直线的倾斜角和斜率 3倾斜角和斜率 直线的倾斜角的概念:当直线1与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线1向上方向之 间所成的角α叫做直线1的倾斜角.特别地,当直线1与x轴平行或重合时,规定a=0° 2、倾斜角α的取值范围:0°≤α<180°.当直线1与x轴垂直时,a=90 3、直线的斜率: 条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就 是k=tana (1)当直线1与x轴平行或重合时,a=0°,k=tan0°=0 (2)当直线1与x轴垂直时,a=90°,k不存在 由此可知,一条直线1的倾斜角a一定存在,但是斜率k不一定存在 4、直线的斜率公式 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线PP2的斜率 斜率公式:k=y2y1/x2-x1 312两条直线的平行与垂直 、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率 相等,那么它们平行,即1W12分k1=k2 注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成 立.即如果k1=k,那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率 互为负倒数,那么它们互相垂直,即 1分k1=k2分k=1 基础卷 选择题 1.下列命题中,正确的命题是 (A)直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tana (B)直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a (C)任何一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都存在斜率 (D)直线的斜率为0,则此直线的倾斜角为0或 2.直线h1的倾斜角为30°,直线b2⊥l,则直线h的斜率为 (A)√3(B)-√3 (C)V3 (D) 3 3.直线y= coso+1(α∈R舶的倾斜角的取值范围是 (4)0.](B).x)(C)[-, (D) 4.若直线l经过原点和点(-3,一3),则直线l的倾斜角为 (A)(B)S兀(C)正或5z(D)-4 5.已知直线l的倾斜角为a,若cos=--,则直线l的斜率为
1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之 间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就 是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率 相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成 立．即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率 互为负倒数，那么它们互相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A）直线的倾斜角为 α，则此直线的斜率为 tanα （B）直线的斜率为 tanα，则此直线的倾斜角为 α （C）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D）直线的斜率为 0，则此直线的倾斜角为 0 或 π 2．直线 l1 的倾斜角为 30°，直线 l2⊥l1，则直线 l2 的斜率为 （A） 3 （B）－ 3 （C） 3 3 （D）－ 3 3 3．直线 y=xcosα+1 (α∈R)的倾斜角的取值范围是 （A）[0, 2 ] （B）[0, π) （C）[－ 4 , 6 ] （D）[0, 4 ]∪[ 4 3 ,π) 4．若直线 l 经过原点和点(－3, －3)，则直线 l 的倾斜角为 （A） 4 （B） 5 4 （C） 4 或 5 4 （D）－ 4 5．已知直线 l 的倾斜角为 α，若 cosα=－ 5 4 ，则直线 l 的斜率为
