>0, 所以它的倾斜角 α 是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.50, 所以它的倾斜角 α 是锐角. 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 M. 而 M的坐标可以根据 直线 a 的斜率确定; 或者 k=tanα=1 是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正 半轴为角的一边, 在 x 轴的上方作 45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 设直线 a上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y－0)／(x－0)所以 x = y 可令 x = 1, 则 y = 1, 于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1), 可作直 线 a. 同理, 可作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) (五)练习: P91 1. 2. 3. 4. (六)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 直线的斜率公式. (七)课后作业: P94 习题 3.1 1. 3. (八)板书设计: 3.1.2 两条直线的平行与垂直 教学目标 (一)知识教学 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. (二)能力训练 通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结 §3.1.1…… 1．直线倾斜角的概念 3.例 1…… 练习 1 练习 3 2. 直线的斜率 4.例 2…… 练习 2 练习 4
合能力 (三)学科渗透 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式, 激发学生的学习兴趣 重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用 难点:启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关 系问题 注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解 决好这个问题 教学过程 )先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道可以用倾斜角和斜率来 表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否 通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直 讨论:两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜 角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另 条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直 (二)两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直 设直线L1和L2的斜率分别为M和k2我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线 的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研 究的问题是:两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行不重合)的情形如果L∥L2(图1-29),那么它们的倾斜角相等: a1=2,(借助计算机,让学生通过度量,感知a1,a2的关系) tangl=tana2.即k1=k2 反过来,如果两条直线的斜率相等:即k1=k2,那么tga1=tgu2 由于0°≤a1<180°,0°<a<180°,:al=a2.又两条直线不重合,∴L1∥L2 结论:两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它 们的斜率相等,那么它们平行,即1∥12台k1=k2 注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论 并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2;反之则不一定 下面我们研究两条直线垂直的情形. 如果L1⊥L2,这时a1≠2,否则两直线平行 设a2<u1(图130),甲图的特征是L与L2的交点在x轴上方;乙图的特征是L1与L2的 交点在x轴下方;丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有 因为L1、L的斜率分别是k1、k,即a1≠90°,所以a240°
合能力． (三)学科渗透 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式, 激发学生的学习兴趣． 重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用． 难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关 系问题． 注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解 决好这个问题． 教学过程 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来 表示直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否 通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直． 