311直线的倾斜角与斜率 【学习目标】 1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率;熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式 3.能用公式和概念解决问题 【重点】直线的倾斜角和斜率的应用,两条直线平行和垂直的条件 【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用,启发学生,把研究两条直线的平行或垂 直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题 自主学习 新知1:当直线与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线向上方向之间所成的 角∝叫做 注意当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为」 试试:请描出下列各直线的倾斜角 反思:直线倾斜角的范围? 新知2:一条直线的倾斜角 的 叫做这条直线的斜率记为 试试:已知各直线倾斜角,则其斜率的值为 (1)当=0时,则 (2)当0<a<90°时,则 (3)当a=90°时,则k :(4)当90<a<180°时,则k 新知3:已知直线上两点(x,3P(x2,y2)(x≠x)的直线的斜率公式:k=
1 3.1.1 直线的倾斜角与斜率 【学习目标】 1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．能用公式和概念解决问题. 【重点】直线的倾斜角和斜率的应用，两条直线平行和垂直的条件。 【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用，启发学生, 把研究两条直线的平行或垂 直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题． 一、自主学习 新知 1：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角 叫做 . 关键：① ；② ；③ . 注意:当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 . 试试：请描出下列各直线的倾斜角. 反思：直线倾斜角的范围？ 新知 2：一条直线的倾斜角 ( ) 2 的 叫做这条直线的斜率.记为 k= . 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 ⑴当 0 o = 时，则 k ；⑵当 0 90 o o 时，则 k ； ⑶当 90o = 时，则 k ；⑷当 0 90 180o 时，则 k . 新知 3：已知直线上两点 1 1 1 2 2 2 P x y P x y ( , ), ( , ) 1 2 ( ) x x 的直线的斜率公式：k=
练习: 1.已知直线的倾斜角a(a≠90°),则直线的斜率为_;已知直线上两 点A(x1,y),B(x2,y2)且x≠x2,则直线的斜率为 2.若直线l过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线l的斜率为 ,倾斜角为 3.斜率为2的直线经过(3,5)、(a,7)、(-1,b)三点,则a、b的值分别 4.已知l,l2的斜率都不存在且1,l2不重合,则两直线的位置关 5.已知一直线经过两点A(m,2),B(-m,2m-1),且直线的倾斜角为60°,则 问题1:特殊情况下的两直线平行与垂直 当两条直线中有一条直线没有斜率时 (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角为 两直线位置关系 (2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为 另一条直线的倾斜角 为 两直线的位置关系是 问题2:斜率存在时两直线的平行与垂直.设直线4和2的斜率为和N么的关系,反 两条直线平行的情形.如果l1∥l2,那么它们的倾斜角与斜率是怎 过来成立吗? 新知1:两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率 反之,如 果它们的斜率相等,则它们 即l1∥l2分 注意,上面的等价是在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不存立 两条直线垂直的情形如果L⊥l,那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系,反过来成立 新知2:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率 反之,如果它 们的斜率 ,则它们互相垂直 即l1⊥l2分
2 甲 l2 l1 2 1 O x y 乙 l2 l1 2 1O x y 丙 l2 l1 2 1 O x y 练习： 1．已知直线的倾斜角 ( 90 ) ，则直线的斜率为 ；已知直线上两 点 1 1 2 2 A x y B x y ( , ), ( , ) 且 1 2 x x ，则直线的斜率为 . 2. 若直线 l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线 l 的斜率为 ,倾斜角为 . 3 ．斜率为 2 的 直 线 经 过 (3 ， 5) 、 (a,7) 、 ( － 1,b) 三点，则 a 、 b 的值分别 为 . 4 ．已知 1 2 l l, 的 斜 率 都 不 存 在 且 1 2 l l, 不 重 合 ， 则 两 直 线 的 位 置 关 系 . 5 ． 已 知 一 直 线 经 过 两 点 A m B m m ( ,2), ( ,2 1) − − ， 且 直 线 的 倾 斜 角 为 60 ， 则 m = . 问题 1：特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ，两直线位置关系 是 . (2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角 为 ，两直线的位置关系是 . 新疆 学案 王新敞 问题 2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线 1 l 和 2 l 的斜率为 1 k 和 2 k . 两条直线平行的情形．如果 1 2 l // l ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反 过来成立吗？ 新知 1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率 ；反之，如 果它们的斜率相等，则它们 ，即 1 2 l l // 新疆 学案 王新敞 注意，上面的等价是在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立． 两条直线垂直的情形.如果 1 2 l l ⊥ ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立 吗？ 新知 2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率 ；反之，如果它 们的斜率 ，则它们互相垂直. 即 1 2 l l ⊥ 新疆 学案 王新敞 l2 l1 1 2 O x y