(B)-(C) 4(D)~4 6.已知直线h:y=xsin和直线b:y=2x+c,则直线h与h (A)通过平移可以重合 (B)不可能垂直 (C)可能与x轴围成等腰直角三角形(D)通过绕h上某一点旋转可以重合 二.填空题: 7.经过A(a,b)和B(3a,3b)≠0两点的直线的斜率k= 倾斜角 8.要使点A(2,cos20),B(sin?20,-),(-4,-4)共线,则θ的值为_ 9.已知点P(32),点Q在x轴上,若直线PQ的倾斜角为150°,则点Q的坐标为 10.若经过点A(1-t,1+D)和点B(3,2的直线的倾斜角为钝角,则实数t的取值范围 是 提高卷 选择题 2.过点P(2,3)与Q(1,5)的直线PQ的倾斜角为 (A) arctan2 (B) arctan(2)(C)--arctan2 (D)I-arctan2 3.直线h:ax+2y-1=0与直线h:x+(a-1)y+a2=0平行,则a的值是 (A)-1(B)2(C)-1或2(D)0或1 4.过点A(-2,m),B(m,4)的直线的倾斜角为x+acot2,则实数m的值为 (A)2(B)10(C)-8(D)0 填空题 6.若直线k的斜率满足-√3 ,则该直线的倾斜角α的范围是 8.已知直线h和b关于直线y=x对称,若直线h的斜率为√3,则直线b的斜率为 倾斜角为 9.已知M(2,一3)N(一3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值 范围是 综合练习卷 选择题: 1.下列命题正确的是 (A)若直线的斜率存在,则必有倾斜角a与它对应 (B)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与它对应 (C)直线的斜率为k,则这条直线的倾斜角为 arctan (D)直线的倾斜角为a,则这条直线的斜率为 tand 2.过点M-2,a,Na,4)的直线的斜率为-,则a等于 (A)-8(B)10(C)2(D)4 3.过点A2,b)和点B3,-2)的直线的倾斜角为3,则b的值是 (A)-1(B)1(C)-5(D)5
2 （A） 4 3 （B） 3 4 （C）－ 4 3 （D）－ 3 4 6．已知直线 l1: y=xsinα 和直线 l2: y=2x+c，则直线 l1 与 l2 （A）通过平移可以重合 （B）不可能垂直 （C）可能与 x 轴围成等腰直角三角形 （D）通过绕 l1 上某一点旋转可以重合 二．填空题： 7．经过 A(a, b)和 B(3a, 3b)(a≠0)两点的直线的斜率 k= ，倾斜角 α= . 8．要使点 A(2, cos2θ), B(sin2θ, － 3 2 ), (－4, －4)共线，则 θ 的值为 . 9．已知点 P(3 2)，点 Q 在 x 轴上，若直线 PQ 的倾斜角为 150°，则点 Q 的坐标为 . 10 ． 若经 过点 A(1 － t, 1+t) 和点 B(3, 2t) 的直 线的 倾 斜角 为钝 角， 则实 数 t 的取 值范围 是 . 提高卷 一．选择题： 2．过点 P(2, 3)与 Q(1, 5)的直线 PQ 的倾斜角为 （A）arctan2 （B）arctan(－2) （C） 2 －arctan2 （D）π－arctan2 3．直线 l1: ax+2y－1=0 与直线 l2: x+(a－1)y+a 2=0 平行，则 a 的值是 （A）－1 （B）2 （C）－1 或 2 （D）0 或 1 4．过点 A(－2, m), B(m, 4)的直线的倾斜角为 2 +arccot2，则实数 m 的值为 （A）2 （B）10 （C）－8 （D）0 二．填空题： 6．若直线 k 的斜率满足－ 3 <k< 3 3 ，则该直线的倾斜角 α 的范围是 . 8．已知直线 l1 和 l2 关于直线 y=x 对称，若直线 l1 的斜率为 3 ，则直线 l2 的斜率为 ； 倾斜角为 . 9．已知 M(2, －3), N(－3,－2)，直线 l 过点 P(1, 1)，且与线段 MN 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值 范围是 . 综合练习卷 一．选择题： 1．下列命题正确的是 （A）若直线的斜率存在，则必有倾斜角 α 与它对应 （B）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应 （C）直线的斜率为 k，则这条直线的倾斜角为 arctank （D）直线的倾斜角为 α，则这条直线的斜率为 tanα 2．过点 M(－2, a), N(a, 4)的直线的斜率为－ 2 1 ，则 a 等于 （A）－8 （B）10 （C）2 （D）4 3．过点 A(2, b)和点 B(3, －2)的直线的倾斜角为 4 3 ，则 b 的值是 （A）－1 （B）1 （C）－5 （D）5