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜 角都为 90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90°，另 一条直线的倾斜角为 0°，两直线互相垂直． (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直 设直线 L1 和 L2 的斜率分别为 k1 和 k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线 的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研 究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果 L1∥L2(图 1-29)，那么它们的倾斜角相等： α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知 α1, α2 的关系) ∴tanα1=tanα2．即 k1=k2． 反过来，如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2，那么 tgα1=tgα2． 由于 0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2． 结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它 们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在 ．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论 并不成立．即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形． 如果 L1⊥L2，这时 α1≠α2，否则两直线平行． 设 α2＜α1(图 1-30)，甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方；乙图的特征是 L1 与 L2 的 交点在 x 轴下方；丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上，无论哪种情况下都有 α1=90°+α2． 因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2，即 α1≠90°，所以 α2≠0°．
即k1=-或kk2=-1.∴a 反过来,如果1=1,即3…k2=1.不失一般性,设:0,那么 1g01ga2=tg(90°+02) 可以推出:a1=90°+a2. LI⊥L2 结论:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它 2112台k1=-1kk2=1 们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 11 图1- 注意:结论成立的条件即如果k1k2=-1,那么一定有L1⊥L2;反之则不一定 (借助计算机,让学生通过度量,感知k1,k2的关系,并使L(或L2转动起来,但仍保持 L⊥L2,观察k1,k2的关系,得到猜想,再加以验证转动时,可使a1为锐角钝角等) 例题 例1已知A(2,3,B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的 结论 分析:借助计算机作图,通过观察猜想BA∥PQ,再通过计算加以验证(图略) 解:直线BA的斜率k1=(3-0)(2-(4)=0,直线PQ的斜率k2=(2-1)(-1-(-3)=0.5, 因为k1=k2=0.5,所以直线BA∥PQ 例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),4,2,D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状并给出证明.(借助计算机作图,通过观察猜想:四边形ABCD是平行四边形 再通过计算加以验证) 解同上 例3已知A(-6,0)B(3,6,P(0,3),Q(-2,6,试判断直线AB与PQ的位置关系 解:直线AB的斜率k1=(6-0(3-(-6)=2/3,直线PQ的斜率k2=(6-3)(-20)=32, 因为klk2=-1所以AB⊥PQ 例4已知A(5,-1),B(1,1),C(23),试判断三角形ABC的形状 分析:借助计算机作图,通过观察猜想:三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC 再通过计算加以验证(图略) 课堂练习P94练习1.2. 课后小结(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件,判定两条直线平行或垂 直(3)应用直线平行的条件,判定三点共线
， 可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2． 结论: 两条直线都有斜率 ．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它 们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 注意: 结论成立的条件. 即如果 k1·k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则不一定. (借助计算机, 让学生通过度量, 感知 k1, k2 的关系, 并使 L1(或 L2)转动起来, 但仍保持 L1⊥L2, 观察 k1, k2 的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使 α1 为锐角,钝角等). 例题 例 1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA与 PQ的位置关系, 并证明你的 结论. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BA∥PQ. 例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形 ABCD 是平行四边形, 再通过计算加以验证) 解同上. 例3 已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ. 例 4 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形, 其中 AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略) 课堂练习 P94 练习 1. 2. 课后小结(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂 直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线
