3.1.1直线的倾斜角与斜率教案 教学目标 (1)知识与技能:正确理解直线倾斜角和斜率的概念。理解直线倾 斜角的唯一性。理解直线斜率的存在性。斜率公式的推导过程,掌握 过两点的直线的斜率公式 (2)过程与方法:经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握 过已知两点的直线的斜率计算公式,渗透几何问题代数化的解析几何 研究思想和数形结合思想。 (3)情感态度与价值观:通过教学,使学生从生活中的坡度,自然 迁移到数学中直线的斜率,感受数学概念来源于实际生活,数学概念 的形成是自然的,从而渗透辩证唯物主义思想。 二、教学重点与难点 重点:直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。 难点:用代数方法推导斜率的过程 三、教学方法 计算杋辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下,让学 生在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验 公式的推导过程,主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 (一)创设情境,揭示课题 问题1、(出示幻灯片)给出的两点相同吗? 从形的角度看,它们有位置之分,但无大小与形状之分。 1/7
1 / 7 3.1.1 直线的倾斜角与斜率教案 一、教学目标 （1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。理解直线倾 斜角的唯一性。理解直线斜率的存在性。斜率公式的推导过程，掌握 过两点的直线的斜率公式。 （2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握 过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何 研究思想和数形结合思想。 （3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然 迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念 的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。 二、教学重点与难点 重点：直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。 难点：用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学 生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验 公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 （一）创设情境，揭示课题 问题 1、（出示幻灯片）给出的两点相同吗？ 从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分
从数的角度看,如何区分两个点?(用坐标区分) 问题2、过这两点可作什么图形?唯一吗?只经过其中一点可作多少 条直线?若只想定出其中的一条直线,除了再用一点外,还有其他方 法吗?可以增加一个什么样的几何量? 由此引导学生归纳,确定直线位置可有两种方式 (1)已知直线上两点 (2)已知直线上一点和直线的方向(倾斜角、倾斜程度) 问题3、角的形成还需一条线,也就是说要有刻画倾斜程度的角,就 必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下,以哪条轴 线为基准形成刻画倾斜程度的角?(学生可能回答ⅹ轴或y轴) 以x轴或y轴为基准都可以,习惯上我们用ⅹ轴。 选择哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何一条直 线都有唯一的角与它对应呢? (教师引导学生选取不同的方向来描述角)。 数学概念来刻画事物时,讲求统一美与简洁美,如何用数学语言 准确描述这个角呢?(揭示课题) 、倾斜角的定义:在直角坐标系下,以x轴为基准,当直线l与x 轴相交时,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角a,叫做直线l的 倾斜角。 教师引导学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线 学生易忽略为x轴邗行的直线4补出图(4),问斜角在哪儿?
2 / 7 y l p o x y p o x l p o y x l p o y x l (1) (2) (3) (4) 从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分） 问题 2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点可作多少 条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方 法吗？可以增加一个什么样的几何量？ 由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式 （1）已知直线上两点 （2）已知直线上一点和直线的方向（倾斜角、倾斜程度） 问题 3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就 必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴 线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答 x 轴或 y 轴） 以 x 轴或 y 轴为基准都可以，习惯上我们用 x 轴。 选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直 线都有唯一的角与它对应呢？ （教师引导学生选取不同的方向来描述角）。 数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言 准确描述这个角呢？（揭示课题） 1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以 x 轴为基准，当直线 l 与 x 轴相交时， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 ，叫做直线 l 的 倾斜角。 教师引导学生练习画出过点 P 的各种倾斜角的直线。 学生容易忽略与 x 轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？ 如何规定？