4.如图,若图中直线l,b,b3的斜率分别为k,k2,k,则 (A)k10),则直线l的倾斜角为 (A) arctan-(B)arctan(-- (C)π- arctan (D)I+arctan 二.填空题: 7.已知三点A(2,-3),B(4,3),C(5,)在同一直线上,则m的值为 8.已知y轴上的点B与点A(-√3,1)连线所成直线的倾斜角为120°,则点B的坐标 为 9.若α为直线的倾斜角,则sin(-a)的取值范围是 10.已知A(-2,3),B(3,2),过点PO,-2)的直线l与线段AB没有公共点,则直线l的斜率的取值 范围是 三.解答题: 11.求经过两点A(2,-1)和B(a,-2)的直线l的倾斜角
3 4．如图，若图中直线 l1, l2, l3 的斜率分别为 k1, k2, k3，则 （A）k10)，则直线 l 的倾斜角为 （A）arctan a b （B）arctan(－ a b ) （C）π－arctan a b （D）π+arctan a b 二．填空题： 7．已知三点 A(2, －3), B(4, 3), C(5, 2 m )在同一直线上，则 m 的值为 . 8．已知 y 轴上的点 B 与点 A(－ 3 , 1)连线所成直线的倾斜角为 120°，则点 B 的坐标 为 . 9．若 α 为直线的倾斜角，则 sin( 4 －α)的取值范围是 . 10．已知 A(－2, 3), B(3, 2)，过点 P(0, －2)的直线 l 与线段 AB 没有公共点，则直线 l 的斜率的取值 范围是 . 三．解答题： 11．求经过两点 A(2, －1)和 B(a, －2)的直线 l 的倾斜角
参考答案 基础卷 1.C2D3.B4.C5D 1C2B3.D4.A5.C6D 6.[0,)U(a,r),7. arctan (ab≥0)或r+ arctan(ah<0) 83,否9,A是或k≤一4 2x(k∈Z) 10.解:设直线l2的倾斜角为20,则l的倾斜角为日, 9(3+23,0)10.-2<t<1 l3,l4的倾斜角分别为30,40,由 3 0 提示 1.注意直线的倾斜角的范围是[0,x),其中当倾斜角 2<4…;0<<薏又由m8=1-m得 为9时,直线的斜率不存在 2由l2⊥l1及l1的倾斜角为3知2的倾斜角为 2-12m0解得如m=吉即},于是 动m号 5.由ca=-4知<x<兀,从面_na<0 7.斜率k=b,则倾斜角与a,b的正负有关,分 m1-9-2∴-学 0和ab<0两种情况 提示 起”, 8.A,B,C三点共线则kc=kBC,从而得sin6c0 1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AB上的方向向量 或co8=0,;6=(k∈Z) 的坐标为(x2-x1,y2-y1) 9设Q(x,0),则tnl50=-2 2斜率k0=-2故倾斜角为+(-2)或2+ can2或 10.直线的倾斜角为钝角,则其正切值为负的,即 4.由AB的倾斜角为2+c2知k=2 sinm7-ginI7__2cos47sir 47ain30=-oM47 6由-3<k<知-3<tma<2,分0≤ina< 和-3<ng<0及正切函数的单调性知a的 范围 7设AB的倾斜角为a,则l的倾斜角为2a,从而 8.关于y=x对称的两条直线的斜率互为倒数 9数形结合法画图易知k≥kN或k≤kw
4 参考答案
综合训练卷 1A2B3.A4.B5.C6.C7.12 8.(0,-2)9.[-1, 解:当a=2时,k不存在从而l的倾斜角为; 当a2时,k=2-4=2-a,当a2时,倾斜角为 π+acmn2-a 12解:没点(a,S),(a,1,S S, S,+ 则k d-(a1+d) 13.解:由题意设E(1,y0)(y>0),由AC中点与BD 中点均为E点知B(-3,2y-7),C(6,2y0-4) ACI=1BD∴(-4-6)2+[4-(2y0-4)]2 (-3-5)2+[7-(2y0-7),解得y=4∴B (-3,1),C(6,4),设P(x,y),原点为O,∴kP= x依题意知≥k或h≤hm,又k=3 ￥=号或2≤-当点P在 BC与y轴的交点时,不存在 【解题点拨】 由图看倾角的大小.当倾斜角没有超过90时, 角越大,斛率越大;当倾斜角超过9时,斜率为负 5A,B是相异两点故≠0,排除B,又由=23 sin6知-1≤kA≤1 7.由kB=kBc求m 9.由0≤a2,a<2三种情形 13.设E点坐标,用其表示B,C点坐标,再由|AC|= BD|求出B,C,E点坐标设P(x,y),则y表示 由图分析知koP≥koc或kop≤ko
5