布置作业P94习题3.15.8. 板书设计 s1.9两条直线的平行与垂直 两直线平行 两直能垂直 例3 321直线的点斜式方程 教学目标 1、知识与技能 (1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围 (2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程 (3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系 2、过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素—直线上的一点和直线的倾斜角的基 础上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。 3、情态与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养学生数形结合的思 想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题 二、教学重点、难点 (1)重点:直线的点斜式方程和斜截式方程 (2)难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。 教学设想 设计意图师生活动 1、在直线坐标系内确定一条直使学生在已有学生回顾,并回答。然后教师指 线,应知道哪些条件? 知识和经验的基出,直线的方程,就是直线上任意 础上,探索新知。 点的坐标(x,y)满足的关系 2、直线经过点P(xy),且培养学生自主学生根据斜率公式,可以得到, 探索的能力,并体 斜率为k。设点P(x,y)是直线会直线的方程,就当x≠x时,k=y-y,即 是直线上任意 上的任意一点,请建立xy与点的坐标(xy)y-y0=k(x-x)(1) k,x0,y0之间的关系 满足的关系式,从教师对基础薄弱的学生给予关 而掌握根据条件注、引导,使每个学生都能推导出 求直线方程的方这个方程
布置作业 P94 习题 3.1 5. 8. 板书设计 3.2.1 直线的点斜式方程 一、教学目标 1、知识与技能 （1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。 （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基 础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。 3、情态与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思 想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点： （1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。 （2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。 三、教学设想 问 题 设计意图 师生活动 1、在直线坐标系内确定一条直 线，应知道哪些条件？ 使学生在已有 知识和经验的基 础上，探索新知。 学生回顾，并回答。然后教师指 出，直线的方程，就是直线上任意 一点的坐标 (x, y) 满足的关系 式。 2、直线 l 经过点 ( , ) 0 0 0 P x y ，且 斜率为 k 。设点 P(x, y) 是直线 l 上的任意 一点 ，请建 立 x, y 与 0 0 k, x , y 之间的关系。 培养学生自主 探索的能力，并体 会直线的方程，就 是直线上任意一 点的坐标 (x, y) 满足的关系式，从 而掌握根据条件 求直线方程的方 法。 学生根据斜率公式，可以得到， 当 0 x x 时， 0 0 x x y y k − − = ，即 ( ) 0 0 y − y = k x − x （1） 教师对基础薄弱的学生给予关 注、引导，使每个学生都能推导出 这个方程
X 3、(1)过点P(x0,y0),斜率 使学生了解方学生验证,教师引导 程为直线方程必 是k的直线l上的点,其坐标都满须满两个条件。 足方程(1)吗? 设计意图 币生活动 (2)坐标满足方程(1)的点都在使学生了解方学生验证,教师引导。然后教师 经过P(x0,y),斜率为k的直线程为直线方程必指出方程(1)由直线上一定点及 须满两个条件。其斜率确定,所以叫做直线的点斜 1上吗? 式方程,简称点斜式( point slope form) 4、直线的点斜式方程能否表示坐使学生理解直线学生分组互相讨论,然后说明理 标平面上的所有直线呢? 的点斜式方程的由。 适用范围。 5、(1)x轴所在直线的方程是进一步使学生教师学生引导通过画图分析,求 什么?y轴所在直线的方程是什理解直线的点斜得问题的解决 式方程的适用范 围,掌握特殊直线 (2)经过点P(x0,y)且平行于方程的表示形式 x轴(即垂直于y轴)的直线方程 是什么 (3)经过点P(x0,y)且平行于 y轴(即垂直于x轴)的直线方程 是什么? 6、例1的教学 学会运用点斜式教师引导学生分析要用点斜式 方程解决问题,清求直线方程应已知那些条件?题目 楚用点斜式公式那些条件已经直接给予,那些条件 求直线方程必须还有待已去求。在坐标平面内,要 具备的两个条件:画一条直线可以怎样去画。 (1)一个定点; (2)有斜率。同
y x O P P0 3、（1）过点 ( , ) 0 0 0 P x y ，斜率 是 k 的直线 l 上的点，其坐标都满 足方程（1）吗？ 使学生了解方 程为直线方程必 须满两个条件。 学生验证，教师引导。 问 题 设计意图 师生活动 （2）坐标满足方程（1）的点都在 经过 ( , ) 0 0 0 P x y ，斜率为 k 的直线 l 上吗？ 使学生了解方 程为直线方程必 须满两个条件。 学生验证，教师引导。然后教师 指出方程（1）由直线上一定点及 其斜率确定，所以叫做直线的点斜 式方程，简称点斜式（point slope form）. 4、直线的点斜式方程能否表示坐 标平面上的所有直线呢？ 使学生理解直线 的点斜式方程的 适用范围。 学生分组互相讨论，然后说明理 由。 5、（1） x 轴所在直线的方程是 什么？ y 轴所在直线的方程是什 么？ （2）经过点 ( , ) 0 0 0 P x y 且平行于 x 轴（即垂直于 y 轴）的直线方程 是什么？ （3）经过点 ( , ) 0 0 0 P x y 且平行于 y 轴（即垂直于 x 轴）的直线方程 是什么？ 进一步使学生 理解直线的点斜 式方程的适用范 围，掌握特殊直线 方程的表示形式。 教师学生引导通过画图分析，求 得问题的解决。 6、例 1 的教学。 学会运用点斜式 方程解决问题，清 楚用点斜式公式 求直线方程必须 具备的两个条件： （1）一个定点； （2）有斜率。同 教师引导学生分析要用点斜式 求直线方程应已知那些条件？题目 那些条件已经直接给予，那些条件 还有待已去求。在坐标平面内，要 画一条直线可以怎样去画。 y x O P0 y x O P0