二、典型例题 例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的 倾斜角是钝角还是锐角 动手试试 练.求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角 (1)42.3.B(-14) (2)45.0.B(4.-2) 例2、已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1)Q-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你 的结论 例3.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断 四边形ABCD的形状,并给出证明 例4.已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系 例5.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),试判断三角形ABC的形状
3 二、典型例题 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的 倾斜角是钝角还是锐角. 动手试试 练. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴ A B (2,3), ( 1,4) − ； ⑵ A B (5,0), (4, 2) − . 例 2、已知 A B P Q (2,3), ( 4,0), ( 3,1), ( 1,2) − − − ，试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明你 的结论. 例 3．已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断 四边形 ABCD 的形状,并给出证明. 例 4．已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 例 5.已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状
、总结提升 (一)学习小结 1任何一条直线都有唯一确定的倾斜角,直线斜角的范围是 2.直线斜率的求法:(1) (3)当直线的倾斜角a=90°时,直线的斜率 直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系 直线的倾斜角a直线的斜率k直线的斜率公式 定义 取值范围 4.l1∥l2k1=k2或l1,l的斜率都不存在且不重合 5.l1⊥2分kk=-1或k1=0且2的斜率不存在,或k2=0且l1的斜率不存在 (二)课堂检测 下列叙述中不正确的是() A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0或90° D.若直线的倾斜角为,则直线的斜率为tana 2.经过4(-2.0.B(-53)两点的直线的倾斜角( A.45° B.135°C.90°D.60° 3.过点P(-2,m)和Qm,4)的直线的斜率等于1,则m的值为() A.1 B.4 C.1或3D.1或4 4.下列说法正确的是() A.若l⊥l2,则k2=-1 B.若直线l∥l2,则两直线的斜率相等 C.若直线l、l2的斜率均不存在,则l⊥l2 D.若两直线的斜率不相等,则两直线不平行 5.经过(m,3)与(2,m)的直线与斜率为-4的直线互助垂直,则m值为() ∠日S
4 三、总结提升 （一）学习小结 1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是 . 2.直线斜率的求法：⑴ ；⑵ ； ⑶ 当直线的倾斜角 90 = 时，直线的斜率 新疆 学案 王新敞 3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系： 直线的倾斜角 直线的斜率 k 直线的斜率公式 定 义 取值范围 4． 1 2 1 2 l l k k // = 或 1 2 l l, 的斜率都不存在且不重合. 5． 1 2 1 2 l l k k ⊥ = −1 或 1 k = 0 且 2 l 的斜率不存在，或 2 k = 0 且 1 l 的斜率不存在. (二) 课堂检测 1. 下列叙述中不正确的是（ ）. A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0 o 或 90 D．若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 tan 2. 经过 A B ( 2,0), ( 5,3) − − 两点的直线的倾斜角（ ）. A． 45 B．135 C．90 D．60 3. 过点 P(－2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( ). A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 4. 下列说法正确的是（ ）. A．若 1 2 l l ⊥ ，则 1 2 k k = −1 B．若直线 1 2 l l // ，则两直线的斜率相等 C．若直线 1 l 、 2 l 的斜率均不存在，则 1 2 l l ⊥ D．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 5. 经过 ( ,3) m 与 (2, ) m 的直线 l 与斜率为 −4 的直线互助垂直，则 m 值为（ ）. A． 7 5 − B． 7 5 C． 14 5 − D． 14 5