规定:当直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°。自然有倾斜 角的范围是[0°,180°) 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角a 与它对应。倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直 线,其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 条直线的倾斜程度 (二)巩固旧知,引入新知 生活中,我们都有过爬坡、爬梯的体验,对于斜坡的倾斜程度, 可以用什么量来反映?(坡角与坡度) 初中对坡度是如何定义的? 升高量 坡度(比)= (即坡角a的正切值) 前进量 当坡角α增大时,坡度如何变化? 当坡角α=90°与0°时,升高量、前进量分别是什么?坡度又分别 是什么? 坡角、坡度都能反映倾斜程度,迁移到数学中,坡角相当于直线 的倾斜角,而坡度则对应于直线的斜率 2、斜率:倾斜角不是90·的直线,其倾斜角的正切值叫做这条 直线的斜率。即k=tana(≠90°) 问题4、当a为钝角时,直线的斜率如何求?(转化到其补角6上) 3/7
3 / 7 规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为 0 。自然有倾斜 角的范围是[0 ，180 ） 这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角 与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直 线，其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 一条直线的倾斜程度。 （二）巩固旧知，引入新知 生活中，我们都有过爬坡、爬梯的体验，对于斜坡的倾斜程度， 可以用什么量来反映？（坡角与坡度） 初中对坡度是如何定义的？ 当坡角 增大时，坡度如何变化？ 当坡角 =90 与 0 时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别 是什么？ 坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线 的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。 2、斜率：倾斜角不是 90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条 直线的斜率。即 k tan ( 90 ) = 问题 4、当 为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角 上） 坡度（比）= 升高量 前进量 （即坡角 的正切值）
a=180°-0(0是锐角) tan a= tan(180-0)=-tan 0 如:倾斜角α=120°,则斜率k 问题5、当在[0°,180°)内变化时,斜率k如何变化? ↑y 0°≤<a≤90°a=90°90°≤a≤180°a=0 k≥ k不存在 k=0 问题6、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,哪个量更优越呢? 倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度,而斜率是比值,实质是数值, 它能从数的角度反映倾斜的程度,显然用斜率更细致入微些。 (三)尝试推导,深化认识 两点确定一条直线,可见由两点也就确定了直线的倾斜程度,即 倾斜角与斜率。看来,直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。 问题7、在平面直角坐标系中,已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2, y2)且x1≠x2,能否用P1、P2的坐标来表示直线斜率k? 4/7
4 / 7 问题 5、当 在[0 ，180 ）内变化时，斜率 k 如何变化？ p o y x l y p o x l p o y x l p o y x l 0°＜ ＜ 90° = 90° 90°＜ ＜180° = 0° k >0 k不存在 k<0 k=0 问题 6、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？ 倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值， 它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。 （三）尝试推导，深化认识 两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即 倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。 问题 7、在平面直角坐标系中，已知直线上两点 P1（x1，y1），P2（x2， y2）且 x1 x2，能否用 P1 、P2的坐标来表示直线斜率 k？ x y o = = − = − = − k tan tan(180 ) tan 180 ( ) 是锐角 如：倾斜角 =120 ，则斜率 k = − 3
(学生活动):随意在坐标系下画两点P1、P2及直线P1P2,探究各种 图形并尝试推导,可以先特殊再一般,也可先一般再特殊地去分析 教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中,类似升高量,前进 量,用点的坐标表示线段长,并请同学叙述各个图的推导过程与结果。 ) P,( Q(x2,y1) O P1(x1,y1) Q G P2(x2,y2) X 解:设直线P1P2倾斜角为a(a≠90)当直线P1P2方向向上时,过 点P作x轴的平行线,过点P2作y轴的平行线,两线交于点Q,则点 Q为(x2,y1) (1)当a为锐角时,a=∠QPP2,x1<x2,y1<y2 在 RAPPO中,ana=tan∠QPP2 R1--0 V2-y (2)当a为钝角时,a=180°-0(设∠QPP2=0),x1<x2,y1<y2 tan a-tan(180-0)=-tan 6 在 RIAPPO中,tnO= P 5/7