时掌握已知直线 方程画直线的方 7、已知直线l的斜率为k,且与引入斜截式方学生独立求出直线l的方程 y轴的交点为(b),求直线的程,让学生懂得斜 截式方程源于点y=kx+b(2) 方程。 斜式方程,是点斜再此基础上,教师给出截距的概 式方程的一种特念,引导学生分析方程(2)由哪两 殊情形 个条件确定,让学生理解斜截式方 程概念的内涵。 8、观察方程y=kx+b,它的 深入理解和学生讨论,教师及时给予评价 掌握斜截式方程 形式具有什么特点? 的特点? 问题 设计意图 师生活动 9、直线y=kx+b在x轴上的 使学生理解学生思考回答,教 “截距”与“距离”两 我距是什么? 个概念的区别。 10、你如何从直线方程的角度认体会直线的斜学生思考、讨论,教师评价、归纳 识一次函数y=hx+b?一次函|截式方程与一次概括 函数的关系 数中k和b的几何意义是什么?你 能说出 次函数 y=2x-1,y=3x,y=-x+3 图象的特点吗? 11、例2的教学 掌握从直线方教师引导学生分析:用斜率判断 程的角度判断两两条直线平行、垂直结论。思考(1) 条直线相互平行,1,H12时,k,k:,b2有何关 或相互垂直:进 步理解斜截式方 系?(2)l1⊥l2时,k,k2;b,b2 程中k,b的几何 有何关系?在此由学生得出结论 l1∥l2分k1=k2,且b≠b l1⊥l2分kk2=-1 12、课堂练习第100页练习第1,巩固本节课所学|学生独立完成,教师检查反馈 2,3,4题。 过的知识 13、小结 使学生对本节课|教师引导学生概括:(1)本节课我 所学的知识有一们学过那些知识点:(2)直线方程 个整体性的认识,的点斜式、斜截式的形式特点和适 了解知识的来龙用范围是什么?(3)求一条直线 去脉 的方程,要知道多少个条件? 14、布置作业:第106页第1题巩固深化学生课后独立完成
时掌握已知直线 方程画直线的方 法。 7、已知直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 (0,b) ，求直线 l 的 方程。 引入斜截式方 程，让学生懂得斜 截式方程源于点 斜式方程，是点斜 式方程的一种特 殊情形。 学生独立求出直线 l 的方程： y = kx + b （2） 再此基础上，教师给出截距的概 念，引导学生分析方程（2）由哪两 个条件确定，让学生理解斜截式方 程概念的内涵。 8、观察方程 y = kx + b ，它的 形式具有什么特点？ 深入理解和 掌握斜截式方程 的特点？ 学生讨论，教师及时给予评价。 问 题 设计意图 师生活动 9、直线 y = kx + b 在 x 轴上的 截距是什么？ 使学生理解 “截距”与“距离”两 个概念的区别。 学生思考回答，教师评价。 10、你如何从直线方程的角度认 识一次函数 y = kx + b ？一次函 数中 k 和 b 的几何意义是什么？你 能说出一次函数 y = 2x −1, y = 3x, y = −x + 3 图象的特点吗？ 体会直线的斜 截式方程与一次 函数的关系. 学生思考、讨论，教师评价、归纳 概括。 11、例 2 的教学。 掌握从直线方 程的角度判断两 条直线相互平行， 或相互垂直；进一 步理解斜截式方 程中 k,b 的几何 意义。 教师引导学生分析：用斜率判断 两条直线平行、垂直结论。思考（1） 1 2 l //l 时， 1 2 1 2 k ,k ;b ,b 有何关 系？（2） 1 2 l ⊥ l 时， 1 2 1 2 k ,k ;b ,b 有何关系？在此由学生得出结论： // , 1 2 1 2 l l k = k 且 b1 b2 ； l 1 ⊥ l 2 k1 k2 = −1 12、课堂练习第 100 页练习第 1， 2，3，4 题。 巩固本节课所学 过的知识。 学生独立完成，教师检查反馈。 13、小结 使学生对本节课 所学的知识有一 个整体性的认识， 了解知识的来龙 去脉。 教师引导学生概括：（1）本节课我 们学过那些知识点；（2）直线方程 的点斜式、斜截式的形式特点和适 用范围是什么？（3）求一条直线 的方程，要知道多少个条件？ 14、布置作业：第 106 页第 1 题 巩固深化 学生课后独立完成
的(1)、(2)、(3)和第3、 322直线的两点式方程 、教学目标 1、知识与技能 (1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围 (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2、过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应 用获得新知识的特点。 3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化 (2)培养学生用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点: 1、重点:直线方程两点式 2、难点:两点式推导过程的理解 教学设想 设计意图 师生活动 1、利用点斜式解答如下问遵循由浅及教师引导学生:根据已有的知识,要求 深,由特殊直线方程,应知道什么条件?能不能把问 (1)已知直线l经过两点到一般的认题转化为已经解决的问题呢?在此基础 P(12)2(35)求直线的方知规律。使上,学生根据已知两点的坐标,先判断是 学生在已有否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而 的知识基础可求出直线方程: 上获得新 P(x1x2,P2(x2,y2)其中论,达到温(1)y-2=3(x-1) 故知新的目 (x1≠x2,y1≠y2),求通过这 y2-y y-yI (x-x 两点的直线方程 教师指出:当y1≠y2时,方程可以写成 (x1≠x2y≠y2) y2-y1x2-x1 由于这个直线方程由两点确定,所以我们 把它叫直线的两点式方程,简称两点式 2若点P(x,x)P(x,y)做学生得救师明导学生通这画图、观察和分析 中有x,=x,或y=2,此用泡固和当/发现当x=x2时,直线与x轴垂直,所 已知的两点
的（1）、（2）、（3）和第 3、5 题 3.2.2 直线的两点式方程 一、教学目标 1、知识与技能 （1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围； （2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2、过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应 用获得新知识的特点。 3、情态与价值观 （1）认识事物之间的普遍联系与相互转化； （2）培养学生用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点： 1、 重点：直线方程两点式。 2、难点：两点式推导过程的理解。 三、教学设想 问 题 设计意图 师生活动 1、利用点斜式解答如下问 题： （ 1 ） 已 知 直 线 l 经过两点 (1,2), (3,5) P1 P2 ,求直线 l 的方 程. （ 2 ） 已 知 两 点 ( , ), ( , ) 1 1 2 2 2 2 P x x P x y 其 中 ( , ) 1 2 1 2 x x y y ，求通过这 两点的直线方程。 遵循由浅及 深，由特殊 到一般的认 知规律。使 学生在已有 的知识基础 上获得新结 论，达到温 故知新的目 的。 教师引导学生：根据已有的知识，要求 直线方程，应知道什么条件？能不能把问 题转化为已经解决的问题呢？在此基础 上，学生根据已知两点的坐标，先判断是 否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而 可求出直线方程： （1） ( 1) 2 3 y − 2 = x − （2） ( )1 2 1 2 1 1 x x x x y y y y − − − − = 教师指出：当 1 2 y y 时，方程可以写成 ( , ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 x x y y x x x x y y y y − − = − − 由于这个直线方程由两点确定，所以我们 把它叫直线的两点式方程，简称两点式 （two-point form）. 2、若点 ( , ), ( , ) 1 1 2 2 2 2 P x x P x y 中有 1 2 x = x ，或 1 2 y = y ，此 使学生懂得 两点式的适 用范围和当 已知的两点 教师引导学生通过画图、观察和分析， 发现当 1 2 x = x 时，直线与 x 轴垂直，所
时这两点的直线方程是什么?|不满足两点 式的条件时 直线方程为:x=x1;当y1=y2时, 它的方程形 直线与y轴垂直,直线方程为:y=y1 设计意图 师生活动 3、例3教学 使学生学会教师引导学生分析题目中所给的条件有什 已知直线l与x轴的交点为用两点式求么特点?可以用多少方法来求直线l的方 A(a0),与y轴的交点为/直线方程:|程?那种方法更为简捷?然后由求出直线 理解截距式方程 B(Ob),其中a≠0b≠0,源于两点 式,是两点 求直线l的方程。 式的特殊情 教师指出:a.b的几何意义和截距式方 程的概念。 4、例4教学 让学生学教师给出中点坐标公式,学生根据自己 已知三角形的三个顶点A会根据题目的理解,选择恰当方法求出边BC所在的 (,0),B(3,-3),C(0,中所给的条直线方程和该边上中线所在直线方程。在 2),求BC边所在直线的方程,件,选择恰此基础上,学生交流各自的作法,并进行 以及该边上中线所在直线的方当的直线方比较 程解决问 5、课堂练习 学生独立完成,教师检査、反馈。 第102页第1、2、3 6、小结 增强学生对教师提出:(1)到目前为止,我们所学过 直线方种四的直线方程的表达形式有多少种?它们之 种形式(点间有什么关系? 斜式、斜截|(2)要求一条直线的方程,必须知道多少 式、两点式、个条件? 截距式)互 相之间的联 系的理解 7、布置作业 巩固深化,学生课后完成 培养学生的 独立解决问 题的能力。 323直线的一般式方程 教学目标 1、知识与技能 (1)明确直线方程一般式的形式特征 (2)会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距 (3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式
时这两点的直线方程是什么？ 不满足两点 式的条件时 它的方程形 式。 以直线方程为： 1 x = x ；当 1 2 y = y 时， 直线与 y 轴垂直，直线方程为： 1 y = y 。 问 题 设计意图 师生活动 3、例 3 教学 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ， 与 y 轴 的 交 点 为 B (0,b) ，其中 a 0,b 0 ， 求直线 l 的方程。 使学生学会 用两点式求 直线方程； 理解截距式 源于两点 式，是两点 式的特殊情 形。 教师引导学生分析题目中所给的条件有什 么特点？可以用多少方法来求直线 l 的方 程？那种方法更为简捷？然后由求出直线 方程： + =1 b y a x 教师指出： a,b 的几何意义和截距式方 程的概念。 4、例 4 教学 已知三角形的三个顶点 A （-5，0），B（3，-3），C（0， 2），求 BC 边所在直线的方程， 以及该边上中线所在直线的方 程。 让学生学 会根据题目 中所给的条 件，选择恰 当的直线方 程解决问 题。 教师给出中点坐标公式，学生根据自己 的理解，选择恰当方法求出边 BC 所在的 直线方程和该边上中线所在直线方程。在 此基础上，学生交流各自的作法，并进行 比较。 5、课堂练习 第 102 页第 1、2、3 题。 学生独立完成，教师检查、反馈。 6、小结 增强学生对 直线方种四 种形式（点 斜式、斜截 式、两点式、 截距式）互 相之间的联 系的理解。 教师提出：（1）到目前为止，我们所学过 的直线方程的表达形式有多少种？它们之 间有什么关系？ （2）要求一条直线的方程，必须知道多少 个条件？ 7、布置作业 巩固深化， 培养学生的 独立解决问 题的能力。 学生课后完成 3.2.3 直线的一般式方程 一、教学目标 1、知识与技能 （1）明确直线方程一般式的形式特征； （2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； （3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式