5 / 7 （学生活动）：随意在坐标系下画两点 P1 、P2及直线 P1 P2，探究各种 图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。 教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进 量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。 P2（x2，y2） x x y O P1（x1，y1） α Q （x2，y1） P2（x2，y2） P1（x1，y1） α y O Q （x2，y1） x y O α Q （x1，y2） P2（x2，y2） P1（x1，y1） α P2（x2，y2） x y O Q （x1，y2） P1（x1，y1） 解：设直线 P1 P2倾斜角为 （ 90 ）当直线 P1 P2方向向上时，过 点 P1作 x 轴的平行线，过点 P2作 y 轴的平行线，两线交于点 Q，则点 Q 为（x2，y1） （1）当 为锐角时， = QP1P2， 1 2 x x ，y1 y2 在 RtP1P2Q 中， 2 1 2 1 1 2 1 2 tan tan x x y y PQ QP QP P − − = = = ＞0 （2）当 为钝角时， = − 180 （设 QP1P2 = ）， 1 2 x x ，y1 y2 tan = tan(180 −) = − tan 在 RtP1P2Q 中， 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 tan x x y y x x y y QP QP − − = − − − = =
tana=y2-y<0(可让学生分组推导) 同理,当直线PP1方向向上时,无论α为锐角或钝角,也有 tan &=y2 即k=-M 思考:1、各种一般情形得出的结论一致吗?与P、P2这两点坐标顺 序有关系吗? 2、当直线垂直于x轴或y轴时,上述结论适用吗? 3、斜率公式使用时应注意什么问题? (四)例题讲解、强化认知 例1.已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率。 (2)a=30 (3)a=120°(4)a=1350(5)a=150° 例2.已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾 斜角是钝角还是锐角 例3.在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线 (五)巩固练习、内化知识 1.如图,若图中直线l、l2、l3的倾斜角和斜率分别是a1,a2,a3和k1、k2k3,则( (A)a1<a2<a3,k3<k1<k2(B)a1<a2<a3,k2<k1<k3 (C)a1<a3<a2,k3<k2<k1 (D)a,<a,<a2, k,<k,<k2 2.若A(3,-2),B(-9,4),C(x,0)三点共线,则x的值为() 3若直线的斜率为k=-√5,则倾斜角a= 第1题 4.直线过点(2,2)和点(-1,-1),直线倾斜角a= 5已知直线斜率的绝对值等于√3,则直线的倾斜角为 6.已知A(x,-2),B(3,0),且kB2’求x的值 7.求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角 6/7
6 / 7 2 1 2 1 tan x x y y − − = ＜0（可让学生分组推导） 同理，当直线 P2P1 方向向上时，无论 为锐角或钝角，也有 2 1 2 1 tan x x y y − − = ，即 2 1 2 1 x x y y k − − = 思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与 P1、P2 这两点坐标顺 序有关系吗？ 2、当直线垂直于 x 轴或 y 轴时，上述结论适用吗？ 3、斜率公式使用时应注意什么问题？ （四）例题讲解、强化认知 例 1. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率。 （1） α=45° （2） 0 = 30 （3） 0 = 120 （4） 0 = 135 （5） 0 = 150 例 2. 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾 斜角是钝角还是锐角. 例 3. 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为 1，-1，2 及-3 的直线. （五）巩固练习、内化知识 1. 如图，若图中直线 1 2 3 l l l 、 、 的倾斜角和斜率分别是 1 2 3 , , 和 1 2 3 k k k 、 、 ，则（ ） (A) 1 2 3 3 1 2 ,k k k （B) , 1 2 3 213 k k k (C) , 1 3 2 3 2 1 k k k (D) , 1 3 2 1 3 2 k k k 2.若 A（3，-2），B（-9，4），C（x，0）三点共线，则 x 的值为（ ） A ．1 B．-1 C．0 D．7 3.若直线的斜率为 3 3 k = − ，则倾斜角 = 4.直线过点（2,2）和点 (−1,−1) ，直线倾斜角 = 5.已知直线斜率的绝对值等于 3 ，则直线的倾斜角为 6.已知 A(x，-2)，B(3，0)， 且 1 2 AB k = ，求 x 的值。 7. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角
(1)C(188),D(4,-4) (2)P(0,0),Q(-1,√3) (3)A(1,2),B(0,2) (六)反思小结,概括提炼(同学们这节课有何收获?) 1、明确了确定直线位置的几何要素。 、理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率),知道了求斜率的 两种方法(定义法、坐标法)k=tana=y2-y X2-X1 3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论 的数学思想 (七)作业布置 (1)必做题:课本89页习题3.1A组1、2、3、4 (2)选做题:课本90页习题3.1B组5、6 7/7
7 / 7 （1） C(18,8), D(4,−4) (2) P(0,0),Q(−1, 3) (3) A(1,2), B(0,2) （六）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？） 1、明确了确定直线位置的几何要素。 2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的 两种方法（定义法、坐标法） 3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论 的数学思想 （七）作业布置 （1）必做题：课本 89 页习题 3.1A 组 1、2、3、4 （2）选做题：课本 90 页习题 3.1B 组 5、6 x x y y 2 1 2 1 k tan − − = =